难点解析-京改版数学9年级上册期中试题附完整答案详解【考点梳理】

京改版数学9年级上册期中试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题26分）一、单选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、如图，在△ABC中，点G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（）A． B． C． D．2、如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（

）A． B． C． D．3、在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（

）A．y=x2

B．y=ax2+bx+c

C．y=8x

D．y=x2（1+x）4、如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（

）A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤5、西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a．已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为（）A． B．asin26.5° C．acos26.5° D．6、抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图所示，AB为斜坡，D是斜坡AB上一点，斜坡AB的坡度为i，坡角为，于点C，下面正确的有（

）A． B．C． D．2、如图是二次函数图象的一部分，过点，，对称轴为直线．则错误的有（

）A． B． C． D．3、已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（

）．A．5+2B．15C．10+D．15+34、二次函数y=a+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论中正确的有（）A．抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；B．4a+c＞2b；C．4a+b=0；D．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．5、△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论不正确的是（）A．bcosB=c B．csinA=a C．atanA=b D．tanB=6、如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论中正确的是（

）A．S△ADB=S△ADC；B．当0＜x＜3时，y1＜y2；C．如图，当x=3时，EF=；D．当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小．7、若二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A、B两点．则以下结论正确的有（

）A．B．当时，y随x的增大而增大C．无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点D．若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是第Ⅱ卷（非选择题74分）三、填空题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为_____．2、如图是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的端必须向上翘起，已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压______．3、如图所示，在中，，，．（1）如图1，四边形为的内接正方形，则正方形的边长为_________；（2）如图2，若内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于，则正方形的边长为_________．4、对于任意实数，抛物线与轴都有公共点．则的取值范围是_______．5、如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为

________米（结果保留根号）6、将二次函数化成一般形式，其中二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________．7、已知关于的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；③当时，方程的两个实根不可能都小于1；④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、（1）方法导引：问题：如图1，等边三角形的边长为6，点是和的角平分线交点，，绕点任意旋转，分别交的两边于，两点．求四边形面积．讨论：①小明：在旋转过程中，当经过点时，一定经过点．②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“”证出．③小飞：因为，所以只要算出的面积就得出了四边形的面积．老师：同学们的思路很清晰，也很正确．在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形的面积：________．（2）应用方法：①特例：如图2，的顶点在等边三角形的边上，，，边于点，于点，求的面积．②探究：如图3，已知，顶点在等边三角形的边上，，，记的面积为，的面积为，求的值．③应用：如图4，已知，顶点在等边三角形的边的延长线上，，，记的面积为，的面积为，请直接写出与的关系式．

