理论力学课件-第5章

第5章运动学基础5.1点的运动学5.2刚体的平行移动5.3刚体的定轴转动思考题习题

5.1点的运动学

当物体的几何形状与尺寸在运动过程中不起主要作用时，可将物体的运动简化为点的运动进行研究。点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具有独立的工程实际意义。5.1.1矢量法

设动点沿某空间曲线运动，选取固定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称r为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。当动点M运动时，矢径r是时间t的单值连续函数，即

r=r(t)

(5-1)

式(5-1)称为点的矢径形式的运动方程。因为对于给定的瞬时t，它给出了点在空间的确定位置,所以，若点的运动方程确定了，则点的运动就完全确定了。动点M在运动过程中，其矢径r的端点将在空间划出一条连续曲线，称为矢端曲线。显然，矢径r的矢端曲线就是动点M的运动轨迹(如图5-1(a)所示)。

为了描述点运动的快慢及方向，引入速度矢量v。点的速度是描述点的运动特征的基本物理量。动点M的速度矢量等于它的矢径r对时间t的一阶导数，即

(5-2)

点的速度矢量方向沿着矢径r的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与动点运动的方向一致。速度的大小称为速率，它表征了点运动的快慢程度。图5-1点的速度矢量对时间的变化率a称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向变化的快慢程度。点的加速度矢量等于该点的速度矢量对时间的一阶导数，或等于矢径对时间t的二阶导数，即

(5-3)

选定一点O为起点，如果作出点的速度矢端曲线，点加速度

矢量a的方向与速度矢端曲线在相应点M的切线相平行，如图5-1(b)所示。5.1.2直角坐标法

对于具体问题，需要将r、v、a具体表示出来，最简单而又最常用的是直角坐标法。

取一固定的直角坐标系Oxyz，动点坐标为x、y、z，矢径r的起点与坐标系原点重合，矢径的解析表达式为

r=xi+yj+zk

(5-4)

式中,i、j、k分别为三个坐标轴方向的单位矢量(如图5-2所示)。因此，点的运动可用直角坐标法具体表示为

(5-5)图5-2这组方程称为点的直角坐标形式的运动方程。将t作为参数，这一组方程就是点的运动轨迹的参数方程。由此方程可确定出任一时刻动点的位置M(x、y、z)。

在工程中，经常遇到点在某平面内运动的情形，此时点的轨迹曲线为一平面曲线。取轨迹所在的平面为坐标平面Oxy，点的直角坐标形式的运动方程可写为

x=x(t)

y=y(t)

(5-6)

从上式中消去时间t，可得点的轨迹方程

f(x,y)=0

(5-7)将式(5-4)代入式(5-2)中，由于i、j和k为大小和方向都不变的恒矢量，因此有

(5-8)

设动点M的速度矢量v在直角坐标轴上的投影为vx、vy、vz，即

v=vxi+vyj+vzk

(5-9)

比较式(5-8)和式(5-9)，可得

(5-10)

因此，速度在各坐标轴上的投影等于相应坐标对时间的一阶导数。由式(5-10)求得vx、vy和vz后，速度v的大小和方向就可由它的三个投影完全确定。

同理，对点的加速度有

a=axi+ayj+azk

(5-11)

则有

(5-12)

因此，加速度在直角坐标轴上的投影等于相应坐标对时间的二阶导数。

加速度a的大小和方向由它的三个投影ax、ay和az完全确定。

例5-1在图5-3所示的机构中，曲柄OC以等角速ω绕O轴逆时针转动，且φ=ωt，A、B两滑块分别在水平和垂直滑道内滑动。已知OC=AC=BC=l，MC=a，求连杆AC上的点M的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。图5-3

解：取坐标系Oxy如图5-3所示，可写出M点的运动方程为

x=(OC+CM)cosφ=(l+a)cosωt

y=AM·sinφ=(l-a)sinωt

消去时间t，可得M点的轨迹方程为

由此可见，M点的运动轨迹为一椭圆，长轴与x轴重合，短轴与y轴重合。这种机构称为椭圆机构。为求点的速度，将点的坐标对时间求一阶导数，得

故M点速度的大小为其方向余弦为

为求点的加速度，将点的坐标对时间求二阶导数，得故M点的加速度大小为

其方向余弦为

例5-2某正弦机构如图5-4所示。曲柄OM长为r，绕O轴

匀速转动，它与水平线间的夹角为φ=ωt+θ，其中θ为t=0时的夹角，称为初相角，ω为一常数；滑杆AB只能沿滑道上下运动。已知滑杆上A、B两点间距离为b，求点A、B的运动方程、速度和加速度。

