期中押题预测卷01（范围：平面向量+复数+几何体的表面积体积）（解析版）

2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版）期中押题预测卷01（范围：平面向量+复数+几何体的表面积体积考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若向量，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因，由，可得，解得或.由“”可推出“或”成立，而由“或”推不出“”成立，故“”是“”的充分不必要条件.故选：B.2．设复数，则的虚部是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以的虚部是.故选：.3．已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，由向量模长公式得，，由向量夹角公式得，因为，所以，故A正确.故选：A4．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（

）A．4 B． C． D．【答案】B【详解】还原直观图为原图形，如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，所以原图形面积为.故选：B5．已知在中，，，若的最小值为3，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，由题意的最小值为9，当时，显然不符合；所以，此时抛物线开口向上，对称轴为，所以，解得，故选：B6．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【详解】设，则可得，由，可得B是AC的中点，所以，而，则，，中，由余弦定理可得：，解得：，所以该建筑的高度米.故选：B.7．在锐角中，角所对的边分别为.若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【详解】如图所示，过点A作于点D，

则，同理可证，因为，所以，整理得，因为为锐角三角形，所以，所以，即，故选：D8．点在所在的平面内，以下说法错误的是（

）A．若，则点为的重心B．若，则点为的外心C．若，则点为的内心D．若，则点为的垂心【答案】C【详解】对于A：设边，，的中点分别为，∴，∵，∴，∴，∴三点共线，即点在中线上，同理可得点在中线上，∴点是的重心，故A正确；对于B：若，∴点为的外心，故B正确；对于C：设边，，的中点分别为，则，∴，∴为线段的垂直平分线，同理可得分别为线段的垂直平分线，∴为三角形三条边垂直平分线的交点，∴点为的外心，故C错误；对于D：由已知可得，即，∴点在边边上的高上，同理可得点在边边上的高上，点在边边上的高上，∴点是的垂心，故D正确.故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（多选）已知复数，，若为实数，则下列说法中正确的有（

）A． B．C．为纯虚数 D．对应的点位于第三象限【答案】AC【详解】因为为实数，所以，解得，所以，，所以，故A正确；，故B错误；因为，所以，故C正确；因为，所以，其对应的点在第四象限，故D错误．故选：AC10．如图所示的圆台，在轴截面中，，则（

）A．该圆台的高为1B．该圆台轴截面面积为C．该圆台的体积为D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5【答案】BCD【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高，利用勾股定理计算可得，所以A错误；对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确；对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为；所以该圆台的体积为，可得C正确；对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示：易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，；由弧长公式可知，解得；所以可得，设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短，易知，且，由勾股定理可知，可知D正确.故选：BCD11．在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是（

）A．B．的取值范围为C．的最小值为D．的取值范围是【答案】ABD【详解】对A，由正弦定理角化边得，由余弦定理有，，因为△ABC为锐角三角形，所以所以所以,所以，故A正确；对B，由上知，，因为为锐角三角形，解得所以，故B正确；对C，当且仅当时，得因为，，所以等号不成立，故C错误；对D，因为所以所以所以即故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12．写出一个同时满足①②的复数.①；②.【答案】(或)【详解】因为，不妨设，由得，所以，解得，，所以或，故答案为：或.13．如图，曲线为函数的图象，其与轴交于，，三点，则（1）；（2）若，过作一直线交曲线于，两点，则的最小值为.【答案】1【详解】因为函数的图象，其与轴交于，，三点，结合图象可得函数的最小正周期，又，所以，故，将点的坐标代入可得，，所以，，又，所以，所以，，又所以（当且仅当，分别与，重合时取等号）故答案为：；.14．如图，在四棱台中，上、下底面都是正方形，平面ABCD，，E是的中点，F是的中点，平面BEF把四棱台分成两部分，这两部分的体积分别为，（其中），则．【答案】【详解】连接AC，BD相交于点O，连接，相交于点，取的中点M，连接BM与交于点T，与的延长线交于点N，由平面平面，可知M为和的交点，又由，可知，又由，可得，又由，有，可得，不妨设，，，可得梯形的面积为，又由，，又由，可得，可得四边形的面积为，可得，又由，可得，又由，可得，可得，又由几何图形的对称性可知．四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知，复数．(1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；(2)若z满足，，求的值．【答案】(1)；(2).【详解】（1）复数在复平面内对应的点为，由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得，所以的取值范围是.（2）依题意，，又，则，解得，，所以.16．现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.(1)若，，求该几何体的体积.(2)若正四棱锥的侧棱长为，，（i）求正四棱锥的侧面积.（ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值.【答案】(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）【详解】（1）由条件可知，正四棱柱的高，所以正四棱柱的体积为，三棱锥的体积为，所以该几何体的体积为；（2）（ⅰ），所以，正四棱锥侧面的高为，所以正四棱锥的侧面积为；（ⅱ）如图，将长方形，和展开在一个平面，，，设，，，所以，所以，，当四点共线时，最短，所以所以的最小值为.17．如图，某大型厂区有三个值班室，值班室在值班室的正北方向3千米处，值班室在值班室的正东方向4千米处，仓库在边上且满足．

(1)求仓库到值班室的距离；(2)保安甲沿从值班室出发行前往值班室，保安乙沿从值班室出发行前往值班室，甲乙同时出发，甲的速度为，乙的速度为．若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离不大于3千米，请问有多长时间两人不能通话？【答案】(1)千米(2)小时【详解】（1）是直角三角形，且，则，，又，在中，；（2）设甲乙出发后的时间为小时，甲在线段上的位置为，乙在线段上的位置为，则，且，由（1）可知：，在中，由余弦定理可知：，即：，若甲乙不能通话，则，即，解得或，又，故不能通话的时间为小时.

18．已知点、分别是的边、上的点，且交于．(1)若，求的值；(2)若，（i）求的余弦值：（ii）求的值．【答案】(1)(2)（i）（ii）【详解】（1），，，因此，；（2）（i）设，再设，则，即，所以，，解得，所以，，因为，所以，.，所以.，所以.，所以的余弦值.（ii）.

19．如图，在中，，，且.、为线段上的两个动点（在的右侧），且.(1)若时，求的周长；(2)若的面积是的面积的倍，求的大小；(3)当为何值时