2025考研30北京邮电大学信号与系统真题及答案解析

2025考研30北京邮电大学信号与系统真题及答案解析一、填空题（每空2分，共20分）1.已知连续时间信号\(x(t)=t\cdote^{-2t}u(t)\)，其拉普拉斯变换\(X(s)\)的收敛域为\(\text{Re}\{s\}>-2\)（错误，正确应为\(\text{Re}\{s\}>-2\)？不，\(e^{-2t}u(t)\)的拉普拉斯变换收敛域是\(\text{Re}\{s\}>-2\)，乘以t后收敛域不变，故正确收敛域为\(\text{Re}\{s\}>-2\)）。更正：\(t\cdote^{-at}u(t)\)的拉普拉斯变换为\(\frac{1}{(s+a)^2}\)，收敛域与\(e^{-at}u(t)\)相同，即\(\text{Re}\{s\}>-a\)，此处a=2，故收敛域为\(\text{Re}\{s\}>-2\)。2.离散时间信号\(x[n]=3^nu[-n]\)的Z变换\(X(z)\)的表达式为\(\frac{1}{1-3z^{-1}}\)（错误，正确应为：\(u[-n]\)是左边序列，\(3^nu[-n]=3^nu[-(n)]=(3^{-1})^{-n}u[-n]\)，其Z变换为\(\frac{1}{1-3z^{-1}}\)，但收敛域需满足\(|z|<3\)。正确表达式应为\(\frac{z}{z-3}\)（当写成\(\sum_{n=-\infty}^{0}3^nz^{-n}=\sum_{k=0}^{\infty}3^{-k}z^{k}=\frac{1}{1-3^{-1}z}=\frac{z}{z-3}\)，|z|<3）。3.若连续时间LTI系统的冲激响应\(h(t)=e^{-t}u(t)-e^{-2t}u(t)\)，则该系统的频率响应\(H(j\omega)\)的模平方\(|H(j\omega)|^2\)为\(\left|\frac{1}{j\omega+1}-\frac{1}{j\omega+2}\right|^2=\left|\frac{1}{(j\omega+1)(j\omega+2)}\right|^2=\frac{1}{(\omega^2+1)(\omega^2+4)}\)。4.已知离散时间系统的差分方程为\(y[n]-0.5y[n-1]=x[n]+x[n-1]\)，其系统函数\(H(z)\)的极点为\(z=0.5\)，零点为\(z=-1\)（由\(H(z)=\frac{1+z^{-1}}{1-0.5z^{-1}}=\frac{z(z+1)}{z(z-0.5)}=\frac{z+1}{z-0.5}\)，故极点z=0.5，零点z=-1）。5.信号\(x(t)=\cos(100\pit)\cdot\cos(200\pit)\)的最高频率分量为\(150\text{Hz}\)（利用积化和差公式，\(\cosA\cosB=\frac{1}{2}[\cos(A+B)+\cos(A-B)]\)，故频率为150Hz和50Hz，最高150Hz）。二、计算题（共130分）1.（20分）已知连续时间LTI系统的微分方程为\(y''(t)+3y'(t)+2y(t)=x'(t)+3x(t)\)，初始条件\(y(0^-)=1\)，\(y'(0^-)=0\)，输入\(x(t)=e^{-t}u(t)\)。求：（1）系统的零输入响应\(y_{zi}(t)\)；（2）系统的零状态响应\(y_{zs}(t)\)；（3）全响应\(y(t)\)并指出自由响应与强迫响应分量。解：（1）零输入响应满足齐次方程\(y''(t)+3y'(t)+2y(t)=0\)，特征方程\(r^2+3r+2=0\)，根\(r_1=-1\)，\(r_2=-2\)，故\(y_{zi}(t)=Ae^{-t}+Be^{-2t}\)。代入初始条件\(y(0^-)=1\)，\(y'(0^-)=0\)：\(A+B=1\)\(-A-2B=0\)解得\(A=2\)，\(B=-1\)，故\(y_{zi}(t)=2e^{-t}-e^{-2t}\)，\(t\geq0\)。（2）零状态响应通过拉普拉斯变换求解。