解：滑杆上A、B两点都做直线运动。取Ox轴如图5-4所示。于是A、B两点的坐标分别为

xA=b+rsinφ=b+rsin(ωt+θ)

xB=rsinφ=rsin(ωt+θ)图5-4上式即为A、B两点沿Ox轴的运动方程。对其求一阶、二阶导数，得A、B点的速度和加速度分别为

可见A、B两点具有完全相同的速度、加速度。5.1.3自然法

设动点M的轨迹是已知的，如图5-5所示。在轨迹上任选一点O作为量取弧长的起点，并规定由原点O向一方量取的弧长取正值，向另一方量取的弧长取负值。这种带有正负值的弧长称为动点M的弧坐标，用s表示。点在轨迹上的位置可由点的弧坐标s完全确定。当点M沿已知轨迹运动时，弧坐标随时间而变，并可表示为时间t的单值连续函数，即

s=f(t)

(5-13)

这个方程表明了点沿已知轨迹的运动规律，称为动点弧坐标形式的运动方程。图5-5在点的运动轨迹曲线上取极为接近的两点M和M1，两点间的弧长为Δs，两点切线方向的单位矢量分别为t和t1，其指向与弧坐标正向一致，如图5-6所示。将t1平移至点M，得t1′，则t1′和t决定一平面。令M1无限趋近于点M，则此平面趋于某一极限位置，此极限平面称为曲线在点M处的密切面。过点M并与切线垂直的平面称为法平面，法平面与密切面的交线称为主法线。主法线方向的单位矢为n，指向曲线内凹一侧。过点M且垂直于切线及主法线的直线称为副法线，其单位矢为b，指向由t、n、b构成的右手系确定，即

b=t×n图5-6以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M处的自然坐标系，这三个轴称为自然轴。应该注意的是，随着点M的运动，t、n、b的方向在不断地改变，自然坐标系是沿运动轨迹而变动的游动坐标系。

设在Δt时间间隔内，动点沿轨迹由位置M运动到M′，如图5-7所示。其矢径增量为Δr，其弧坐标增量为Δs，由式(5-2)可得图5-7其中，dr/ds为轨迹切线方向单位矢t，因为

当Δs→0时，比值，而的极限方向就是轨迹的切线方向。所以，为轨迹切线方向单位矢t。可见，点M的速度沿轨迹切线方向，并可表示为

(5-14)

式(5-14)中

(5-15)

显然，v是速度v在t方向的投影，它是一个代数量。v＞0时，表示v沿t的正向；v＜0时，表示v沿t的负向。总之，速度矢量的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶导数的绝对值；指向必定沿轨迹的切线方向。将式(5-14)对时间取一阶导数，注意v、t都是变量，得

(5-16)

上式右端两部分都是矢量，第一部分是反映速度大小变化的加速度，记为at；第二部分是反映速度方向变化的加速度，记为an。下面分别讨论它们的大小和方向。

1.反映速度大小变化的加速度at

(5-17)

显然,at是一个沿轨迹切线方向的矢量，因此称为切向加速度。其大小为

(5-18)

at是一个代数量，它是动点加速度沿轨迹切向的投影。

切向加速度反映的是速度大小对时间的变化率，其值等于速度代数值对时间的一阶导数，或弧坐标对时间的二阶导数，其方向沿轨迹切线方向。

2.反映速度方向变化的加速度an

(5-19)

它反映速度方向t的变化，上式可改写为

(5-20)下面分析dt/ds的大小和方向。由图5-8可见，

是切线的转角对弧长的变化率，即为曲线的曲率，它的倒数称为曲率半径，即

(5-21)图5-8再考察dt/ds的方向，它是Δt在M′趋于M时的极限方向，显然垂直于t，指向曲线内凹的一侧，即dt/ds的方向与主法线单位矢n的方向一致，故

(5-22)

将式(5-22)代入式(5-20)，得

(5-23)由此可见,an的方向与主法线正向一致，称为法向加速度。于是可得出结论：法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度，其大小等于点的速度平方除以曲率半径，方向沿着主法线，指向曲率中心。

