第三章 §3.7　导数的综合应用

数学

大一轮复习§3.7导数的综合应用汇报人：第三章导数的综合问题是高考的热点，常考查恒(能)成立、不等式的证明、函数的零点等问题，解题方法灵活，难度较大，一般以压轴题的形式出现.重点解读例1已知函数f(x)＝(x－2)ex.(1)求f(x)在[－1，3]上的最值；题型一

利用导数研究恒(能)成立问题(2)若不等式2f(x)＋2ax≥ax2对x∈[2，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.

方法二依题意，当x∈[2，＋∞)时，2(x－2)ex＋2ax－ax2≥0恒成立，令φ(x)＝2(x－2)ex＋2ax－ax2，x∈[2，＋∞)，∴φ(x)≥0恒成立，φ'(x)＝2(x－1)ex＋2a－2ax＝2(x－1)(ex－a)，又x≥2，∴x－1>0，ex≥e2，①当a≤e2时，φ'(x)≥0，∴φ(x)在[2，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(2)＝0，∴φ(x)≥0恒成立，故a≤e2符合题意.②当a>e2时，令φ'(x)＝0⇒x＝lna，当x∈[2，lna)时，φ'(x)<0，x∈(lna，＋∞)时，φ'(x)>0，∴φ(x)在[2，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(lna)<φ(2)＝0，与φ(x)≥0恒成立矛盾，∴a>e2不成立，综上，a的取值范围是(－∞，e2].恒(能)成立问题的解法(1)若f(x)在区间I上有最值，则①恒成立：∀x∈I，f(x)>0⇔f(x)min>0；∀x∈I，f(x)<0⇔f(x)max<0.②能成立：∃x∈I，f(x)>0⇔f(x)max>0；∃x∈I，f(x)<0⇔f(x)min<0.(2)若能分离常数，即将问题转化为a>f(x)(或a<f(x))，则①恒成立：a>f(x)⇔a>f(x)max；a<f(x)⇔a<f(x)min.②能成立：a>f(x)⇔a>f(x)min；a<f(x)⇔a<f(x)max.思维升华跟踪训练1

(2024·河南省TOP二十名校联考)设函数f(x)＝ax2－x－lnx.(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

题型二例2

(2025·大连模拟)已知函数f(x)＝xlnx＋ax＋1(a∈R).(1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；利用导数证明不等式

(2)当x>1时，证明：exlnx>e(x－1).

利用导数证明不等式的解题策略(1)待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究最值即可得证.(2)若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的.思维升华(3)对于函数中含有ex和lnx与其他代数式结合的问题，可以考虑先对ex和lnx进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明.常见的放缩公式如下：①ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；②lnx≤x－1，当且仅当x＝1时取等号.思维升华跟踪训练2已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.

题型三

利用导数研究函数的零点

(2)若0<a<1，求证：f(x)有且只有一个零点.函数的零点问题有两种常见方法，一是分离参数法，作出函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数；二是利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定参数的范围或零点的个数.思维升华跟踪训练3

已知函数f(x)＝ex－a(x＋1)，a∈R.(1)若f(x)在[0，1]上不单调，求a的取值范围；函数f(x)＝ex－a(x＋1)，则f'(x)＝ex－a，∵f(x)在[0，1]上不单调，故函数f(x)在(0，1)上存在极值，∴f'(x)在(0，1)上存在变号零点，即ex－a＝0在(0，1)上有解，即直线y＝a与曲线y＝ex的图象在(0，1)上有交点，令h(x)＝ex，当x∈(0，1)时，h(x)∈(1，e)，∴a的取值范围为(1，e).(2)当a>0时，试讨论函数f(x)的零点个数.

课时精练01单击此处添加章节副标题答案1234(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x2，则f'(x)＝ex－2x，令h(x)＝ex－2x，则h'(x)＝ex－2，由h'(x)＝0，得到x＝ln2，当x∈(－∞，ln2)时，h'(x)<0，当x∈(ln2，＋∞)，h'(x)>0，所以h(x)≥h(ln2)＝2－2ln2>0，即f'(x)>0恒成立，所以f(x)＝ex－x2在区间[0，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(0)＝e0＝1，命题得证.1.答案1234

1.答案1234

1.答案1234

2.答案1234

2.答案1234

3.答案12343.

答案12343.

答案12344.

答案12344.

答案12344.

1234知识过关答案1.(2025·长沙模拟)已知函数f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；1234答案当a＝1时，f(x)＝ex－x2，则f'(x)＝ex－2x，令h(x)＝ex－2x，则h'(x)＝ex－2，由h'(x)＝0，得到x＝ln2，当x∈(－∞，ln2)时，h'(x)<0，当x∈(ln2，＋∞)，h'(x)>0，所以h(x)≥h(ln2)＝2－2ln2>0，即f'(x)>0恒成立，所以f(x)＝ex－x2在区间[0，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(0)＝e0＝1，命题得证.1234答案(2)若f(x)在(0，＋∞)内有两个零点，求a的取值范围.1234答案

1234答案

1234答案

1234答案

1234答案3.(2025·眉山模拟)已知函数f(x)＝－ax2＋lnx(a∈R).(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；

1234答案(2)若存在x∈(1，＋∞)，使f(x)>－a，求a的取值范围.

1234答案

1234答案1234答案4.(2025·曲靖模拟)已知函数f(x)＝x＋xcosx－2sinx.(1)求曲线y＝f(x)在x＝π处的切线方程；由题意f'(x)＝1＋cosx－xsinx－2cosx＝－xsinx－cosx＋1，则f'(π)＝2，即切线的斜率k＝2，且f(π)＝0，即切点坐标为(π，0)，所以曲线y＝f(x)在x＝π处的切线方程为y＝2(x－π)，即2x－y－2π＝0.能力拓展1234答案(2)g(x)＝x2－3x＋a(a∈R)，若对任意