对微分方程两边取拉氏变换（零状态下初始条件为0）：\(s^2Y_{zs}(s)+3sY_{zs}(s)+2Y_{zs}(s)=sX(s)+3X(s)\)输入\(X(s)=\frac{1}{s+1}\)，代入得：\(Y_{zs}(s)=\frac{s+3}{(s^2+3s+2)(s+1)}=\frac{s+3}{(s+1)^2(s+2)}\)部分分式展开：设\(\frac{s+3}{(s+1)^2(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{(s+1)^2}+\frac{C}{s+2}\)通分后分子：\(s+3=A(s+1)(s+2)+B(s+2)+C(s+1)^2\)令\(s=-1\)：\(-1+3=B(1)\)→\(B=2\)令\(s=-2\)：\(-2+3=C(1)\)→\(C=1\)比较s²系数：0=A+C→A=-1故\(Y_{zs}(s)=-\frac{1}{s+1}+\frac{2}{(s+1)^2}+\frac{1}{s+2}\)取逆变换得\(y_{zs}(t)=[-e^{-t}+2te^{-t}+e^{-2t}]u(t)\)。（3）全响应\(y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)=[2e^{-t}-e^{-2t}]+[-e^{-t}+2te^{-t}+e^{-2t}]u(t)\)（注意t≥0时u(t)=1），化简为\(y(t)=e^{-t}+2te^{-t}\)，\(t\geq0\)。自由响应由齐次解组成，即\(e^{-t}+2te^{-t}\)（其中\(2te^{-t}\)是重根对应的项）；强迫响应是特解，但此处输入与齐次解模态重叠（输入为\(e^{-t}\)，齐次根有-1），故强迫响应被包含在自由响应中，实际无独立强迫分量。2.（25分）已知离散时间信号\(x[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^nu[n]+(-1)^nu[n]\)。（1）求其Z变换\(X(z)\)并标注收敛域；（2）画出\(X(z)\)的零极点图；（3）求\(x[n]\)的傅里叶变换\(X(e^{j\omega})\)；（4）若\(y[n]=x[n]x[n]\)（卷积），求\(y[n]\)的Z变换\(Y(z)\)。解：（1）\(x[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^nu[n]+(-1)^nu[n]\)，两项均为右边序列，Z变换分别为\(\frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}\)（|z|>1/2）和\(\frac{1}{1+z^{-1}}\)（|z|>1）。收敛域取交集，故\(X(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}+\frac{1}{1+z^{-1}}=\frac{z}{z-\frac{1}{2}}+\frac{z}{z+1}=\frac{z(z+1)+z(z-\frac{1}{2})}{(z-\frac{1}{2})(z+1)}=\frac{2z^2+\frac{1}{2}z}{(z-\frac{1}{2})(z+1)}\)，收敛域|z|>1。（2）零极点图：分子多项式\(2z^2+\frac{1}{2}z=z(2z+\frac{1}{2})=0\)，零点为z=0和z=-1/4；分母多项式零点为z=1/2（极点）和z=-1（极点）。在z平面上，极点位于(1/2,0)和(-1,0)，零点位于(0,0)和(-1/4,0)，收敛域为|z|>1（包含单位圆外区域）。（3）傅里叶变换存在当且仅当单位圆在收敛域内。此处收敛域|z|>1，单位圆|z|=1不在收敛域内，故严格来说傅里叶变换不存在。但可通过极限形式表示：\(X(e^{j\omega})=\lim_{r\to1^+}X(re^{j\omega})=\frac{1}{1-\frac{1}{2}e^{-j\omega}}+\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\)，其中第二项\((-1)^nu[n]\)的傅里叶级数在单位圆上发散（因|(-1)^n|=1，不满足绝对可和），但实际工程中可能用广义傅里叶变换表示。（4）卷积的Z变换等于Z变换的乘积，故\(Y(z)=[X(z)]^2=\left(\frac{z}{z-\frac{1}{2}}+\frac{z}{z+1}\right)^2=\left(\frac{z(z+1)+z(z-\frac{1}{2})}{(z-\frac{1}{2})(z+1)}\right)^2=\left(\frac{2z^2+\frac{1}{2}z}{(z-\frac{1}{2})(z+1)}\right)^2\)，收敛域为|z|>1（原收敛域的交集）。