第02讲 两条直线的位置关系（八大题型）（讲义）（原卷版）

第02讲两条直线的位置关系目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：直线平行与垂直的判定 4知识点2：三种距离 4解题方法总结 5题型一：两直线位置关系的判定 6题型二：两直线的交点与距离问题 8题型三：有关距离的最值问题 9题型四：点关于点对称 11题型五：点关于线对称 11题型六：线关于点对称 12题型七：线关于线对称 13题型八：直线系方程 1304真题练习·命题洞见 1405课本典例·高考素材 1506易错分析·答题模板 17易错点：两平行直线间的距离公式应用错误 17答题模板：已知两直线平行或垂直求参数 17

考点要求考题统计考情分析（1）两条直线的平行与垂直（2）两直线的交点与距离问题2022年上海卷第7题，5分2020年III卷第8题，5分2020年上海卷第7题，5分高考对两条直线的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等，特别要重视两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这两个考点．复习目标：（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直．（2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．（3）掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

知识点1：直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．两直线方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一个为0，另一个不存在．【诊断自测】（多选题）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为C．若，则 D．若，则直线，一定相交知识点2：三种距离1、两点间的距离平面上两点的距离公式为．特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离2、点到直线的距离点到直线的距离特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离3、两条平行线间的距离已知是两条平行线，求间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设，则与之间的距离注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．4、双根式双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．【诊断自测】（多选题）已知点到直线的距离为3，则实数等于（

）A．0 B． C．3 D．2解题方法总结1、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有可得对称点的坐标为2、点关于直线对称点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．3、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．4、直线关于直线对称求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线第一步：联立算出交点第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点第三步：利用两点式写出方程5、常见的一些特殊的对称点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．点关于点的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．6、过定点直线系过已知点的直线系方程（为参数）．7、斜率为定值直线系斜率为的直线系方程（是参数）．8、平行直线系与已知直线平行的直线系方程（为参数）．9、垂直直线系与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．10、过两直线交点的直线系过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．题型一：两直线位置关系的判定【典例1-1】（湖北省“宜荆荆恩”2024届高三9月起点考试数学试题）已知两条直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例1-2】已知，，直线和垂直，则的最小值为（

）A． B． C． D．【方法技巧】【解题方法总结】判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则：当时，直线相交；当时，直线平行或重合，代回检验；当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．【变式1-1】直线与直线相交，则实数的值为（）A．或 B．或C．且 D．且【变式1-2】点为直线上不同的两点，则直线与直线的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．重合 D．不确定【变式1-3】（2024·高三·广东·开学考试）已知直线，直线，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【变式1-4】（2024·高三·上海宝山·开学考试）已知集合，，则下列结论正确的是（

）A．存在，使得B．当时，C．当时，D．对任意的，都有题型二：两直线的交点与距离问题【典例2-1】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（

）A．2 B． C． D．1【典例2-2】若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【方法技巧】两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．【变式2-1】已知点，，，则的面积为．【变式2-2】已知平面上点和直线，点P到直线l的距离为d，则.【变式2-3】已知直线，则点到直线的距离的最大值为.【变式2-4】已知点，若直线l过点，且A、B到直线l的距离相等，则直线l的方程为.【变式2-5】，与直线平行，则直线与的距离为.【变式2-6】若恰有两组的实数对满足关系式，则符合题意的的值为.【变式2-7】（2024·全国·模拟预测）已知直线和与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为（

）A． B． C． D．题型三：有关距离的最值问题【典例3-1】我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（

）A． B．3 C． D．4【典例3-2】设，其中.则的最小值为（

）A．8 B．9 C． D．【方法技巧】数学结合，利用距离的几何意义进行转化．【变式3-1】已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．5【变式3-2】已知为直线上的一点，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．【变式3-3】的最小值为（

）A． B． C． D．【变式3-4】已知实数，满足，，，则的最小值是．【变式3-5】已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为.【变式3-6】（多选题）已知两点，点是直线：上的动点，则下列结论中正确的是（

）A．存在使最小 B．存在使最小C．存在使最小 D．存在使最小【变式3-7】（多选题）已知直线和三点，，，过点C的直线与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（

）A．P在直线l上，则的最小值为B．直线l上一点使最大C．当最小时的方程是D．当最小时的方程是【变式3-8】已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（

）A． B． C． D．5【变式3-9】过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（

）A． B．3 C． D．【变式3-10】已知，为实数，代数式的最小值是.题型四：点关于点对称【典例4-1】直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时，.【典例4-2】已知，，点是线段的中点，则.【方法技巧】求点关于点中心对称的点，由中点坐标公式得【变式4-1】已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为.【变式4-2】设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于【变式4-3】已知直线l与直线及直线分别交于点P，Q．若PQ的中点为点，则直线l的斜率为．【变式4-4】已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为.题型五：点关于线对称【典例5-1】将一张坐标纸对折，如果点与点重合，则点与点重合.【典例5-2】点关于直线对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．【方法技巧】求点关于直线对称的点方法一：（一中一垂），即线段的中点M在对称轴上，若直线的斜率存在，则直线的斜率与对称轴的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点方法二：先求经过点且垂直于对称轴的直线（法线），然后由得线段的中点，从而得【变式5-1】若直线和直线关于直线对称，则直线恒过定点（

）A． B． C． D．【变式5-2】一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【变式5-3】在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光从点P出发经反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR经过的重心，则.题型六：线关于点对称【典例6-1】直线关于点对称的直线方程为．【典例6-2】直线关于点对称的直线方程为．【方法技巧】求直线l关于点中心对称的直线求解方法是：在已知直线l上取一点关于点中心对称得，再利用，由点斜式方程求得直线的方程（或者由，且点到直线l及的距离相等来求解）．【变式6-1】直线关于点对称的直线的方程为．【变式6-2】直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为．【变式6-3】在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是.题型七：线关于线对称【典例7-1】若直线与直线关于直线对称，则直线的一般式方程为.【典例7-2】直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是．【方法技巧】求直线l关于直线对称的直线若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等．此时分别为，由，求得，从而得．若直线l与不平行，则．在直线l上取异于Q的一点，然后求得关于直线对称的点，再由两点确定直线（其中）．【变式7-1】已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为．【变式7-2】若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为.【变式7-3】直线：关于直线：的对称直线方程为．【变式7-4】直线关于直线的对称直线的方程为.题型八：直线系方程【典例8-1】过两直线和的交点且过原点的直线方程为．【典例8-2】经过点和两直线；交点的直线方程为.【方法技巧】利用直线系方程求解．【变式8-1】已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为.【变式8-2】设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为.【变式8-3】已知直线的方程为，求坐标原点到的距离的最大值.1．（2021年全国新高考II卷数学试题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．42．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（

）A． B． C． D．3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（

）A．1 B． C． D．21．已知点和，点P在x轴上，且为直角，求点P的坐标.2．已知四边形ABCD的四个顶点是，，，，求证：四边形ABCD为矩形．3．如图，已知直线与直线，在上任取一点A，在上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过点C作的平行线，求与间的距离．4．三条直线，与相交于一点，求a的值．5．已知AO是边BC的中线，用坐标法证明．6．已知，．（1）求证：，并求使等式成立的条件．（2）说明上述不等式的几何意义．7．已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？易错点：两平行直线间的距离公式应用错误易错分析：应用两平行直线间的距离公式一定要注意两平行直线的方程对应x，y的系数相等时，才可利用两平行线间的距离公式求解.【易错题1】，与直线平行，则直线与的距离为.【易错题2】两平行直线与之间的距离为