难点解析福建省福安市中考数学真题分类（平行线的证明）汇编综合训练试卷（含答案详解）

福建省福安市中考数学真题分类（平行线的证明）汇编综合训练考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题16分）一、单选题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（

）A． B． C． D．2、如图，若，，则：①；②；③平分；④；⑤，其中正确的结论是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3、如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是(

)A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠44、如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（

）A．，（内错角相等，两直线平行）B．，（两直线平行，同旁内角互补）C．，（两直线平行，同旁内角互补）D．，（同位角相等，两直线平行）5、在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（

）A．必有一个角等于 B．必有一个角等于C．必有一个角等于 D．必有一个角等于6、如图，平面上直线a、b分别经过线段OK的两个端点，则直线a、b相交所成的锐角的度数是(

)A．20° B．30°C．70° D．80°7、如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于点G，则下列结论①∠CEG=2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论是(

)A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④8、给出下列命题，正确的有（

）个①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第Ⅱ卷（非选择题84分）二、填空题（7小题，每小题2分，共计14分）1、把“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式是_________，________，该命题是___命题(填“真”或“假”)．2、如图．有一个三角形纸片，，，将纸片一角折叠，使点落在外，若，则的大小为______．3、如图，点O是△ABC的三条角平分线的交点，连结AO并延长交BC于点D，BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB的外角，直线MC和直线BO交于点N，OH⊥BC于点H，有下列结论：①∠BOC+∠BMC＝180°；②∠N＝∠DOH；③∠BOD＝∠COH；④若∠CBA＝∠CAB，则MN∥AB；其中正确的有_____．（填序号）4、如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=___°．5、将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__．6、一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）7、如图折叠一张矩形纸片，已知∠1=70°，则∠2的度数是__．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、如图，点D和点C在线段BE上，，，．求证：．2、已知：如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°．(1)求证：AC=BD；(2)求∠APB的度数．3、已知：如图所示，DE⊥AC于点E，BC⊥AC于点C，FG⊥AB于点G，∠1=∠2，试说明CD⊥AB.4、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交∠ACB的平分线CE于点O．(1)求证：．(2)如图1，若∠A=60°，请直接写出BE，CD，BC的数量关系．(3)如图2，∠A=90°，F是ED的中点，连接FO．①求证：BC−BE−CD=2OF．②延长FO交BC于点G，若OF=2，△DEO的面积为10，直接写出OG的长．5、如图,在△中,,分别是边,上的点，若△≌△≌△，求的度数．6、如图，在三角形ABC中CD为的平分线，交AB于点D，，．(1)求证：；(2)如果，，试证明．7、如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入计算即可．【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，∵PB、PC是角平分线∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A−∠D∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°．法二：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°，∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，整理得∠ACD−∠ABD＝58°．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°．故选A.【考点】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．2、C【解析】【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出，得出，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；即可得出结果．【详解】解：，，，故②正确；，，，故①正确；，故⑤正确；而不一定平分，不一定等于，故③，④错误；故选：C．【考点】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证．3、C【解析】【详解】根据平行线的判定，可由∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，得到AD∥BC，由∠1=∠4，得到AB∥CD.故选C.4、C【解析】【分析】依据内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行进行判断即可．【详解】解：．，（内错角相等，两直线平行），正确；．，（两直线平行，同旁内角互补），正确；．，（两直线平行，同旁内角互补），故选项错误；．，（同位角相等，两直线平行），正确；故选：C．【考点】本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．5、D【解析】【分析】先设三角形的两个内角分别为x，y，则可得第三个角(180°－x－y)，再分三种情况讨论，即可得到答案.【详解】设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则第三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：①②③综上所述，必有一个角等于90°故选D.【考点】本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论.6、B【解析】【分析】根据三角形的外角的性质列式计算即可．【详解】解：如图：由三角形的外角的性质可知，∠OFK+70°=100°，解得，∠OFK=30°，故选B．【考点】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．7、C【解析】【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断④⑤；根据现有条件无法推出②．【详解】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD∵，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正确；∵∠A=90°，CG⊥EG，，∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC，故③正确；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∴，∴，∴∠DFB=180°-∠BFC=45°，∴，故④正确；∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故⑤正确；根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故②错误；故选C．【考点】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．