3.（25分）连续时间LTI系统的频率响应\(H(j\omega)=\frac{j\omega+2}{(j\omega+1)(j\omega+3)}\)。（1）求系统的冲激响应\(h(t)\)；（2）若输入\(x(t)=e^{-t}u(t)\)，求输出\(y(t)\)；（3）判断系统的因果性与稳定性，并说明理由。解：（1）将\(H(j\omega)\)转换为拉普拉斯变换\(H(s)=\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}\)（s=jω），部分分式展开：\(H(s)=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}\)分子\(s+2=A(s+3)+B(s+1)\)令s=-1：1=2A→A=1/2令s=-3：-1=-2B→B=1/2故\(H(s)=\frac{1/2}{s+1}+\frac{1/2}{s+3}\)，逆变换得\(h(t)=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{-3t})u(t)\)（因收敛域为Re{s}>-1，对应因果系统）。（2）输入\(X(s)=\frac{1}{s+1}\)，输出\(Y(s)=H(s)X(s)=\frac{s+2}{(s+1)^2(s+3)}\)。部分分式展开：设\(\frac{s+2}{(s+1)^2(s+3)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{(s+1)^2}+\frac{C}{s+3}\)分子\(s+2=A(s+1)(s+3)+B(s+3)+C(s+1)^2\)令s=-1：1=2B→B=1/2令s=-3：-1=4C→C=-1/4比较s²系数：0=A+C→A=1/4故\(Y(s)=\frac{1/4}{s+1}+\frac{1/2}{(s+1)^2}-\frac{1/4}{s+3}\)逆变换得\(y(t)=\left(\frac{1}{4}e^{-t}+\frac{1}{2}te^{-t}-\frac{1}{4}e^{-3t}\right)u(t)\)。（3）因果性：冲激响应\(h(t)\)在t<0时为0，故系统因果。稳定性：H(s)的极点为s=-1和s=-3，均位于s左半平面，故系统稳定（绝对可积，\(\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|dt<\infty\)）。4.（30分）离散时间LTI系统的系统函数\(H(z)=\frac{z^2-1}{z^2-0.5z-0.5}\)。（1）求系统的差分方程；（2）求系统的冲激响应\(h[n]\)；（3）若输入\(x[n]=u[n]\)，求零状态响应\(y_{zs}[n]\)；（4）判断系统的因果性与稳定性，若不稳定，说明是否存在稳定的非因果逆系统。解：（1）\(H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{z^2-1}{z^2-0.5z-0.5}=\frac{1-z^{-2}}{1-0.5z^{-1}-0.5z^{-2}}\)，交叉相乘得\(Y(z)(1-0.5z^{-1}-0.5z^{-2})=X(z)(1-z^{-2})\)，逆Z变换得差分方程：\(y[n]-0.5y[n-1]-0.5y[n-2]=x[n]-x[n-2]\)。（2）将\(H(z)\)分解为\(\frac{(z-1)(z+1)}{(z-1)(z+0.5)}=\frac{z+1}{z+0.5}\)（z=1处零极点相消，假设收敛域包含单位圆外，即因果系统）。化简后\(H(z)=\frac{z+1}{z+0.5}=1+\frac{0.5}{z+0.5}=1+0.5z^{-1}\cdot\frac{1}{1+0.5z^{-1}}\)（|z|>0.5）。逆Z变换得\(h[n]=\delta[n]+0.5(-0.5)^{n-1}u[n-1]=\delta[n]-(-0.5)^nu[n-1]\)（n≥0时，可合并为\(h[n]=(-0.5)^nu[n]+2(-0.5)^nu[n]\)？重新计算：\(\frac{z+1}{z+0.5}=1+\frac{0.5}{z+0.5}=1+0.5z^{-1}\cdot\frac{1}{1-(-0.5)z^{-1}}\)，其逆变换为\(\delta[n]+0.5(-0.5)^{n-1}u[n-1]=\delta[n]-(-0.5)^nu[n-1]\)。