专题75正态分布（举一反三）（人教A版2019选择性）

专题7.5正态分布【六大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【题型1正态密度函数】 2【题型2正态曲线的特点】 4【题型3利用正态曲线的对称性求概率】 6【题型4利用3原则求概率】 7【题型5标准正态分布的应用】 9【题型6正态分布的实际应用】 11【知识点1正态分布】1．连续型随机变量随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量.2．正态分布(1)正态曲线

函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.

(2)正态分布

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

(3)正态分布的均值和方差

若XN(,)，则E(X)=，D(X)=.3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称；

(3)曲线在x=处达到峰值；

(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；

(5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1；

(6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

(7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.4．3原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率

P(X+)0.6827；

P(2X+2)0.9545；

P(3X+3)0.9973.

(2)3原则

在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[3，+3]中的值，这在统计学中称为3原则.【题型1正态密度函数】【例1】（2023下·高二课时练习）已知正态分布密度函数fx=18πe−x28，x∈R，则μ,σ分别是（

）A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和2【解题思路】将fx=1【解答过程】∵fx∴μ＝故选：B.【变式11】（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）已知三个正态分布密度函数fix=A．μ1=B．μ1<C．μ1<D．μ1=【解题思路】结合正态分布密度函数中参数μ表示其均值大小，σ表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论.【解答过程】根据正态分布密度函数中参数μ，结合图象可知f2x，f3且都在f1x的右侧，即比较f1x和f2又f3x的离散程度比f1x和故选：B．【变式12】（2023下·湖北武汉·高二校考期末）设随机变量X~N0,1，则X的密度函数为（

A．fx=1C．fx=1【解题思路】根据正态分布的定义可求得μ=0,σ=1，从而可求X的密度函数.【解答过程】因为X~N0,1，所以μ=0,σ2所以X的密度函数为A.故选：A.【变式13】（2023·全国·高二专题练习）下列是关于正态曲线fx①曲线关于直线x=μ对称，且恒位于x轴上方；②曲线关于直线x=σ对称，且仅当x∈−3σ,3σ时才位于x③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于y轴对称；④曲线在x=μ处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；⑤曲线的位置由μ确定，曲线的形状由σ确定.其中说法正确的是（

）A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤【解题思路】根据正态密度曲线的特点和性质逐一判断①②③④⑤的正确性，即可得正确选项.【解答过程】正态曲线fx关于直线x=μ对称，该曲线总是位于x只有当μ=0时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于y轴对称；此时为标准正态分布，当μ≠0时，不是偶函数，故③不正确；正态曲线fx是一条关于直线x=μ对称，在x=μ曲线的位置由对称轴x=μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大，图象越矮胖，σ越小，图象越瘦高，故⑤正确；故①④⑤说法正确.故选：A.【题型2正态曲线的特点】【例2】（2023·全国·高三专题练习）设X~Nμ1,σ1A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)【解题思路】由正态密度曲线的性质结合图像可得μ1<μ【解答过程】A选项：X~Nμ1,σ12、因此结合所给图像可得μ1<μB选项：又X∼N(μ1,所以0<σ1<CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)．P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正确，D错误．故选：C．【变式21】（2023·全国·高二专题练习）如图是三个正态分布X~N(0,0.64)，Y~N(0,1)，Z~N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（

）.A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②【解题思路】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定.【解答过程】由题意，得σ(X)=0.8，σ(Y)=1，σ(Z)=2，因为当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且σ(X)<σ(Y)<σ(Z)，所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③.故选：A.【变式22】（2023·高二单元测试）已知三个正态密度函数φi(x)=12πσieA．μ1=μ3>μ2C．μ1=μ3>μ2【解题思路】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小.【解答过程】由题图中y=φi(x)y=φ1(x)与y=所以σ1故选：C.【变式23】（2023下·高二课时练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X~Nμ1,62,Y~A．D(X)=6 B．μC．P(X≤38)<P(Y≤38) D．P(X≤34)<P(Y≤34)【解题思路】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，随机变量X服从正态分布，且X~N可得随机变量X的方差为σ2=6对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量μ1所以μ1对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得X≤38时，随机变量X对应的曲线与x围成的面积小于Y≤38时随机变量Y对应的曲线与x围成的面积，所以P(X≤38)<P(Y≤38)，所以C正确；对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得P(X≤34)>12，即P(X≤34)>P(Y≤34)，所以D错误.故选：C.【题型3利用正态曲线的对称性求概率】【例3】（2023上·福建福州·高三校考期中）已知随机变量ξ服从正态分布N2,σ2，且Pξ<3=0.6A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【解题思路】根据题意，由正态分布密度曲线的性质，代入计算，即可得到结果.【解答过程】由题意可得μ=2，且Pξ<3=0.6，则Pξ>3故选：A.【变式31】（2023下·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）设随机变量X服从正态分布N3,4，若PX>a−2=PX<6−3a，则A．−2 B．−1 C．12 【解题思路】根据正态分布曲线的对称性即可求得答案.【解答过程】由题意随机变量X服从正态分布N3,4，即正态分布曲线关于x=3因为PX>a−2故a−2+(6−3a)2故选：B.【变式32】（2023上·贵州黔西·高三校联考阶段练习）若随机变量X∼N10,22A．PX≥10=0.5 C．P8≤X≤12=2P8≤X≤10【解题思路】根据正态分布曲线的对称性即可结合选项逐一求解,【解答过程】根据随机变量X∼N10,22所以PX≥10=0.5，故A正确，P8≤X≤12D2X+1故选：D.【变式33】（2023下·河北沧州·高二统考期末）在某项测试中，测量结果X∼N1,σ2σ>0，若P1<X<2A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【解题思路】由正态分布的对称性求解即可.【解答过程】解析：由正态分布知PX>1=0.5，因为∴PX≥2=0.2，由对称性知故选：B．【题型4利用3原则求概率】【例4】（2023下·四川宜宾·高二统考期末）某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布N90,4（单位：g），现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在86,92范围内的大枣个数约为（

