第十章 §10.7　二项分布、超几何分布与正态分布

数学

大一轮复习分布与正态分布01§10.7二项分布、超几何分布与正态分布1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.课标要求第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型目录01内容索引02课时精练落实主干知识02单击此处添加章节副标题1.二项分布(1)伯努利试验只包含

可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为

.(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝

，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作

.两个n重伯努利试验

X~B(n，p)(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝

，D(X)＝

.②若X~B(n，p)，则E(X)＝

，D(X)＝

.pp(1－p)npnp(1－p)2.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝

，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

X~N(μ，σ2)x＝μx＝μ(3)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正态分布的均值与方差若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝

，D(X)＝

.μσ21.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形.(

)(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布.(

)(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布.(

)(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”.(

)×√√×2.若随机变量ξ~N(3，σ2)，且P(ξ≥4)＝0.2，则P(2<ξ<3)等于A.0.2 B.0.3

C.0.4

D.0.5由随机变量ξ~N(3，σ2)，根据正态分布性质可知，P(ξ>3)＝0.5，因为P(ξ≥4)＝0.2，可得P(3<ξ<4)＝P(ξ>3)－P(ξ≥4)＝0.5－0.2＝0.3，再根据正态曲线的对称性可知，P(2<ξ<3)＝P(3<ξ<4)＝0.3.√

√

返回微点提醒探究核心题型03单击此处添加章节副标题

题型一二项分布

(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学期望.

所以X的分布列为

X0123P二项分布问题的解题关键(1)定型：①在每一次试验中，事件发生的概率相同.②各次试验中的事件是相互独立的.③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.思维升华跟踪训练1

某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动.(1)请补全2×2列联表，试根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；性别体育活动合计课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动男

女

合计

附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

依题意，列出2×2列联表如下：零假设为H0：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关.性别体育活动合计课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动男302050女401050合计7030100

(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差.性别体育活动合计课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动男302050女401050合计7030100附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

X01234P题型二例2

(2025·成都模拟)某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于[15，25]之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示.(1)求a的值；依题意可得(0.05＋0.075＋a＋0.15＋0.1)×2＝1，解得a＝0.125.超几何分布(2)若从高度在[15，17)和[17，19)内的花卉中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[15，17)内的株数为X，求X的分布列及数学期望E(X)；

X012P所以X的分布列为

(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求在至少有2株花卉的高度在[21，25]内的条件下，恰有2株花卉的高度不低于23cm的概率.

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.思维升华跟踪训练2

(2024·聊城模拟)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下：分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；

(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望.

所以X的分布列为

X123P正态分布

√√√题型三

√√

解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴为x＝μ.(2)标准差为σ.(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.思维升华跟踪训练3

(2024·洛阳质检)某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图：

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课时精练04单击此处添加章节副标题答案123456789101112题号1234567答案BADBACBC0.4

64题号81112答案410BC2对一对答案123456789101112

9.答案123456789101112根据频率分布直方图得，对产品外观非常满意的频率为0.0024×10＝0.024，则本次调查中对产品外观非常满意的顾客约有250×0.024＝6(人).9.答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.X012P答案123456789101112

10.答案123456789101112

X0123P10.答案123456789101112

Y－1020200P10.一、单项选择题1.已知某地区中学生的身高X近似服从正态分布N(164，σ2)，若P(X≥170)＝0.3，则P(158<X<170)等于A.0.2 B.0.4

C.0.6

D.0.8123456789101112知识过关答案P(158<X<170)＝2P(164<X<170)＝2×[0.5－P(X≥170)]＝0.4.√123456789101112答案

√123456789101112答案

√123456789101112答案

123456789101112答案4.某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天)下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有A.1张

B.2张

C.3张

D.4张√123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

√√123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

√√123456789101112答案

三、填空题7.(2024·南通调研)已知随机变量X~N(4，42).若P(X<3)＝0.3，则P(3<X<5)＝

，若Y＝2X＋1，则Y的方差为

.123456789101112答案0.464由题意可知μ＝4，σ＝4，即D(X)＝16，所以D(Y)＝4D(X)＝64，因为3＋5＝2μ，且P(X<3)＝0.3，所以P(3<X<5)＝1－2P(X<3)＝0.4.123456789101112答案8.为舒缓高考压力，某中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为“阳光小组”.已知每颗种子发芽的概率为0.8，全年级恰好共种了500盆，则大约有

个小组能评为“阳光小组”.(结果四舍五入法保留整数)410123456789101112答案

123456789101112答案四、解答题9.某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250名顾客，采取100分制，对产品功能满意程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布N(80，25)，对产品外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90分以上(不含90分)视为非常满意.(1)本次调查中对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？(结果四舍五入取整数)123456789101112答案

123456789101112答案(2)若这250人中对两项都非常满意的有2人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机抽取3人，设3人中两项都非常满意的有X人，求X的分布列和数学期望.(附：若Y~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Y≤μ＋