621排列（分层作业）-2023学年高二数学（人教A版2019选修第三册）

6.2.1排列（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）下列问题是排列问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【答案】D【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．故选：D2．（2022秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考期中）从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（

）A．10 B．60 C．243 D．15【答案】B【分析】根据排列定义即可求解．【详解】不同的方法总数是故选：B3．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（

）A．60种 B．80种 C．100种 D．120种【答案】D【分析】利用排列的定义直接列式求解.【详解】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共（种）．故选:D．4．（2022·高二课时练习）从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？上面四个问题属于排列问题的是（

）A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④【答案】B【分析】根据排列的定义，关键是确定选取的两个数有无顺序．【详解】∵加法满足交换律，∴①不是排列问题；∵除法不满足交换律，∴②是排列问题；若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，故③不是排列问题；在双曲线中不管还是，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故④是排列问题．故选：B．5．（2022秋·贵州黔东南·高二统考期末）小红，小明，小芳，张三，李四共有5名同学参加演讲比赛，在安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用捆绑法和插空法进行求解即可.【详解】解：由题意得：5名同学参加演讲比赛出场顺序总的方法：种；将小红小明捆在一起，然后张三李四两个排列，再后小芳与小红小明组插空，总的方法数有：种在安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为故选：C6．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有（

）个.A．60 B． C．20 D．【答案】C【分析】根据的“伞数”定义，十位数只能是3，4，5，然后分3类，分别求得“伞数”的个数再求和，【详解】由题意得：十位数只能是3，4，5，当十位数是3时，个位和百位只能是1，2，“伞数”共有个；当十位数是4时，个位和百位只能是1，2，3，“伞数”共有个；当十位数是5时，个位和百位只能是1，2，3，4，“伞数”共有个；所以“伞数”共有20个，故选：C.7．（2022春·河南南阳·高二校考阶段练习）为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为（

）A．9 B．18 C．24 D．27【答案】B【分析】由于A节目有特殊要求，所以先安排A节目，再安排其它的节目，从而即可求解.【详解】解：由题意，先从后面3个节目中选择一个安排A节目，然后其它3个节目任意排在剩下的3个位置，共有种方法，故选：B.二、填空题8．（2023·高二课时练习）给出下列问题：①有10位同学，每两人互通一次电话，共通了多少次电话？②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号）【答案】②【分析】根据排列的定义判断即可【详解】对于①，假设10位同学中含甲乙，甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，故不是排列问题；对于②，假设10位同学中含甲乙，甲给乙写一封信，跟乙给甲写一封信，是不一样的，是有顺序区别的，故属于排列问题；对于③，假设10位同学中含甲乙，甲与乙握一次手，也就是乙与甲握一次手，没有顺序区别，故不是排列问题，故答案为：②9．（2023·高二课时练习）若，且，则用排列记号可表示为______．【答案】【分析】利用排列数的定义直接表示.【详解】由排列数的定义，.故答案为：10．（2022秋·广东广州·高二广州市天河中学校考期中）从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是______．【答案】24【分析】直接根据排列数的意义求解即可【详解】由题意，不同的送法种数为.故答案为：2411．（2023·高二课时练习）给出下列问题：①从2、3、5、7、11中任取两数相乘，可得多少个不同的积？②从2、3、5、7、11中任取两数相除，可得多少个不同的商？③从2、3、5、7、11中任取两数相加，可得多少个不同的和？以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号）【答案】②【分析】根据排列的定义，关键是确定选取的两个数有无顺序【详解】对于①，从2、3、5、7、11中任取两数相乘，且乘法满足交换律，故不是排列问题;对于②，从2、3、5、7、11中任取两数相除，且除法不满足交换律，故是排列问题;对于③，从2、3、5、7、11中任取两数相加，且加法满足交换律，故不是排列问题;故答案为：②12．（2023·高二课时练习）计算：______．【答案】【分析】由阶乘及排列数定义可得答案.【详解】，则.故答案为：.13．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）冬奥会首金诞生于短道速滑男女混合接力赛，赛后4位运动员依次接受采访，曲春雨要求不第1个接受采访，武大靖在任子威后接受采访（可以不相邻），则采访安排方式有__________种．【答案】9【分析】先考虑曲春雨，再结合倍缩法解决定序问题考虑剩下的3位选手，最后由分步计数原理求解即可.【详解】先考虑曲春雨，有3种采访安排，再考虑剩下的3位选手，武大靖在任子威后，有种，按照分步计数原理共有种.故答案为：9.三、解答题14．（2023·高二课时练习）从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外小组的活动，共有多少种不同的安排方案？请画出相应的树状图，并解答．【答案】共6种安排方案，树状图见解析【分析】根据题意画出树状图即可求解【详解】树状图如图所示，由树状图可知，共有6种不同的安排方案15．（2022秋·山西吕梁·高二校考阶段练习）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个．(1)六位奇数；(2)能被5整除的四位数.【答案】(1)288(2)108【分析】先排个位，再排首位，最后排中间四位.【详解】（1）先排个位，个位数字只能从1，3，5中选，有3种方法；再排首位，首位不能为0，故还有4个数字可选，有4种方法；最后排中间四位，没有其他附加条件，排列数为.由分步乘法计数原理，知共有不同的排法种数为.（2）能被5整除，个位只能是0或5，个位是0时，没有其他附加条件，其他三个数位的排法有种；个位是5时，首位排法有4种，再排十位与百位，有种，所以个位是5的排法有种.由分类加法计数原理知共有种排法.16．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）现有8个人（5男3女）站成一排．(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(5)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(6)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【答案】(1)5040(2)4320(3)21600(4)20160(5)14400(6)2880【分析】（1）分两步，先考虑甲必须站在排头的特殊要求，用特殊元素优先法可解；（2）女生必须排在一起，用捆绑法求解；（3）甲、乙两人不能排在两端，用插空法求解；（4）甲在乙的左边，可采用倍缩法求解；（5）甲、乙不能排在前3位，用特殊元素或特殊位置优先法可解；（6）女生两旁必须有男生，用插空法求解.【详解】（1）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，则甲必须站在排头有种排法；（2）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；（3）根据题意，将甲、乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，则甲、乙两人不能排在两端有种排法；（4）根据题意，将8人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有种不同的排法；（5）根据题意，将甲、乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，甲、乙不能排在前3位，有种不同排法；（6）根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则女生两旁必须有男生，有种不同排法．【能力提升】一、单选题1．（2022秋·山东菏泽·高二统考期末）将诗集《诗经》、《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是（