）附：若X∼Nμ,σ2，则Pμ−σ<X<μ+σA．8185 B．8400 C．9974 D．9987【解题思路】求出μ、σ的值，结合3σ原则可求得P86<X<92的值，乘以10000【解答过程】因为μ=90，σ=2，则86=μ−2σ，92=μ+σ，则P==1因此，估计单果质量在86,92范围内的大枣个数约为10000×0.8185=8185个.故选：A.【变式41】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）若随机变量X~Nμ,σ2σ>0，则有如下结论：（PX−μ<σ=0.6826，A．19 B．12 C．6 D．5【解题思路】由正态曲线的对称性求出理论上说在130分以上的概率，即可求出理论上说在130分以上人数.【解答过程】∵数学成绩近似地服从正态分布N120,102∴Px−120根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为12∴理论上说在130分以上人数约为0.1587×40≈6.故选：C．【变式42】（2023下·浙江宁波·高二校考期中）已知随机变量X~N20,22，则P(X<16)=（

）(附：若X~Nμ,σA．0.02275 B．0.1588 C．0.15865 D．0.34135【解题思路】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【解答过程】由题意可得：μ=20,σ=2，则P16≤ξ≤24所以P(X<16)=1故选：A.【变式43】（2023·内蒙古包头·一模）为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩X∼N(70,100)，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（

）附：若X∼Nμ,σ2，则P(μ−σ≤X<μ+σ)=0.6826A．该校学生体育成绩的方差为10B．该校学生体育成绩的期望为85C．该校学生体育成绩的及格率小于85%D．该校学生体育成绩的优秀率大于3%【解题思路】根据正态分布的特征可求A,B选项的正误，根据优秀和及格的标准可得C,D选项的正误.【解答过程】因为X∼N(70,100)，所以该校学生体育成绩的期望为70，方差为100，所以A,B均不正确；因为60分及以上为及格，所以P(X≥60)=1−1−P(70−10≤X<70+10)因为90分及以上为优秀，所以P(X≥90)=1−P(70−20≤X<70+20)故选：C.【题型5\o"标准正态分布的应用"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj135500/_blank"标准正态分布的应用】【例5】（2023上·高二课时练习）设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，已知Φ(−1.96)=0.025，则P(ξ<1.96)=（A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975【解题思路】根据变量符合正态分布，且对称轴为x=0，得到P(ξ【解答过程】ξ服从标准正态分布N(0，1)，∴P(=1−2Φ(−1.96)=1−2×0.025=0.950，故选：C.【变式51】（2023下·河北石家庄·高二校考阶段练习）设随机变量ξ服从正态分布N0,1，则下列结论正确的是（

①Pξ<a=P③Pξ<a=1−2PA．①② B．②③ C．①④ D．②④【解题思路】由Pξ<a=P−a<ξ<a可判断①，根据正态分布曲线的对称性可得【解答过程】因为随机变量ξ服从正态分布N0,1因为Pξ因为P=Pξ<a所以②正确，③不正确；因为Pξ所以Pξ所以结论正确的是②④.故选：D.【变式52】（2023下·辽宁大连·高二大连二十四中校考期中）设随机变量X~N(0,1),f(x)=P(X⩾x)，其中x>0，则下列等式成立的是（

