第二章 §2.1　函数的概念及其表示

第二章数学

大一轮复习202X/01/01§2.1函数的概念及其表示1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.课标要求第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型01内容索引02课时精练目录落实主干知识01单击此处添加章节副标题1.函数的概念一般地，设A，B是

，如果对于集合A中的

一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有

的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的三要素(1)函数的三要素：

、

、

.(2)如果两个函数的

相同，并且

完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.非空的实数集任意唯一确定定义域对应关系值域定义域对应关系3.函数的表示法表示函数的常用方法有

、图象法和

.4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.解析法列表法

√××√2.以下图形中，不是函数图象的是根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象.√

√√√

1因为f(－2)＝(－2)2＝4，所以f(f(－2))＝f(4)＝log44＝1.

微点提醒2.谨防四个易误点(1)求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化.(2)用换元法求值域或解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围.(3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围.(4)分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易因忽略自变量的取值范围而出错.返回微点提醒探究核心题型02单击此处添加章节副标题

√√√题型一函数的概念

(1，2)∪(2，3]

函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法(1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应.(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数.思维升华

√

√√√

例2

(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；题型二(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2).函数的解析式

(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；

函数解析式的求法(1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.思维升华

(2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，则f(x)＝

.

2x＋3或－2x－9

√分段函数√√题型三

√√√

分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.思维升华

√当f(x)＝2时，若x≤0，则有2－x＝2，解得x＝－1；若x>0，则有lnx＝2，解得x＝e2.即由f(x)＝2可得x＝－1或x＝e2，不一定能推出x＝－1，故“f(x)＝2”不是“x＝－1”成立的充分条件；反之，当x＝－1时，代入解析式可得f(－1)＝2，即“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的必要条件，综上，“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的必要不充分条件.

√√√

返回课时精练03单击此处添加章节副标题答案题号12345678答案BDADACABDCD题号9101112答案BC3(－3，1)(－2，0)∪(2，＋∞)题号1314答案

ACDBC1234567891011121314对一对

√1234567891011121314知识过关答案1234567891011121314答案

2.已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{y|0≤y≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是1234567891011121314答案√1234567891011121314答案A项，存在x与两个y对应，故排除A；B项，当2<x≤4时，没有与之对应的y，故排除B；C项，y的范围超出了集合B的范围，故排除C；D项，满足函数关系的条件，故D正确.

√1234567891011121314依题意，f(－5)＝f(－5＋2)＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝21＝2.答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

5.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是1234567891011121314答案√1234567891011121314答案水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水速度恒定的情况下，开始水的高度增加的由快变慢，中间增加的最慢，最后增加的由慢变快，由图可知选项A符合.6.(2025·泉州模拟)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，若f(1)＝1，则f(25)等于A.25 B.125

C.625

D.15625√1234567891011121314答案1234567891011121314答案方法一令x＝y＝1，可得f(2)＝4，令x＝y＝2，可得f(4)＝16，令x＝y＝4，可得f(8)＝64，令x＝y＝8，可得f(16)＝256，令x＝8，y＝16，可得f(24)＝576，令x＝1，y＝24，可得f(25)＝625.方法二由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy且f(1)＝1可构造满足条件的函数f(x)＝x2，可以快速得到f(25)＝625.1234567891011121314答案方法三由题意取x＝n(n∈N)，y＝1，可得f(n＋1)＝f(n)＋f(1)＋2n，即f(n＋1)－f(n)＝2n＋1，累加可得f(n)－f(1)＝3＋5＋…＋2n－1＝n2－1，则f(n)＝n2，所以f(25)＝625.

1234567891011121314√答案√√1234567891011121314

答案1234567891011121314由函数的定义知，若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确.答案

1234567891011121314答案√√1234567891011121314

答案

1234567891011121314√√答案

1234567891011121314答案三、填空题10.已知f(x＋1)＝2x，且f(m)＝4，则m＝

.

1234567891011121314答案3由题意知f(x＋1)＝2x，且f(m)＝4，用x－1代换x，则f(x)＝2(x－1)，即f(m)＝2(m－1)＝4，∴m＝3.

1234567891011121314答案(－3，1)

1234567891011121314答案(－2，0)∪(2，＋∞)1234567891011121314答案由题意可知，a≠0.当a<0时，f(a)＝a2＋2a，f(－a)＝－a2－2a，所以由f(a)<f(－a)可得a2＋2a<－a2－2a，即a2＋2a<0，解得－2<a<0；当a>0时，f(a)＝－a2＋2a，f(－a)＝a2－2a，所以由f(a)<f(－a