）A．戏剧放在中间的不同放法有种 B．诗集相邻的不同放法有种C．四大名著互不相邻的不同放法有种 D．四大名著不放在两端的不同放法有种【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理计数后进行判断即可.【详解】选项A：戏曲书只有一本，所以其余6本书可以全排列，共有6!种不同排列方法；选项：诗集共2本，把诗集当成一本，不同方法有6!种，这两本又可交换位置，所以不同放法总数为；选项C：四大名著互不相邻，那只能在这四本书的3个空隙中放置其他书，共有3!种放法，这四本书又可以全排列，所以不同放法总数为；选项D：四大名著可以在第2至第6这5个位置上任选4个位置放置，共有种放法，这四本书放好后，其余3本书可以在剩下的3个位置上全排列，所以共有不同放法总数为故选：C.2．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（

）A．180 B．192 C．300 D．420【答案】D【分析】将五个区域表示为①②③④⑤，先考虑区域①②③，再分情况考虑区域④⑤，由分步乘法计数原理求解即可.【详解】如图，将五个区域表示为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，有种；对于区域④⑤，若①与⑤颜色相同，则④有3种情况，若①与⑤颜色不同，则⑤有2种情况，④有2种情况，此时区域④⑤的情况有种情况；则一共有种情况故选：D．3．（2022秋·安徽安庆·高二安徽省怀宁中学校考阶段练习）我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一排，设事件表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”，则事件发生的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出总的排列数，再由分步乘法计数原理求得事件对应的排列数，再由古典概型求解即可.【详解】由题意知，五种不同属性的物质任意排成一列有种排法，事件表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”可看作五个位置排列五个元素，第一位置有五种排列方法，不妨假设是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，有两种选择，不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，∴总的排列方法种数为，∴事件发生的概率为.故选：B．4．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（

）A．48种 B．36种 C．24种 D．20种【答案】B【分析】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列，再将“射”和“御”交换位置，最后安排“数”，根据分步计数原理即可求解.【详解】解：因为“礼”在第一次，所以只需安排后面五次讲座的次序即可，又“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，所以先将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列有种排法，再将“射”和“御”交换位置有种排法，最后安排“数”有种排法，所以根据分步计数原理共有种排法，故选：B.5．（2022秋·重庆万州·高二校考期中）三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有A．72种 B．108种 C．36种 D．144种【答案】D【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果．【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有种方法，再与另一个男生排列，则有种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有种方法，利用分步乘法原理，共有种.故选：D．【点睛】本题考查乘法原理的运用和排列知识，还运用了捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，考查学生分析解决问题的能力．6．（2021·高二课时练习）如果一个位十进制数…的数位上的数字满足“小大小大…小大”的顺序，即满足：，我们称这种数为“波浪数”.从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数，这个数为“波浪数”的概率是A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意，分析可得在“波浪数”中，十位数字，千位数中必有一个是，另一数是或，另一数是时，将与放在千位、十位上，有种情况，剩余的放在其余三个数位上，有种情况，则此时的“波浪数”有个；另一数时，必须相邻，有四个“波浪数”，则由可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为，所以构成的“波浪数”的概率为，故选A．二、多选题7．（2022·高二课时练习）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排．（