2、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（3，0），四边形OABC为平行四边形，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，与边AB交于点D，若OC=2，tan∠AOC=1．(1)求反比例函数解析式；(2)点P（a，0）是x轴上一动点，求|PC-PD|最大时a的值；(3)连接CA，在反比例函数图象上是否存在点M，平面内是否存在点N，使得四边形CAMN为矩形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．①计算小亮在路灯D下的影长；②计算建筑物AD的高．4、在等边三角形中，，D为的中点．连接，E，F分别为，的中点，将绕点C逆时针旋转，记旋转角为，直线和直线交于点G．（1）如图1，线段和线段的数量关系是________________，直线与直线相交所成的较小角的度数是________________．（2）将图1中的绕点C逆时针旋转到图2所示位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．（3）在（2）的条件下，当以点C，F，E，G为顶点的四边形是矩形时，请直接写出的长．5、某校一棵大树发生一定的倾斜，该树与地面的夹角．小明测得某时大树的影子顶端在地面处，此时光线与地面的夹角；又过了一段时间，测得大树的影子顶端在地面处，此时光线与地面的夹角，若米，求该树倾斜前的高度（即的长度）．（结果保留一位小数，参考数据：，，，）．6、已知，且，求x，y的值．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】连接AG并延长交BC于H，如图，利用三角形重心的性质得到AG=2GH，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到==，然后根据比例的性质得到△ADE与四边形DBCE的面积比.【详解】解：连接AG并延长交BC于H，如图，∵点G为△ABC的重心，∴AG＝2GH，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝（）2＝，∴△ADE与四边形DBCE的面积比＝．故选：A．【考点】本题考查了三角形的重心与相似三角形的性质与判定.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、C【解析】【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比进行解答即可．【详解】解：根据黄金比的比值，，则，…依此类推，则线段，故选C．【考点】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．3、A【解析】【分析】根据二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0．a是常数），可得答案．【详解】解：A、y=x2是二次函数，故A符合题意；B、a=0时不是二次函数，故B不符合题意，C、y=8x是一次函数，故C不符合题意；D、y=x2（1+x）不是二次函数，故D不符合题意；故选A．【考点】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意a是不等于零的常数．4、A【解析】【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．【详解】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，又∵，∴，，∴△ABC∽△ADE∽△HFA，故选：A．【考点】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5、A【解析】【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为：，故选：A．【考点】此题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．6、A【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解；【详解】∵的对称轴为直线，∴，∴，∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，∵方程在的范围内有实数根，当时，，当时，，函数在时有最小值2，∴，故选A．【考点】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．二、多选题1、BCD【解析】【分析】根据坡度的定义解答即可．【详解】交于点，交于点，，，，，，∴BCD正确．故选：BCD．【考点】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度的定义是解题的关键．2、BD【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴x=−1可得2a+b的符号；再由根的判别式可得，根据二次函数的对称性进而对所得结论进行判断．【详解】解：A、由抛物线的开口向下知a<0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，知c>0，∵对称轴为直线，得2a=b，∴a、b同号，即b<0，∴abc>0；故本选项正确，不符合题意；B、∵对称轴为，得2a=b，∴2a+b=4a，且a≠0，∴2a+b≠0；故本选项错误，符合题意；C、从图象知，该函数与x轴有两个不同的交点，所以根的判别式，即；故本选项正确，不符合题意；D、∵−3<x1<−2，∴根据二次函数图象的对称性，知当x=1时，y<0；又由A知，2a=b，∴a+b+c<0；∴b+b+c<0，即3b+2c<0；故本选项错误，符合题意．故选：BD．【考点】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练运用对称轴的范围求2a与b的关系，二次函数与方程及不等式之间的关系是解决本题的关键．3、AC【解析】【分析】根据相似三角形的性质、分情况计算即可．【详解】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似；当三边分别为3，4，，和6，8，2，此时两三角形相似；当3，4为直角边时，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：n＝＝2，故m+n＝5+2；当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：m＝＝，故m+n＝10+；综上所述：m+n的值为5+2或10+，故选：A、C．【考点】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．4、AC【解析】【分析】根据二次函数的性质，对称轴的性质，函数的增减性逐一判断即可．【详解】设抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为，∵二次函数y=a+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，∴，∴4a+b=0，=5，∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；故A，C两个选项正确；根据图像信息，得x=-2时，其函数值小于0，∴4a-2b+c＜0即4a+c＜2b，故B选项错误；根据图像信息，当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，故D选项错误；故选AC．【考点】本题考查了二次函数的性质，对称轴的意义，抛物线与x轴的交点，函数的增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5、ACD【解析】【分析】由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项．【详解】解：∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，A、cosB=，则ccosB=a．故本选项错误，符合题意；B、sinA=，则csinA=a．故本选项正确，不符合题意；C、tanA=，则btanA=a．故本选项错误，符合题意；D、tanB=．故本选项错误，符合题意．故选：ACD．【考点】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．6、ACD【解析】【分析】对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，利用AAS得到三角形OBA与三角形CDA全等，利用全等三角形对应边相等得到，确定出C坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，由图象判断时x的范围，以及与的增减性，把分别代入直线与反比例解析式，相减求出EF的长，即可做出判断．【详解】解：对于直线，令，得到;令，得到，，，即，,在和中，,,,(同底等高三角形面积相等)，选项A正确；,把C点坐标代入反比例解析式得：，即，由函数图象得：当时，，选项B错误；当时，，，即,选项C正确；当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，选项D正确．故选：ACD．【考点】此题考查了反比例函数与一次函数的交点，涉及的知识有：一次函数与坐标系的交点，待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质以及反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解本题的关键．7、ACD【解析】【分析】求得顶点坐标，根据题意即可判断①正确；根据二次函数的性质即可判断②错误；二次函数是不为0的常数）的顶点，即可判断③错误；根据题意时，时，即可判断④正确．【详解】解：二次函数，顶点为，在轴的下方，∵函数的图象与轴交于、两点，抛物线开口向上，，故①正确；时，随的增大而增大，故②错误；由题意可知当，二次函数是不为0的常数）的图象一定经过点，故③正确；线段上有且只有5个横坐标为整数的点，且对称轴为直线，∴当时，，当时，，，解得，故④正确；故选：ACD．【考点】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，利用二次函数的性质解答是解题的关键．三、填空题1、1【解析】【分析】由矩形的性质可知BD＝AC，再结合顶点到x轴的距离最近可知当点A在顶点处时满足条件，求得抛物线的顶点坐标即可求得答案．【详解】解：∵AC⊥x轴，∴当点A为抛物线顶点时，AC有最小值，∵抛物线y＝x2﹣2x＋2＝（x−1）2＋1，∴顶点坐标为（1，1），∴AC的最小值为1，∵四边形ABCD为矩形，∴BD＝AC，∴BD的最小值为1，故答案为：1．【考点】本题主要考查了二次函数的性质及矩形的性质，确定出AC最小时的位置是解题的关键．2、60【解析】【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．【详解】解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；易知：△ACM∽△BCN；∴，∵AC与BC之比为6：1，∴，即AM=6BN；∴当BN≥10cm时，AM≥60cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压60cm．故答案为：60．【考点】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键．3、

