《电路分析-基础理论与技术》课件第6章非正弦周期性电路分析

第6章非正弦周期性电路分析

6.1非正弦周期量的产生与分解6.2非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率

6.3非正弦周期性电路的分析习题六6.1非正弦周期量的产生与分解

6.1.1非正弦周期量的产生 非正弦量可以由不同频率的正弦量叠加而成，图6-1-1是两个正弦量叠加的波形，图中u(t)=u1(t)＋u2(t)，ω2=2ω1，U1m>U2m

。其叠加后的量u(t)仍然是周期性变化的交流量，所不同的是不再按正弦规律变化。图6-1-1

工程实际中，非正弦周期量一般是由专用的电子设备所产生的。例如：图6-1-2(a)所示的脉冲波是由多谐振荡器产生的，图6-1-2(b)所示的锯齿波是利用电容的充放电特性而产生的，图6-1-2(c)所示的正弦半波是利用二极管的单向导电性将正弦波转变而成的，等等。 在电子线路中，信号源的电压和电流大多是非正弦量。图6-1-2

6.1.2非正弦周期量的傅里叶分解

由于非正弦周期量可以由不同频率的正弦交流量叠加而成，因此，任何非正弦周期量都可以分解成许多不同频率的正弦交流量。 根据数学分析，若函数f(t)=f(t＋kT)(k为任一整数)，则f(t)是一个周期性函数，其周期为T，非正弦周期量正是这样的周期性函数。如果周期性函数满足狄里赫利(Dirichlet)条件，则该周期性函数可以展开成一个无穷收敛级数即傅里叶级数。实际电路问题分析中所遇到的非正弦周期量，通常都满足这个条件。f(t)的傅里叶级数展开式为

f(t)=A0+A1cosωt+A2cos2ωt+A3cos3ωt+…+

B1sinωt+B2sin2ωt+B3sin3ωt+…(6-1-1)式中：ω=2π/T称为基波角频率；A0、Ak、Bk称为傅里叶系数。

A0称做直流分量，A1cosωt和B1sinωt称做基波分量，A2cos2ωt和B2sin2ωt称做二次谐波分量，等等。将一个非正弦周期量分解为傅里叶级数，就是确定这些傅里叶系数的问题。因为sin或cos函数在一个周期T(=2π/ω)的积分为零，所以由此可得(6-1-2)

式(6-1-2)告诉我们：周期函数的直流分量，就是该函数在一个周期的净面积除以周期T。同时，我们注意到sin和cos函数的正交性，即

对式(6-1-1)两端同乘coskωt并在一个周期内积分，有

所以同理可得(6-1-4)(6-1-3)

由式(6-1-2)可知，

A0是非正弦周期函数在一个周期内的平均值，它是与时间无关的常数项，在电路理论中称做直流分量。

傅里叶级数还有另一种常用的表示形式，即把同频率的正弦项和余弦项合并成一项，因为

Akcoskωt+Bksinkωt=Cksin(kωt+ψk)

式中，，令C0=A0，则

(6-1-5)

这一形式的傅里叶级数在电路分析中更为常用，因为它表达了各次谐波的最大值和初相位以及“正弦”的含义。

例6-1-1

求图6-1-3所示方波的傅里叶级数表示式。

解给定波形一个周期的解析式为 根据式(6-1-2)、式(6-1-3)和式(6-1-4)，求得各傅里叶系数分别为

图6-1-3

因为，k为偶数时，coskπ=1，Bk=0；k为奇数时，coskπ=－1，Bk=4Um/(kπ)。所以 由此可见，将本问题的这个周期方波分解为傅里叶级数时，不含直流分量、余弦分量和偶次谐波正弦分量，只含奇次谐波正弦分量。并且可知，将一般非正弦周期函数分解为傅里叶级数时，并不一定具有如本问题的傅里叶级数的特点，但可以据此推论，它的傅里叶级数的每一项不一定都有，即不一定含有所有的项。 6.1.3常见非正弦周期量的傅里叶级数 图6-1-4给出了几种常见非正弦周期量的波形。

非正弦周期量的傅里叶级数如下：

(1)单相半波整流波形：

(2)单相全波整流波形：

图6-1-4 (3)三相半波整流波形：

(4)方波：

(5)三角波：

(6)锯齿波：

小结

1.电路中非正弦周期电流和电压的产生，来源于电源信号和电路参数的非线性两个方面。

2.电路分析中所遇到的非正弦周期量一般都可以分解成傅里叶级数，非正弦周期量分解为傅里叶级数的关键问题是确定傅里叶系数。

3.非正弦周期量分解为傅里叶级数后，不一定含有所有各项，其所含的项和函数与坐标系的关系有关。

思考与练习

6-1-1求题6-1-1图所示非正弦周期波形的直流分量。

题6-1-1图6-1-2求题6-1-2图所示梯形波的傅里叶级数展开式。题6-1-2图6.2非正弦周期量的有效值、平均值

和平均功率 6.2.1有效值 为了掌握非正弦周期量有效值的计算，设非正弦周期电流i(t)的傅里叶级数展开式为

按周期电有效值的定义，再将周期函数的傅里叶级数展开式(6-1-5)代入，得

方括号内的多项式平方包含下列各项：

(1)I20

(2)I2kmsin2(kωt+ψk) (3)2I0Ikmsin(kωt+ψk) (4)2Ik1m

Ik2msin(k1ωt+ψk1)sin(k2ωt+ψk2)k1≠k2

根号中各项积分值为：

故 式中：I0为直流分量，

I1，

I2，I3，…分别为基波、二次谐波、三次谐波等的有效值。 因此，非正弦周期量的有效值等于各次谐波有效值平方和的平方根。(6-2-1)