综上所述，点的加速度为

a=at+an=att+ann

(5-24)

式中,

(5-25)由于at、an均在密切面内，因此全加速度a也必在密切面内。这表明加速度沿副法线上的分量为零，即

ab=0

(5-26)

此外还应注意到：若导数dv/dt取正值,表示切向加速度at沿切向单位矢t的正向，若导数dv/dt取负值,表示切向加速度

at沿切向单位矢t的负向，如图5-9所示；若导数dv/dt与ds/dt同号，表示点做加速运动，若导数dv/dt与ds/dt异号，则表示点做减速运动；因为v2/ρ永远取正值，所以法向加速度永远指向曲率中心。全加速度与切向加速度、法向加速度的关系如图5-9所示。图5-9全加速度的大小为

(5-27)

全加速度与主法线夹角的正切值为

(5-28)

例5-3半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动(纯滚动)，设轮子转角φ=ωt(ω为常值)，如图5-10所示。求轮缘

上M点的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。图5-10

解：在点M的运动平面内取直角坐标系Oxy，如图5-10所示。x轴沿直线轨道，并指向轮子滚动的前进方向，y轴垂直向上，坐标原点为初始时轮子与地面的接触点。当轮子转过φ角时，轮子与直线轨道的接触点为C。由于是纯滚动，M点直角坐标形式的运动方程为

(5-29)式(5-29)对时间求导，得

(5-30)

M点速度的大小为

(0≤ωt≤2π)

(5-31)将式(5-30)再对时间求导，即得加速度在直角坐标上的

投影

(5-32)

由此得全加速度的大小为

(5-33)将式(5-31)对时间求一阶导数，可得动点的切向加速度为

(5-34)

可求得法向加速度的大小为

(5-35)轨迹的曲率半径为

(5-36)

当φ=0和2π时，M点处于最低位置，此时，vx=0,vy=0,v=0；而ax=0,ay=rω2=a。由此得到一个重要结论：轮子纯滚动时，

轮子上与地面接触的那个点的瞬时速度为零，而加速度不等于零，加速度a=rω2，方向向上。

5.2刚体的平行移动

刚体是一种几何不变的质点系，其上各点的距离始终保持不变。刚体是实际物体在变形可忽略的条件下的抽象模型。

在运动的过程中，刚体上任一直线始终平行于其初始位置，这种运动称为刚体的平行移动，简称平动。机车在直线轨道上行驶时连杆AB的运动(如图5-11所示)、汽缸内活塞的运动、车床上刀架的运动等等，都是刚体平动的实例。图5-11如图5-12所示，在刚体内任选两点A和B，令点A的矢径为rA，点B的矢径为rB，两条矢端曲线就是两点的轨迹。由图可知

(5-37)

当刚体平动时，矢量BA的长度和方向都不变，所以BA是恒矢量，因此只要把点B的轨迹沿BA方向平行搬移一段距离BA，就能与点A的轨迹完全重合。由此可知，刚体平动时，其上各点运动轨迹的形状、大小完全相同。点的运动轨迹是直线的平动称为直线平动，点的运动轨迹是曲线的平动称为曲线平动。例如发动机活塞的运动即为直线平动，机车上连杆的运动即为曲线平动。→→→图5-12将式(5-37)对时间t求一阶、二阶导数，可得

vA=vB,

aA=aB

由于A、B是平动刚体上的任意两点，因此可得出结论：

平动刚体上各点的运动轨迹相同，同一瞬时各点的速度相同，加速度也相同。因此，研究刚体的平动，可归结为研究刚体内任意一点的运动。

对某一机构进行运动分析时，首先应寻找该机构中做平动的构件。

5.3刚体的定轴转动

刚体运动时，若其上有一根直线始终保持不动，这种运动称为刚体的定轴转动，这根不动的直线称为转动轴(转轴)。刚体定轴转动的运动形式大量存在于工程实际中，如各种旋转机械、轮系传动装置等。但有时定轴转动刚体的转轴不一定在刚体内部，可将刚体抽象地扩大，转轴是刚体外一条抽象的轴线，如放置在大转盘边缘的物体的运动。5.3.1定轴转动的运动方程、角速度与角加速度