8、B【解析】【详解】解：①等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故本选项错误；②等腰三角形两腰上的高相等，本选项正确；③等腰三角形最小边不一定底边，故本选项错误；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，本选项正确；⑤等腰三角形可以是钝角三角形，故本选项错误，故选B二、填空题1、如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等;真【解析】【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，那么后面接结论．题设成立，结论也成立的叫真命题，而题设成立，不保证结论成立的为假命题．【详解】把“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等．这个命题正确，是真命题，故答案为如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等；真.【考点】本题考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．2、【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理可出；再根据折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得，，即可得到，然后利用平角的定义即可求出．【详解】解：如图，，，∴；又将三角形纸片的一角折叠，使点落在外，∴而，，，，，．故答案为：【考点】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理以及外角性质，解题的关键是明确折叠前后两图形全等．3、①③④【解析】【分析】由平分可知：①∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，即∠OBM＝90°，∠OCM＝90°，可知∠BOC+∠BMC＝180°；②利用外角定理，角平分线性质进行计算分析即可；③根据∠BOD＝∠BAD+∠1＝∠BAC+∠ABC＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，∠COH＝90°﹣∠6＝90°﹣∠ACB，可知∠BOD＝∠COH；④若∠CBA＝∠CAB，则∠1＝∠2＝∠BAC，由于∠N＝∠BAC，可知∠1＝∠N，即MN∥AB．【详解】解：如图所示，延长AC与E，∵点O是△ABC的三条角平分线的交点，BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB的外角，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，∴∠2+∠3＝∠OBM＝90°，∠6+∠7＝∠OCM＝90°，∵∠OBM+∠OCM+∠BOC+∠BMC＝360°，∴∠BOC+∠BMC＝180°，故①正确；∵BN平分∠ABC，CM平分∠BCE，∠N+∠2＝∠7，∴∠N＝∠7﹣∠2＝∠BCE﹣∠ABC，∵∠BCE＝∠ABC+∠BAC，∴∠N＝∠BAC，∵∠ODH＝∠BAD+∠ABC＝∠BAC+∠ABC，OH⊥BC，∴∠DOH＝90°﹣∠ODH＝90°﹣∠BAC﹣∠ABC，∵∠ABC+∠BAC≠90°，∴90°﹣∠BAC﹣∠ABC≠∠BAC，∴∠N≠∠DOH，故②错误；∵∠BOD＝∠BAD+∠1＝∠BAC+∠ABC＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，∠COH＝90°﹣∠6＝90°﹣∠ACB，∴∠BOD＝∠COH，故③正确；∵∠CBA＝∠CAB，∴∠1＝∠2＝∠BAC，∵∠N＝∠BAC，∴∠1＝∠N，∴MN∥AB，故④正确，故答案为：①③④．【考点】本题主要考查的是三角形与角平分线的综合运用，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．4、95【解析】【详解】∵MF//AD，FN//DC，∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°.∵△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠BMN=∠BMF=×100°=50°，∠BNM=∠BNF=×70°=35°.在△BMN中，∠B=180°－（∠BMN＋∠BNM）=180°－（50°＋35°）=180°－85°=95°.故答案为：955、40°【解析】【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，∴∠6+∠7=140°，∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°．故答案为40°．【考点】主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．6、①④【解析】【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．【详解】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；如图所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，∴∠BAD=60°+90°=150°；∴∠BAD=150°或∠BAD=30°．故答案为：①④．【考点】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．7、55°【解析】【详解】,,.三、解答题1、见解析【解析】【分析】根据平行线的性质证（SAS）即可求证；【详解】证明：∵，∴．∴．∵，∴．在和中∵∴（SAS）．∴∴．【考点】本题主要考查三角形的全等证明、平行线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．2、(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）通过证明，即可求证；（2）利用三角形外角的性质可得，由（1）可得，从而得到，利用三角形内角和的性质即可求解．(1)证明：∵，∴，又∵OA=OB，OC=OD，∴，∴；(2)解：由（1）可得，由三角形外角的性质可得∴，∴，【考点】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．3、证明见解析【解析】【分析】先利用垂直于同一条直线的两直线平行证明DE∥BC，利用内错角相等得∠2=∠DCF，即可证明GF∥DC，再利用平行线的传递性即可解题.【详解】证明：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴∠2=∠DCF，又∵∠1=∠2，∴∠1=∠DCF，∴GF∥DC，又∵FG⊥AB，∴CD⊥AB．【考点】本题考查了平行线的性质和判定,中等难度,熟悉平行线的性质是解题关键.4、(1)见解析(2)BE+CD=BC，(3)①见解析；②【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和得：∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)，由角平分线定义得：∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，最后由三角形内角和可得结论；（2）在BC上截取BM=BE，证明△BOE≌△BOM，推出∠BOE=∠BOM=60°，再证明△DCO≌△MCO可得结论；（3）①延长OF到点M，使MF=OF，证明△ODF≌△MEF(SAS)，推出OD=EM．过点O作CE，BD的垂线，证明△OBE≌△OBK(AAS)和△ODC≌△OHC，推出EO=OK，OD=OH=EM，BE=BK，CD=CH．据此即可证明结论；②利用①的结论以及三角形面积公式即可求解．(1)证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−(∠ABC+∠ACB)=180°−(180°−∠A)=∠A+90°；(2)解：BE+CD=BC．在BC上截取BM=BE，连接OM，如图：∵∠BOC=∠A+90°=120°，∴∠BOE=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO=∠MBO，∴△BOE≌△BOM，∴∠BOE=∠BOM=60°，∴∠MOC=∠DOC=60°，∵OC为∠DCM的角平分线，∴∠DCO=∠MCO，在△DCO与△MCO中，，∴△DCO≌△MCO（ASA），∴CM=CD，∴BC=BM+CM=BE+CD；(3)①证明：如图，延长OF到点M，使MF=OF，连接EM，∴OM=2OF．∵F是ED的中点，∴EF=DF，∵∠DFO=∠EFM，∴△ODF≌△MEF(SAS)，∴OD=EM．过点O作CE，BD的垂线，分别交BC于点K，H，∴∠OCK+∠OKC=90°．∵∠A=90°，∴∠ACE+∠AEC=90°∵∠ACE=∠OCK，∴∠AEO=∠OKC，∴∠BEO=∠BKO，∴△OBE≌△OBK(AAS)，同理可得△ODC≌△OHC，∴EO=OK，OD=OH=EM，BE=BK，CD=CH．由（1）可知∠DOE=∠BOC=×90°+90°=135°，∴∠BO