6.2.2平均值

非正弦周期量的整流平均值定义为

(6-2-2)

即一个周期内非正弦周期量绝对值的平均值称为该非正弦周期量的整流平均值。 如果式(6-2-2)中的绝对值符号去掉，则

这就是直流分量A0

，它是严格数学意义上的平均值，常简称为平均值。当非正弦周期量正负半周分别与横轴所包围的面积相等时，平均值A0为零，而Iav不为零。对于横轴对称的非正弦交流电，其整流平均值可只取半周积分，即 例如，正弦交流电的整流平均值为

为了衡量非正弦交流电与正弦交流电的差异程度，将有效值与整流平均值的比值定义为波形系数(formfactor)，即

(6-2-3)

将最大值(峰值)与有效值的比值称为波顶系数(peakfactor)，即

(6-2-4)

例如，正弦波的波形系数为0.707Im/0.637Im=1.11，波顶系数为Im/0.707Im=1.414。对于Kf>1.11和Kp>1.414的非正弦波，一般都是比正弦波更尖锐的波形，反之，如果非正弦波比较平坦，则Kf<1.11，Kp<1.414。

例6-2-1

已知三角波的Um=100V，求有效值、平均值、波形系数和波顶系数。

解三角波的函数表达式为

故各次谐波的有效值为 三角波的有效值为

平均值为 波形系数为 波顶系数为

6.2.3功率 设加在线性二端网络上的电压和电流分别为

则此二端网络消耗的瞬时功率为

此式展开后包含下列各项：

(1)U0I0

(2)U0Ikmsin(kωt+ψik) (3)I0Ukmsin(kωt+ψuk) (4)Ukmsin(kωt+ψuk)Ikmsin(kωt+ψik) (5) k1≠k2

按平均功率的定义

因此，它包含了上述五项从0到T的积分之和。因为

所以，只需计算(1)、(4)两项的积分，故

(6-2-5)

式中：φk=φuk－φik，P0=U0I0，P1=U1I1cosφ1，P2=U2I2cosφ2，P3=U3I3cosφ3，…

由此可见，非正弦周期性电路的平均功率等于各次谐波平均功率之和，并且只有同频率的电压电流能构成平均功率，Pk=UkIkcosφk，Pk是第k次谐波的平均功率。不同频率的电压电流只能构成瞬时功率，不能构成平均功率。 同理，可以证明无功功率为

Q=Q0＋Q1＋Q2＋Q3＋…

(6-2-6)

即非正弦周期性电路的无功功率等于各次谐波的无功功率之代数和。

非正弦周期性电路的视在功率为 很明显，非正弦电路的视在功率不等于各次谐波的视在功率之和，而且

(6-2-7)

工程实际中，在满足允许存在误差的条件下有时将非正弦波用一个等值的正弦波来代替，所以，非正弦波的功率因数就定义为与其等值的正弦波的功率因数，即

例6-2-2设加在二端网络上的电压为

u=40+180cosωt+60cos(3ωt+45°)+20cos(5ωt+18°)V

产生的电流为i=1.43cos(ωt+85.3°)+6cos(3ωt+45°)+0.78cos(5ωt－60°)A求此电路吸收的功率和等效功率因数。(6-2-8)

解由式(6-2-5)知，各次谐波的平均功率为

P0=U0I0

P1=U1I1cosφ1=cos(0－85.3°)=10.6W

P3=U3I3cosφ3=cos(45°－45°)=180W

P5=U5I5cosφ5=cos(18°+60°)=1.62W

得

P=10.6+180+1.62=192W

电压有效值为 电流有效值为 视在功率为

S=UI=141×4.4=620VA

等效功率因数为

小结

1.非正弦周期性交流电的有效值定义与正弦交流电相同，其数值等于各次谐波有效值平方和的平方根。

2.非正弦交流电的整流平均值定义为一个周期内函数绝对值的平均值，并引入了波形系数Kf

和波顶系数Kp

。交流电的整流平均值和直流分量是两个完全不同的概念。

3.非正弦交流电路的平均功率定义与正弦交流电相同，其在数值上等于各次谐波平均功率之和。非正弦交流电路的功率因数等于与其相当的正弦波的功率因数。非正弦交流电路的视在功率不等于各次谐波的视在功率之和。