【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，作CN⊥AB，再根据GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由相似三角形的性质即可求出正方形的边长；（2）设正方形的边长是x，则过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，易得△CGF∽△CAB，所以，求出x值即可．【详解】解：（1）在图1中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．在Rt△ABC中，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴AB•CN=BC•AC，∴CN=，∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴CM：CN=GF：AB，设正方形边长为x，则，解得：，∴正方形DEFG的边长为；（2）如图，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，设小正方形的边长为x，∵四边形GDEF为矩形，∴GF∥AB，CM⊥GF，同理算出CN=，∴，即，∴，即小正方形的边长是．【考点】本题主要考查了正方形，矩形的性质和相似三角形的性质．会利用三角形相似中的相似比来得到相关的线段之间的等量关系是解题的关键．4、【解析】【分析】由题意易得，则有，然后设，由无论a取何值时，抛物线与轴都有公共点可进行求解．【详解】解：由抛物线与轴都有公共点可得：，即，∴，设，则，要使对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则需满足小于等于的最小值即可，∴，即的最小值为，∴；故答案为．【考点】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的综合是解题的关键．5、【解析】【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.【详解】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，故答案为：．【考点】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．6、

【解析】【分析】通过去括号，移项，可以把方程化成二次函数的一般形式，然后确定二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】y=﹣2（x﹣2）2变形为：y=﹣2x2+8x﹣8，所以二次项系数为﹣2；一次项系数为8；常数项为﹣8．故答案为﹣2，8，﹣8．【考点】本题考查的是二次函数的一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，确定二次项系数，一次项系数，常数项的值．7、①③④【解析】【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵一元二次方程，∴；∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确；当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；由，则，解得：或；故④正确；∴正确的结论有①③④；故答案为：①③④．【考点】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．四、解答题1、（1）；（2）①的面积；②xy=12；③．【解析】【分析】（1）连接、，利用ASA证出，从而得出的面积与四边形的面积相等，过点作于点，利用锐角三角函数求出OH即可求出△OBC的面积，从而得出结论；（2）①根据等边三角形的性质可得，从而求出∠BOD，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出OD和BD，从而求出结论；②过点作于，于，根据相似三角形判定定理可得，根据相似三角形的性质列出比例式，变形可得，然后根据三角形的面积公式即可求出结论；③过点作交的延长线于，于，根据相似三角形的判定定理可得，根据相似三角形的性质列出比例式，变形可得，分别求出OM和ON，再结合三角形的面积公式即可求出结论．【详解】解：（1）连接、∵是等边三角形，∴∵是和的角平分线交点∴∴，∴∴∴的面积与四边形的面积相等过点作于点∵，∴∵，∴，∴∴四边形的面积为．故答案为：．（2）①∵是等边三角形，∴∵于点，∴∵，∴，，∴的面积②过点作于，于．由①得：，同理：∵是等边三角形，∴∵，∴∴，∴∴，∴∴③过点作交的延长线于，于．∵，∴∴，∵∴，∴∴∵，，∴，∴∵，，∴，∴∴【考点】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数，掌握全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键．2、(1)(2)|PC−PD|最大时a的值为6(3)存在，点M的坐标为（，）【解析】【分析】（1）先确定出OE=CE=2，即可得出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先求出OC解析式，由平行四边形的性质可得BC=OA=3，BC∥OA，AB∥OC，利用待定系数法可求AB解析式，求出点D的坐标，再根据三角形关系可得出当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|最大，求出直线CD的解析式，令y=0即可求解；（3）若四边形CAMN为矩形，则△CAM是直角三角形且AC为一条直角边，根据直角顶点需要分两种情况，画出图形分别求解即可．(1)解：如图1，过点C作CE⊥x轴于E，∴∠CEO=90°，∵tan∠AOC=1，∴∠COA=45°，∴∠OCE=45°，∵OC=2，∴OE=CE=2，∴C（2，2），∵点C在反比例函数图象上，∴k=2×2=4，∴反比例函数解析式为y=；(2)解：∵点C（2，2），点O（0，0），∴OC解析式为：y=x，∵四边形OABC是平行四边形，点A坐标为（3，0），∴BC=OA=3，BC∥OA，AB∥OC，∴点B（5，2），∴设AB解析式为：y=x+b，∴2=5+b，∴b=-3，∴AB解析式为：y=x-3，联立方程组可得：，∴或（舍去），∴点D（4，1）；在△PCD中，|PC-PD|＜CD，则当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|=CD，此时，|PC-PD|取得最大值，由（1）知C（2，2），D（4，1），设直线CD的解析式为：y=mx+n，∴，解得，∴直线CD的解析式为：y=x+3，令y=0，即x+3=0，得x=6，∴|PC-PD|最大时a的值为6；(3)（3）存在，理由如下：若四边形CAMN为矩形，则△CAM是直角三角形，则①当点A为直角顶点时，如图2，过点A作AC的垂线与y=交于点M，分别过点C，M作x轴的垂线，垂足分别为点F，G，由“一线三等角”模型可得△AFC∽△MGA，则AF：MG=CF：AG，∵C（2，2），A（3，0），∴OF=CF=2，AF=1，∴1：MG=2：AG，即MG：AG=1：2，设MG=t，则AG=2t，∴M（2t+3，t），∵点M在反比例函数y=的图象上，则t（2t+3）=4，解得t=，（负值舍去），∴M（，）；②当点C为直角顶点时，这种情况不成立；综上，点M的坐标为（，）．【考点】本题考查了反比例函数综合问题，涉及矩形的判定