拔高练习-平面的基本性质及推论

7/71.2.1平面的基本性质及推论一、选择题1.以下是一些命题的叙述语言①点，直线；②点，直线；③点，平面；④直线，平面；则其中命题和叙述方法都正确的个数是【】A.1个B.2个C.3个D.4个2.给定下面四个命题：(1)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；(2)两条直线可以确定一个平面；(3)若,则；(4)空间中，相交于同一点的三条直线在同一个平面内；其中真命题的个数是【】A.1B.2C.3D.4空间三条直线交于同一点，它们中的两条确定的平面个数记为，则的可值可能为【】A.1B.1,3C.1,2,3D.1,2,3,44.已知异面直线a，b分别在平面α、β内，且α∩β＝c,那么直线c一定（）A.与a、b都相交；B.只能与a、b中的一条相交；C.至少与a、b中的一条相交；D.与a、b都平行.5.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（）A.异面或平行B.异面或相交C.异面D.相交、平行或异面6.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面7.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A.B.C.D.8.三条直线两两垂直，那么在下列四个结论中，正确的结论共有（）①这三条直线必共点；②其中必有两知是异面直线；③三条直线不可能共面；④其中必有两条在同一平面内.A.4个B.3个C.2个D.1个9.空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连结四边中点的四边形一定是（）A.空间四边形B.矩形C.菱形D.正方形10.正方体的各面的对角线中，与成角的异面直线有（）A.4条B.6条C.8条D.12条11.空间四边形中的中点分别是，且，那么异面直线和所成的角是（）A.B.C.D.12.过直线外两点作与直线平行的平面，可以作（）A.1个B.1个或无数个C.0个或无数个D.0个，1个或无数个13.已知为异面直线，平面，平面，，则（）A.与都相交B.与中至少一条相交C.与都不相交D.至多与中的一条相交二.填空题14.和两条异面直线中的一条相交的直线与另一条的位置关系是____________.15.在长方体ABCD—A1B1C1D1中AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为__________.16.四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别是AC、BD的中点，且EF＝，则AB与CD所成的角为__________.17.已知直线a、b、cÌa，直线a′、b′、c′是两两异面的三直线，且a∥a′，b∥b′，c∥c′，若a′、b′、c′，两两所成的角均等于θ，则θ＝____________.18.已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在直线，b平行于AC所在的直线，若cos∠BAC＝，则a，b所成的角为__________.三、解答题19.如图，已知平面α与平面β相交于直线m，nÌβ，且m∩n＝A，直线lÌa且l∥m.证明n、l是异面直线.20.已知直线a∥b，a与平面α相交于A，求证：b与平面α必相交.21.在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，对角线BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角.22.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、CB、CD上的点，并且有，，试证EF、GH、BD共点或两两平行.23.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB＝BC＝3，AA1＝4，求A1B和B1C所成角的余弦值.24.已知异面直线a、b所成的角为60°，在过空间一定点P的直线中，与a，b所成的角均为60°的直线有多少条？过P与a、b所成角均为50°，或均为70°的直线又各有多少呢？希望读者通过对上述三个具体问题的求解，总结解题方法，然后再探讨关于与异面直线成等角的直线的存在性问题的一般性情况：已知异面直线a，b所成的角为θ0且θ0＜90°，过空间一点P的直线中与a，b所成的角均为θ的直线有多少条？

参考答案选择题1.D2.A3.B4.C5.D6.D7.D8.D9.B10.C11.A12.D13.B二、填空题14.相交、平行或异面；15.；16.60°；17.60°；18.30°三、解答题19.证明：若n、l共面，设该平面为g，∵A∈n，nÌg，∴A∈g.又∵lÌg，∴平面g经过点A和直线l，∴平面g与α重合.由于α与g重合，且mÌg，∴平面g经过直线m和n.∵m与n是相交直线，∴g与β也重合，于是α与β重合，这就与条件α∩β＝m矛盾，故假设不成立.∴n、l是异面直线.20.证明：∵a∥b，∴a，b可确定平面β，∵A∈aÌβ，∴A是α与β的公共点.∴α与β相交，设α∩β＝l，则A∈l，∴a∩l＝A.∴在平面β内b与l必相交，∴b与α必相交，交点即为b与l的交点.21.证明：AB、CD、AD的中点E、G、F，连接EF、FG、GE，则∠EFG或其补角为异面直线BD、AC所成的角，且EF＝BD＝，FG＝AC＝，再取AC的中点H，则EH∥BC，HG∥AD，∵AD⊥BC，∴EH⊥HG，∴EG2＝EH2＋HG2＝1.在△EFG中，EG2＝EF2＋FG2＝1，∴∠EFG＝90°，∴AC与BD所成的角为90°.22.证明：如图，连AC、EG、FH，在△ABC中，∵＝，∴EG∥AC.同理FH∥AC，于是根据公理4可知：EG∥FH.∴E、F、H、G四点共面于α，于是EF与HG只有相交与平行两种可能.（Ⅰ）若EF与HG相交，设交点为P，则P∈EFÌ平面ACD.∴P∈平面ACD，同理可知：P∈平面BCD.∴P是平面ABD与平面BCD的公共点.∴两平面的交线BD必过P点.∴FE、GH、BD共点.（Ⅱ）若EF与HG平行，则必有EF∥BD.∵EF、BDÌ平面ABD，∴若EF与BD不平行，则EF与BD就相交，设交点为Q，则EFÌ平面EFHG，Q∈BDÌ平面BDC，∴Q是平面EFHG与平面BDC的公共点.又∵HG是这两个平面的交线，∴Q∈HG，∴EF∩HG＝Q.这就与EF∥HG相矛盾，故假设错误.∴EF∥BD.同理可证：HG∥BD.故由公理4知：EF、HG、BD两两平行.23.解：如图，连接A1D，BC，由长方体性质易知，A1D∥B1C，∴∠DA1B即为A1B与B1C所成角或其补角.由题设易求A1D＝5，A1B＝5，BD＝.∴cos∠DA1B＝＝＝.∴A1B与B1C所成角的余弦值为.24.解：①3条；②2条；③4条.④如图10，过点P分别