思考与练习

6-2-1一非正弦电压u=100+22.9sin(ωt－45°)+4.11sin(3ωt－67°)V加在15Ω线性电阻上，求：

(1)电压有效值；

(2)电阻上消耗的功率；

(3)功率因数。

6-2-2求在题6-2-2图所示的三种电路上分别加上以下三种不同电压时的电流有效值：

(1)u=U=1V；

(2)u=sinωtV；

(3)u=sin3ωtV。题6-2-2图 6-2-3周期相同、峰值均为1V的方波、正弦波和等腰三角波的电压分别加在R=1Ω的电阻上，试比较三种情况下电阻所消耗的功率。

6-2-4求题6-2-4图所示电压波形的有效值、直流分量、整流平均值、波形系数和波顶系数。题6-2-4图6.3非正弦周期性电路的分析

设已知电压为 加在RLC串联电路上，当U0单独作用时，C相于当开路，I0=0；当u1单独作用时，因为u1是正弦波，可以用相量法进行计算：

当k次谐波uk单独作用时，则 从而 式中

ψik=ψuk－ψk，

由此可见，非正弦周期电路的计算实际上是直流和多次不同频率正弦交流电路的计算。这一原则对任意线性网络都适用，其计算步骤和注意事项如下：

(1)将已知非正弦周期电压(或电流)按傅里叶级数分解为直流和各次谐波的正弦量。

(2)分别计算各不同频率正弦量单独作用下的电路阻抗。一般认为电阻R与频率无关；线性电感的感抗为XL=kωL，谐波次数愈高，感抗愈大，对于直流，XL=0，相当于短路；线性电容的容抗为XC=1/(kωC)，谐波次数愈高，容抗愈小，对于直流，电容相当于开路。

(3)应用相量法，根据各次谐波电压(或电流)相量、复阻抗，分别计算各次谐波的电流(或电压)相量。

(4)由各次谐波的电流(或电压)相量对应写出各次谐波的瞬时值解析式，再行叠加，求出非正弦电流(或电压)的解析式。

例6-3-1

已知图6-3-1(a)所示电路中，R=100Ω，L=1H，若外加如图6-3-1(b)所示峰值为100V、频率为50Hz的矩形脉冲电压，求电阻上电压uR和电路消耗的功率。

解原电压波形可以看做是U0=50V的直流与峰值等于50V的方波叠加，根据6.1节的介绍，该方波的傅里叶级数为

u′=×50(sinωt+sin3ωt+sin5ωt+…) =63.7sinωt+21.2sin3ωt+12.7sin5ωt+…

u=U0+u′=50+63.7sinωt+21.2sin3ωt+12.7sin5ωt+…图6-3-1 (1)当U0单独作用时，电感相当于短路，有

(2)u1单独作用时，有

(3)u3单独作用时，有 (4)u5单独作用时，有

Z5=R+j5ωL=100+j1570=1573∠86.4°Ω

由于U5只有U1的1/5，Z5约为Z1的5倍，故I5约为I1的1/25，可以忽略不计，所以，电压只取前三项已足够准确。 由此可得

uR=iR=50+13.6sin(ωt－72.3°)+1.58sin(5ωt－83.9°)V

P=P0+P1+P3=25+1.87+0.025=26.9W

例6-3-2

已知图6-3-2(a)所示电路中的电压u为 u=10+141.4sinωt+70.7sin(3ωt+30°)V

并且已知ωL=5Ω，1/(ωC)=45Ω，R=1Ω，求各支路电流及各支路吸收的功率。图6-3-2

解由于电压u包含三项，因此，该电路可以分解成三个电路，图6-3-2(b)是直流分量单独作用时的等效电路，图6-3-2(c)是一次谐波单独作用时的等效电路，图6-3-2(d)是三次谐波单独作用时的等效电路。下面分别计算。

(1)直流分量单独作用时，有

(2)一次谐波单独作用时，有

P1=Pa1=U1Ia1cosφ1=100×19.6×cos78.7°=383W，Pb1=0 (3)三次谐波单独作用时，有 (4)各支路总电流与总功率分别为P=Pa+Pb=P0+P1+P3=100+383+11=494W

小结

1.非正弦周期性电路的计算是不同频率正弦交流电路和直流电路计算结果的叠加。

2.线性RLC组成的电路对不同频率有不同的阻抗，且有其相应的等效电路。

3.对各次谐波电路的计算可以用相量法和相量图，但各次谐波的叠加只能用瞬时值叠加。

思考与练习

6-3-1设有两个阻抗并联的电路，已知计算出支路a和b

电流的基波、三次谐波、五次谐波相量分别为=5ej0

，

=8

ej60°，

=2e－j30°；

=4ej0，

=3ej75°，

=7e

j25°

下列计算正确吗？为什么？

6-3-2求下列两种情况下电压u1与u2之和：

(1)u1=1+10sinωt+5sin(3ωt－30°)+3sin(5ωt+60°)V

u2=20sin(ωt－30°)+10sin(5ωt+45°)V (2)u1=1+10sinωt－5sin(3ωt－30°)+3sin(5ωt+60°)V