取坐标系Oxyz如图5-13所示，令Oz轴与刚体的转轴重合。通过转轴作一固定平面A，再过转轴作一固结于刚体的平面B，B平面相对于固定面A的位置可用转角φ描述，转角φ可完全确定刚体的位置，φ称为刚体的转角，它是一个代数量，其正负规定如下：逆着z轴方向看，逆时针方向转动为正，顺时针方向转动为负，φ的单位为弧度(rad)。当刚体做定轴转动时，转角φ是时间t的单值连续函数，定轴转动方程可写为

φ=f(t)

(5-38)图5-13转角对时间t的一阶导数称为刚体的角速度，用字母ω表示，即

(5-39)

角速度的大小表征了刚体转动的快慢，其单位为rad/s。角速度也是代数量，其正负规定与转角φ的正负规定相同。角速度对时间t的一阶导数称为刚体的角加速度，用字母α表示，即

(5-40)

角加速度的大小表征角速度变化的快慢，其单位为rad/s2。角加速度也是代数量，其正负规定与转角φ的正负规定相同。如果α与ω同号，则转动为加速转动；如果α与ω异号，

则转动为减速转动。如果刚体的角速度为一常量，即ω=常数，则这种转动称为匀速转动。类似于点的匀速运动，转角的计算公式为

(5-41)

其中，φ0为t=0时的转角，称为初相角。

机器中的转动部件一般情况下都做匀速转动。工程中常用每分钟的转数n(单位为r/min)来表示转动的快慢，称为转速。角速度ω与转速n的关系为

(5-42)如果刚体的角加速度为常量，即α=常数，则这种转动称为匀变速转动。类似于点的匀变速直线运动，角速度、转角的计算公式为

(5-43)

(5-44)

其中，ω0和φ0分别是t=0时的角速度和转角。5.3.2转动刚体内各点的速度和加速度

定轴转动时，刚体上各点均在与转轴垂直的平面内做圆周运动，圆周的半径等于点到转轴的垂直距离。此时，可采用自然法研究转动刚体内各点的速度、加速度。

如图5-14所示，设刚体的转角为φ，则点M弧坐标形式的运动方程为

s=Rφ

式中,R为点M到轴心O的距离。图5-14将上式对时间求一阶导数，可得

考虑到式(5-15)和式(5-39)，可得M点的速度为

v=Rω

(5-45)

即转动刚体内任意一点速度的大小，等于该点到轴线的垂直距离与刚体的角速度的乘积。它的方向沿圆周切线且指向转动的一方。在该截面任一条通过轴心的直线OA上，各点的速度分布如图5-14所示。点M的加速度分为切向加速度和法向加速度两部分。切向加速度的大小为

(5-46)

即定轴转动刚体内任意一点的切向加速度，等于该点到转轴的距离与刚体角加速度的乘积。不难看出，当α与ω正负相同时，切向加速度at与速度v方向相同，相当于做加速转动；当α与ω正负不同时，切向加速度at与速度v方向相反，相当于做减速转动，如图5-15所示。图5-15点M的法向加速度大小为

(5-47)

即定轴转动刚体内任意一点的法向加速度，等于该点到转轴的距离与刚体角速度平方的乘积，法向加速度恒指向轴心O，也称为向心加速度。

点M的全加速度a的大小为

(5-48)它与半径的夹角θ可由下式求出

(5-49)

由式(5-46)～(5-48)可知，在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的切向加速度、法向加速度和全加速度的大小均与点到转轴的距离成正比。由式(5-49)可知，加速度a和半径间的夹角θ与半径无关，同一横截面上各点的全加速度分布如图

5-16所示。图5-16

例5-4半径为R的半圆环在A、B处分别与曲柄O2A、O1B铰接，如图5-17所示。O2A=O1B=l=6cm，O1O2=AB，曲柄O2A的转动方程为，其中t为时间，单位为s。求当t=0及t=2s时，半圆环上M点的速度和加速度。图5-17

解：因为O1BAO2为平行四边形，BA始终与固定直线O1O2平行，半圆环做平动，故其上各点的运动轨迹相同，且任一瞬时，各点的速度、加速度相同。M点的速度大小为

(5-50)

M点的切向加速度、法向加速度的大小分别为

(5-51)

