1.3空间向量及其运算的坐标表示课件-高二上学期数学人教A版选择性

§1.3.1空间直角坐标系2025/8/20ikjpPQO空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得

p=xa+yb+zc.特别地，当三个向量两两垂直时，称为正交分解单位正交基底

如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用{}表示引

入空间向量的运算基向量的运算几何问题代数问题问题1

能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算．所以，基底概念的引人为几何问题代数化奠定了基础.平面直角坐标系包含的要素：原点，坐标轴，单位长度类比引

入探究新知1.空间直角坐标系定义在空间内选取一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴,它们都叫做坐标轴.ijOkxyz这时我们建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i,j,k都叫做坐标向量.通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面，8它们把空间分成

个部分.每个部分称之为一个卦限.画空间直角坐标系Ozyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.

2.空间直角坐标系的画法探究新知问题2

在平面直角坐标系中每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？ijOkxyzAijOkxyzA有序实数组(x,y,z)一一对应横坐标纵坐标竖坐标a符号(x,y,z)具有双重意义,它既可以表示向量,也可以表示点,在表述时要注意区分.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.2.空间直角坐标系中点与向量的坐标

教材P18练习

OyzOxzOxy(0,3,4)(2,0,4)(2,3,0)(-1,-3,-5)点在平面内的射影：过点作平面的垂线所得的垂足.点在坐标轴的射影：过点作坐标轴的垂线所得的垂足.(1,0,0)规律：在坐标平面或坐标轴的射影坐标——缺谁谁就为0.例1如图示,在长方体OABC-D'A'B'C'中,OA=3,OC=4,OD'=2,以为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

(1)写出D',C,A',B'四点的坐标;

(2)写出向量

的坐标.ACOBC′D′B′A′典例精析

课堂练习3.在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3,OC=4,OD'=3，A'C'与B'D'相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点C,B',

P的坐标；(2)写出向量

的坐标.ACOBC′D′B′A′P练习：已知点A(x,y,z)，则：①点A关于x轴对称的点为A1___________;②点A关于y轴对称的点为A2___________;③点A关于z轴对称的点为A3___________.④点A关于原点对称的点为A4___________.⑤点A关于Oxy平面对称的点为A5__________;⑥点A关于Oxz平面对称的点为A6__________;⑦点A关于Oyz平面对称的点为A7__________.(x

,y

,-z)(-x,y

,z)(x,-y,z)(x

,-y,-z)(-x,-y,z)(-x,y

,-z)(-x,-y,-z)规律：关于谁对称，谁就不变！其余互为相反数探究新知2.在空间直角坐标系Oxyz中，(1)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标.(2)写出点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标.OP(2,3,4)•探究新知OxyzABCB′A′C′D′1.坐标平面上的点2.坐标轴上的点x轴上的点表示为y轴上的点表示为z轴上的点表示为(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)xoy平面上的点表示为(x,y,0)yoz平面上的点表示为xoz平面上的点表示为(0,y,z)(x,0,z)3.P(x,y,z)关于坐标平面对称的点4.P(x,y,z)关于坐标轴对称的点关于xOy平面对称的点(x,y,-z)关于xOz平面对称的点(x,-y,z)关于yOz平面对称的点(-x,y,z)关于x轴对称的点(x,-y,-z)关于y轴对称的点(-x,y,-z)关于z轴对称的点(-x,-y,z)5.关于点对称的点特别地，点（x,y,z）关于坐标原点O对称点的坐标为（-x，-y，-z）.根据中点坐标公式来计算结论小记§1.3.2空间向量运算的坐标表示引

入前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来.那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？问题1

平面向量中有哪些运算？类比到空间中？加法

减法

数乘

数量积探究新知问题2你能类比平面向量的坐标运算，类比出空间向量的坐标运算？

由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．探究新知问题2你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗?如图示，建立空间直角坐标系Oxyz，设P1(x1,

y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点，则OP2P1空间两点间的距离公式：将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单.探究新知1.已知求:2.已知求x的值.趁热打铁应用一：直线的特殊位置关系例2如图示，在正方体ABCD

–A1B1C1D1中，E,F分别是BB1,D1B1的中点，求证：EF⊥DA1.OADCBA1D1C1B1EF

(2m+1,3,m-1)=λ(2,m,-m)=(2λ,λm,-λm),解得m=-2.ADCBA1D1C1B1E1F1M例3如图示，在棱长为1的正方体ABCD

–A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上，(1)求AM的长.应用二：空间距离、角度ADCBA1D1C1B1E1F1M例3如图示，在棱长为1的正方体ABCD