）A．f(2x)=2f(x) B．f(−x)=1−f(x)C．P(X⩽x)=2f(x)−1 D．P(|X|>x)=2−f(x)【解题思路】根据随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，得到正态曲线关于x=0对称，再结合正态分布的密度曲线定义，由此逐一分析四个选项，即可得到答案．【解答过程】解：因为随机变量X~N(0,1)，所以正态曲线关于直线x=0对称，因为f(x)=P(X⩾x)(x>0)，所以根据正态曲线的对称性可得f(−x)=P(X<x)=1−f(x)，故选项B正确；因为f(2x)=P(X⩾2x)，2f(x)=2P(X⩾x)，所以选项A错误；P(X⩽x)=1−P(X⩾x)=1−f(x)，故选项C错误；P(|X|>x)=P(X>x或X<−x)=2f(x)，故选项D错误．故选：B．【变式53】（2023·全国·高二专题练习）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时X~N(30,62)，骑自行车用时Y~N(34,A．P(X≤38)>P(Y≤38) B．P(X≤34)>P(Y≤34)C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车【解题思路】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可．【解答过程】因为X~N(30,62)将X,Y化为标准正态分布，则X−306因为38−306<38−34又P(X≤34)>12,P(Y≤34)=因为P(X≤38)<P(Y≤38)，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C错误；因为P(X≤34)>P(Y≤34)，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D错误.故选：B．【题型6\o"正态分布的实际应用"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj135500/_blank"正态分布的实际应用】【例6】（2023上·云南昆明·高三校考阶段练习）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.在丑橘销售旺季，某丑橘基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售丑橘的数量（都在100箱到600箱之间）情况如下：丑橘数量（箱）100,200200,300300,400400,500500,600购物群数量（个）a18a+8a+2018(1)求实数a的值，并用组中值估计这100个购物群销售丑橘总量的平均数（箱）；(2)假设所有购物群销售丑橘的数量X服从正态分布Nμ,σ2，其中μ为（1）中的平均数，σ附：若X服从正态分布X∼Nμ,σ2【解题思路】（1）根据样本总数可得a+18+a+8+a+20+18=100，可求得a=12，利用平均数的定义即可求得平均数为376（箱）.（2）根据购物群的划分等级，利用正态分布的对称性可分别求出各类群的数量，即可求得奖励资金应准备373400元.【解答过程】（1）由题意得a+18+a+8+a+20+18=100，解得a=12.故平均数为1100（2）由题意，μ=376,σ=110，且266=376−110=μ−σ,596=376+220=μ+2σ，故P(X>596)=P(X>μ+2σ)=1所以“优质群”约有2000×0.023=46（个），P(266≤X<596)=P(μ−σ<X<μ+2σ)=1所以“一级群”约有2000×0.8185=1637（个），所以需要资金为46×1000+1637×200=373400（元），故至少需要准备373400元.【变式61】（2023上·山东·高三校联考开学考试）零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：零件直径（单位：厘米）1.0,1.21.2,1.41.4,1.61.6,1.81.8,2.0零件个数1025302510已知零件的直径可视为服从正态分布Nμ,σ2，μ(1)分别求μ，σ2(2)试估计这批零件直径在1.044,1.728的概率；(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在1.044,1.728的个数.参考数据：0.052≈0.228；若随机变量ξ∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤ξ≤μ+σ【解题思路】（1）根据平均数与方差的公式即可求解.（2）根据正态分布的性质，结合正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.（3）根据区间1.044,1.728上的概率计算即可.【解答过程】（1）由平均数与方差的计算公式分别得：μ=σ故μ=1.5，（2）设ξ表示零件直径，则ξ∼Nμ,σ2Pμ−σ≤ξ≤μ+σ由对称性得，2P1.5≤ξ≤1.728=0.6827同理，Pμ−2σ≤ξ≤μ+2σ2P1.044≤ξ≤1.5=0.9545P1.044≤ξ≤故这批零件直径在1.044,1.728的概率为0.8186.（3）由（2）知，P1.044≤ξ≤所以在这2000个零件中，零件的直径在1.044,1.728的有2000×0.8186≈1637个.【变式62】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

参考数据：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545(1)求a的值；(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间ξ近似服从正态分布Nμ,σ2，其中μ近似为样本的平均数，经计算知σ≈2.39(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在[7,9),[9,11)内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）【解题思路】（1）由频率之和等于1，得出a；（2）计算平均数得出μ=9.84，再由正态分布的概率估计即可；（3）由分层抽样得出X的所有可能取值，再由超几何分布求解.【解答过程】（1）解：由题意得2×(0.02+0.03+a+0.18+0.10+0.05)=1，解得a=0.12．（2）由题意知样本的平均数为4×0.02×2+6×0.03×2+8×0.12×2+10×0.18×2+12×0.10×2+14×0.05×2=9.84，所以μ=9.84．又σ≈2.39，所以P(7.45<ξ≤14.62)=P(μ−σ<ξ≤μ+2σ)=12则5000×0.8186=4093，所以估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数约为4093．（3）[7,9),[9,11)对应的频率比为0