(5-52)将t=0代入式(5-50)~(5-52)，此瞬时，M点的速度vM=9π

(cm/s),方向水平向右；M点的加速度atM=0,anM=aM=13.5π2

(cm/s2)，方向垂直向上。

将t=2s代入式(5-50)~(5-52)，此瞬时，M点的速度vM=0；M点的切向加速度atM=-

π2(cm/s2)，方向垂直于O2A，anM=0，因此a=atM=-

π2(cm/s2)，其中负号表示实际指向与图示方向相反。

注意：半圆环上各点的运动轨迹与A、B两点轨迹一样为圆，但半圆环并不做转动，而做平动。也就是说，刚体平动时，刚体上各点的运动轨迹不一定总是直线，也可能是曲线。

例5-5滑轮半径r＝0.2m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A，如图5-18所示。已知滑轮绕轴O的转动规律为φ=0.15t3rad，其中t以秒计。试求t=2s时轮缘上M点的速度、加速度和物体A的速度、加速度。

解：首先根据转动规律求滑轮的角速度、角加速度。

代入t＝2s，得ω=1.8rad/s,α=1.8rad/s2。图5-18由式(5-45)得t=2s时，轮缘上M点的速度为

vM=rω=0.2×1.8=0.36m/s

由式(5-46)和(5-47)可得，M点的切向、法向加速度分量分别为

at=rα=0.2×1.8=0.36m/s2

an=rω2=0.2×1.82=0.648m/s2因而M点的全加速度大小和方向分别为

指向如图5-18所示。因为物体A与轮缘上M点的运动不同，前者做直线平动，后者随滑轮做圆周运动，因此两者的速度、加速度不完全相同。由于细绳不能伸长，物体A与点M的速度大小相等，A的加速度与点M切向加速度的大小也相等，于是有

vA=vM=0.36m/s

aA=at=0.36m/s2

速度、加速度的方向均铅垂向下。5.3.3轮系的传动比

工程中常用轮系改变机械的转速，常见的轮系有齿轮系和带轮系。齿轮传动可分为外啮合(如图5-19(a)所示)和内啮合(如图5-19(b))两种。图5-19设两个齿轮各绕固定轴O1、O2转动。已知其啮合圆半径分别为r1、r2,齿数分别为z1、z2,角速度分别为ω1、ω2。设A、B分别为两个啮合齿轮啮合圆上的的接触点，因两圆之间没有相对滑动，故

vA=vB

即

r1ω1=r2ω2

改写为齿轮正常啮合时，两啮合齿轮的齿距必须相等，即

则设齿轮Ⅰ为主动轮，Ⅱ为从动轮，令，称为

两齿轮的传动比，则

上式说明，两啮合齿轮的传动比与两齿轮啮合圆半径(或齿数)成反比。

上式定义的传动比是两个角速度大小的比值，与转动方向没有关系。因此它不仅适用于圆柱齿轮传动，还适用于传动轴线呈任意角的圆锥齿轮传动、摩擦轮传动和皮带轮传动等。有些场合为了区分轮系中各轮的转向，对各轮都规定了统一的转动正向，这时各轮的角速度可用代数值表示，传动比也可用代数值表示。同向转动时传动比取正(如图5-19(b)

所示)，反向转动时传动比取负(如图5-19(a)所示)。此时，

(5-53)5.3.4角速度与角加速度的矢量表示及速度与加速度

的矢积表示

1.角速度与角加速度的矢量表示

在前面，我们将角速度、角加速度都作为标量，然而在研究较为复杂的问题时，将角速度、角加速度用矢量表示更为方便。

角速度矢量ω可以这样定义：ω与转轴z共线，其长度表示角速度的大小，箭头的指向由刚体的转向按右手螺旋法则确定，如图5-20所示。图5-20显然当角速度的代数值为正时，ω的指向与z轴正向一致；为负时则相反。ω矢量的起点可在轴上任意一点画出，即ω是一滑移矢量。设k为沿z轴正向的单位矢量，则

ω=ωk

(5-54)

角加速度矢量α可定义为角速度矢量ω对时间t的一阶导数，注意到k为一常矢量，则有

(5-55)

