第三章 §3.6　函数中的构造问题

§3.6函数中的构造问题01数学

大一轮复习1.函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.2.同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.重点解读

√题型一命题点1利用f(x)与x构造函数导数型构造函数令g(x)＝xf(x)，x∈R，因为f(x)＝f(－x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，又因为当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf'(x)>0，所以当x∈(－∞，0]时，g'(x)＝f(x)＋xf'(x)>0，所以g(x)在(－∞，0]上单调递增，又g(x)为奇函数，所以g(x)在R上单调递增，

思维升华跟踪训练1已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf'(x)－f(x)<0，且f(2)＝2，则f(ex)－ex>0的解集是A.(－∞，ln2) B.(ln2，＋∞)C.(0，e2) D.(e2，＋∞)√

例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f'(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为

.

设F(x)＝f(x)·ex，则F'(x)＝f'(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f'(x)]>0，∴F(x)是增函数.又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞).(3，＋∞)命题点2利用f(x)与ex构造函数

思维升华跟踪训练2已知f(x)为定义在R上的可导函数，f'(x)为其导函数，且f(x)<f'(x)恒成立，则A.f(2025)<ef(2026)B.ef(2025)<f(2026)C.ef(2025)＝f(2026)D.ef(2025)>f(2026)√

√命题点3利用f(x)与sinx，cosx构造函数

思维升华

√

题型二

√命题点1双变量同构同构法构造函数

例5

(多选)若ea＋a>b＋lnb(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是A.a>lnb

B.a<lnbC.ea>b

D.ea<b√√命题点2指对同构方法一由ea＋a>b＋lnb，可得ea＋a>elnb＋lnb，令f(x)＝ex＋x，则f(a)>f(lnb)，因为f(x)在R上是增函数，所以a>lnb，即ea>b.方法二由ea＋a>b＋lnb，可得ea＋lnea>b＋lnb，令g(x)＝x＋lnx，则g(ea)>g(b)，因为g(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以ea>b，即a>lnb.指对同构的常用形式(1)积型：aea≤blnb，一般有三种同构方式：①同左构造形式：aea≤lnbelnb，构造函数f(x)＝xex；②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数f(x)＝xlnx；③取对构造形式：a＋lna≤lnb＋ln(lnb)(a>0，b>1)，构造函数f(x)＝x＋lnx.思维升华

思维升华(3)和、差型：ea±a>b±lnb，一般有两种同构方式：①同左构造形式：ea±a>elnb±lnb，构造函数f(x)＝ex±x；②同右构造形式：ea±lnea>b±lnb，构造函数f(x)＝x±lnx.思维升华跟踪训练4

(1)若2x－2y<3－x－3－y，则A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，令f(t)＝2t－3－t，∵y＝2t为增函数，y＝3－t为减函数，∴f(t)为增函数，∴x<y，∴y－x＋1>1，∴ln(y－x＋1)>0，故A正确，B错误；∵|x－y|与1的大小不确定，故C，D无法确定.√

(2)(2024·盐城模拟)若不等式ax－exlna≤0(a>e)在x∈[2，＋∞)上恒成立，则实数a的最大值为

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e2课时精练02单击此处添加章节副标题答案12345678910题号1234567答案CBDBBCBC(2，＋∞)题号8910答案e

C对一对

12345678910知识过关答案√12345678910答案

12345678910答案

√12345678910答案令g(x)＝f(x)－x2，则g'(x)＝f'(x)－2x>0，所以g(x)在R上单调递增，又f(2)＝5，所以g(2)＝f(2)－22＝1，不等式f(x)>x2＋1，即f(x)－x2>1，即g(x)>g(2)，所以x>2，即不等式f(x)>x2＋1的解集为(2，＋∞).12345678910答案

√12345678910答案

12345678910答案4.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<blnb，则A.ab>e B.b>eaC.ab<e D.b<ea√12345678910答案由aea<blnb，得ealnea<blnb.设f(x)＝xlnx(x>0)，因为a>0，则ea>1，因为b>0，且blnb>aea>0，则b>1.当x>1时，f'(x)＝lnx＋1>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，ealnea<blnb，即f(ea)<f(b)，所以ea<b.12345678910答案二、多项选择题5.(2025·滁州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f'(x)，且对任意的x∈R，都有f(x)＋f'(x)>0，则下列说法正确的是A.ef(1)<f(0) B.ef(1)>f(0)C.2f(ln2)<ef(1) D.2f(ln2)>ef(1)√√12345678910答案令g(x)＝exf(x)，所以g'(x)＝exf(x)＋exf'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)]>0，所以g(x)在R上是增函数，所以g(0)<g(1)，即f(0)<ef(1)，故A错误，B正确；又g(ln2)<g(1)，所以eln2f(ln2)<ef(1)，即2f(ln2)<ef(1)，故C正确，D错误.12345678910答案6.已知正数a，b满足2a＋log2a＝4b＋2log4b，则A.a>2b

B.a<2bC.a>b

D.a<b√√12345678910答案原等式可化为2a＋log2a＝22b＋log2b，令f(x)＝2x＋log2x，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵2b>b>0，∴2a＋log2a＝22b＋log2b<22b＋log2(2b)，∴f(a)<f(2b)，∴a<2b，故A错误，B正确；又2a＋log2a＝22b＋log2b>2b＋log2b，∴f(a)>f(b)，∴a>b，故C正确，D错误.三、填空题7.已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf'(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是

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12345678910答案(2，＋∞)12345678910答案根据题意，构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y'＝f(x)＋xf'(x)<0，所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以0<x＋1<x2－1，解得x>2.所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).12345678910答案

e12345678910答案

12345678910答案

12345678910答案9.(2024·南通模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为(0，＋∞)，若xf'(x)<2f(x)，则A.4e2f(2)<16f(e)<e2f(4