当n=0时，h[0]=1；n≥1时，h[n]=-(-0.5)^n=(0.5)^n(-1)^{n+1}。（3）输入\(X(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}\)（|z|>1），零状态响应\(Y_{zs}(z)=H(z)X(z)=\frac{z^2-1}{(z^2-0.5z-0.5)(z-1)}=\frac{z+1}{(z+0.5)(z-1)}\)（约去z-1因子）。部分分式展开：\(\frac{z+1}{(z+0.5)(z-1)}=\frac{A}{z+0.5}+\frac{B}{z-1}\)分子\(z+1=A(z-1)+B(z+0.5)\)令z=-0.5：0.5=A(-1.5)→A=-1/3令z=1：2=B(1.5)→B=4/3故\(Y_{zs}(z)=\frac{-1/3}{z+0.5}+\frac{4/3}{z-1}=\frac{-1/3z^{-1}}{1-(-0.5)z^{-1}}+\frac{4/3z^{-1}}{1-z^{-1}}\)（|z|>1）逆变换得\(y_{zs}[n]=-\frac{1}{3}(-0.5)^{n-1}u[n-1]+\frac{4}{3}u[n-1]=\frac{4}{3}u[n-1]+\frac{2}{3}(-0.5)^nu[n-1]\)（n≥1），n=0时y[0]=0（因X(z)对应u[n]，h[0]=1，故y[0]=h[0]x[0]=1×1=1？此处可能出错，正确方法应为直接计算卷积：y[n]=x[n]h[n]=Σ_{k=0}^nh[k]。h[0]=1，h[1]=-(-0.5)^1=0.5，h[2]=-(-0.5)^2=-0.25，...，故y[0]=h[0]x[0]=1×1=1；y[1]=h[0]x[1]+h[1]x[0]=1×1+0.5×1=1.5；y[2]=h[0]x[2]+h[1]x[1]+h[2]x[0]=1×1+0.5×1+(-0.25)×1=1.25，与Z变换结果对比，当n≥1时，\(y_{zs}[n]=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}(-0.5)^n\)（重新计算部分分式：正确展开应为\(\frac{z+1}{(z+0.5)(z-1)}=\frac{Az}{z+0.5}+\frac{Bz}{z-1}\)，即\(\frac{z+1}{(z+0.5)(z-1)}=\frac{A}{1+0.5z^{-1}}+\frac{B}{1-z^{-1}}\)，解得A=-1/3，B=4/3，故逆变换为\(y_{zs}[n]=-\frac{1}{3}(-0.5)^nu[n]+\frac{4}{3}u[n]\)，n≥0时，y[0]=-1/3+4/3=1，y[1]=-1/3(-0.5)+4/3=1/6+4/3=3/2=1.5，与直接计算一致，故正确表达式为\(y_{zs}[n]=\left(\frac{4}{3}-\frac{1}{3}(-0.5)^n\right)u[n]\)。（4）因果性：系统函数分母最高次幂等于分子最高次幂（z²），且收敛域为|z|>1（极点z=1和z=-0.5，原H(z)极点为z=1和z=-0.5，约去z=1后极点为z=-0.5，收敛域|z|>0.5，包含|z|→∞，故因果。稳定性：原系统极点z=1（在单位圆上）和z=-0.5（单位圆内），故系统不稳定（有极点在单位圆上）。若考虑约去z=1后的系统，极点为z=-0.5（单位圆内），此时系统稳定，但原系统因存在z=1的极点（零极点相消不改变系统稳定性，实际冲激响应包含u[n]分量，故不稳定）。是否存在稳定的非因果逆系统？逆系统函数\(H^{-1}(z)=\frac{z^2-0.5z-0.5}{z^2-1}=\frac{(z-1)(z+0.5)}{(z-1)(z+1)}=\frac{z+0.5}{z+1}\)（约去z=1），其极点为z=-1（单位圆上），零点为z=-0.5（单位圆内）。若选择非因果收敛域|z|<1，则极点z=-1在收敛域内（|z|<1不包含z=-1），实际逆系统的极点为z=-1（单位圆上），故无论因果与否，逆系统仍不稳定。5.（30分）证明题：（1）证明连续时间LTI系统对输入\(x(t)=e^{s_0t}\)的响应为\(y(t)=H(s_0)e^{s_0t}\)，其中\(H(s)\)为系统函数；（2）证明离散时间信号\(x[n]=\cos(\omeg