可见角加速度矢量α的方向也沿z轴，如图5-20所示。当α与ω同向时，刚体加速转动；反之，减速转动。

2.定轴转动刚体上各点速度与加速度的矢积表示

定轴转动刚体上任意一点的速度可用矢积表示。若在轴线上任选一点O为原点，动点M的矢径以r表示，如图5-21(a)所示，则M点的速度可用角速度矢与其矢径的矢量积表示为

v=ω×r

(5-56)图5-21根据矢积的定义，矢积ω×r仍是一个矢量，其大小为

|ω×r|=|ω||r|sinθ=|ω|R=|v|

式中,θ是角速度矢量ω与矢径r间的夹角。这就说明ω×r的大小等于M点的速度大小。

矢积ω×r的方向垂直于ω与r组成的平面，由图5-21(a)可以看出，矢积ω×r的方向正好与M点的速度方向相同。

于是可得出结论：绕定轴转动的刚体上任意一点的速度矢等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积。

绕定轴转动的刚体上任意一点的加速度矢也可用矢积表示。将式(5-56)两边同时对时间t求一阶导数，得M点的加速度为

又由于,所以

(5-57)

上式右端第一项的大小为

|α×r|=|α||r|sinθ=|α|R=|at|

其方向垂直于α与r所决定的平面，指向如图5-21(b)所示，该方向正好与M点的切向加速度方向一致，即

at=α×r

(5-58)式(5-57)右端第二项大小为

|ω×v|=ωvsin90°=ω(Rω)=Rω2=an

其方向垂直于ω和v所决定的平面，指向由右手法则确定，正好沿M点轨迹法线，与M点法向加速度方向一致，即

an=ω×v

(5-59)

从而式(5-57)可改写为

a=α×r+ω×v=an+at

(5-60)

由此可见，转动刚体内任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积；其法向加速度等于刚体的角速度矢与该点速度矢的矢积。思考题

5-1作曲线运动的点，其位移、路程和弧坐标是否相同？

5-2在某瞬时动点的速度等于零，这时动点的加速度是否一定为零？

5-3点沿曲线运动，思5-3图中所示各点所给出的速度v和加速度a哪些是可能的？哪些是不可能的？思5-3图

5-4和有何不同？就直线运动和曲线运动分别加

以讨论。

5-5一绳缠绕在鼓轮上，绳端系一重物M，M以速度v、加速度a向下运动，如思5-5图所示。问绳上两点A、D和轮缘上两点B、C的加速度是否相同？思5-5图

5-6刚体的平动有何特征？刚体做平动时各点的轨迹一定是直线吗？直线平动与曲线平动有何不同？

5-7已知刚体的角速度为ω、角加速度为α，求图中

A、M两点的速度、切向加速度和法向加速度的大小，并图示之。思5-7图习题

5-1如题5-1图所示，杆AB长为l，以等角速度ω绕点B转动，其转动方程为φ=ωt。而与杆AB联接的滑块B按规律s=a+bsinωt沿水平线运动，其中a和b均为常数。求点A的运动轨迹。题5-1图

5-2如题5-2图所示,半圆形凸轮O以等速率v0=0.01m/s，沿水平方向向左运动，带动活塞杆AB沿垂直方向运动。运动开始时，活塞杆的A端在凸轮的最高点。如凸轮的半径R=

80mm，滑轮A的半径忽略不计，求活塞B相对于地面及相对于凸轮的运动方程和速度。题5-2图

5-3如题5-3图所示，雷达在距离火箭发射台为l的O处观察铅垂上升的火箭发射，测得角θ的规律为θ=kt(k为常数)。试写出火箭的运动方程，并计算当θ=π/6和π/3时火箭的速度和加速度。题5-3图

5-4摇杆滑道机构中的滑块M同时在固定的圆弧槽BC和摇杆OA的滑道中滑动。如弧BC的半径为R，摇杆OA的转轴O在弧BC的圆周上，如题5-4图所示。摇杆绕O轴以等角速度ω转动，运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法写出点M的运动方程，并求其速度和加速度。题5-4图

5-5如题5-5图所示，杆OA和O1B分别绕O和O1轴转动，用十字形滑块D将两杆联接。在运动过程中，两杆保持正交。已知：OO1=a；φ=ωt，其中ω为常数。求滑块D的速度和相对于杆OA的速度。题5-5图

5-6曲柄OA长为r，在平面内绕O轴转动，如题5-6图所示。杆AB通过铰接于点N的套筒与曲柄OA铰接于点A。设φ=ωt，杆AB长l=2r。求点B的运动方程、速度和加速度。题5-6图

5-7某铰链机构由长