）A．若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种B．若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有42种C．甲、乙不相邻的排法有82种D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种【答案】ABD【分析】利用捆绑法可判断A；分别算出甲在最左端时以及乙在最左端时的排法数，可判断B;用插空法可判断C；先从5个位置中选2个位置安排丁、戊两人，再把甲、乙、丙按从左到右的顺序排在剩下的3个位置中，计算排法数，可判断D.【详解】对于A，甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,把甲、乙看作一个人，两人只有一种排法，然后与其他人全排列，排法共有（种），A正确；对于B，甲在最左端时，排法有（种），乙在最左端时，排法有（种），排法共有（种），B正确；对于C，先排除甲、乙外的其他三人，再把甲、乙排进三人中间及两端的4个位置中，排法共有（种），C错误；对于D，先从5个位置中选2个位置安排丁、戊两人，再把甲、乙、丙按从左到右的顺序排在剩下的3个位置中，排法共有（种），D正确．故选：ABD．三、填空题8．（2022秋·重庆万州·高二校考期中）七名学生站成一排，其中甲不站在两端且乙不站在中间的排法共有___________种.【答案】3120【分析】分甲站在中间和甲不站在中间考虑，按照分步计数原理和分类计数原理计算即可.【详解】若甲站在中间，则乙有6种站法，其余5人有种站法，共有种；若甲不站在中间，有4种不同的站法，则乙有5种站法，其余5人有种站法，共有种；按照分类计数原理可得共有种.故答案为：3120.9．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有_______种.（用数字作答）【答案】【分析】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1，2，3，4，5，6，7，8八个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，由此即可求出结果.【详解】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1，2，3，4，5，6，7，8八个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，如下图所示:然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，则每一个圆环有8种剪开方式情况，故满足题意的有种.故答案为：.10．（2022·全国·高二假期作业）我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有___________种.【答案】198【分析】首先列出至少有两个卡片之和相等的盒子的情况，然后利用全排列即可求解.【详解】由题意可知，设存在的这两个盒子中卡片的数字之和相等，设其相等的和为．当时，共有1种情况，即；当时，共有3种情况，即，，{(1，5，6)，(2，3，7)}；当时，共有5种情况，即，，，，；当时，共有7种情况，即，，，，，，；当时，共有2种情况，即，；当时，共有7种情况，即，，，，，，；当时，共有5种情况，即，，，，{(1，7，9)，(3，6，8)}；当时，共有2种情况，即，；当x＝19时，共有1种情况，即{(3，7，9)，(5，6，8)}；综上所述，共有1＋3＋5＋7＋2＋7＋5＋2＋1＝33(种)情况，∴不同的放法共有：种．故答案为：198．四、解答题11．（2022·高二课时练习）用0、1、2、3四个数字组成没有重复数字的自然数．(1)把这些自然数从小到大排成一个数列，1230是这个数列的第几项？(2)其中的四位数中偶数有多少个？它们各个数位上的数字之和是多少？它们的和是多少？【答案】(1)35(2)10；60；21768【分析】（1）利用分步乘法计数原理讨论1位自然数、2位自然数、3位自然数、4位自然数的情况即可.（2）利用分步乘法和分类加法计数原理计算即可.【详解】（1）1位自然数有个；2位自然数有个；3位自然数有个；4位自然数中小于1230的有“10XX”型个，1203共3个；所以1230是此数列的第项.（2）四位数偶数有个位是0和个位是2两种情况，其中个位是0有种；个位不是0有种.所以四位偶数共有10个.它们各个数位上的数字之和为；这10个偶数中，个位是2的有4个；当个位是0时由得十位、百位、千位是1，2，3的各有两种；当个位不是0时，由得千位是1，3的个两种，百位、十位是1，3的各1种；所以它们的和为12．（2022秋·陕西西安·高二校考阶段练习）六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端(2)甲､乙必须相邻；(3)甲､乙不相邻；(4)甲､乙之间间隔两人；【答案】(1)种(2)种(3)种(4)种【分析】（1）在中间的4个位中选一个，排上甲，其余的人任意排可得答案；（2）把甲乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列可得答案；（3）先把甲乙二人单独挑出来，把其余的4个人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5个空中排列可得答案；（4）先把甲乙排好，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，先把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，根据分步计数原理，求得甲乙之间间隔两人的排法即可.(1)现在中间的4个位中选一个，排上甲