陕西省咸阳市礼泉县2024-2025学年高一下学期期中质量调研数学试题（解析版）

第1页/共1页礼泉县2024~2025学年度第二学期期中质量调研高一数学试题注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可.【详解】.故选：A.2.若单位向量，的夹角为，则（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根据数量积公式计算求解.【详解】因为单位向量，的夹角为，则.故选：C.3.如图，在正方体中，直线与的位置关系是（）A.平行 B.相交C.异面 D.以上都不是【答案】C【解析】【分析】由异面直线的判定定理判断即可.【详解】因为平面，平面，，所以直线与是异面直线.故选：C4.已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（）A平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【答案】A【解析】【分析】根据平面向量减法法则判断即可.【详解】由，可得，所以四边形一定是平行四边形.故选：A5.已知，，是三条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】由线面位置关系与面面位置关系逐一判断各个选项即可.【详解】对于选项A，若，则或，故选项A错误；对于选项B，如图所示，在正方体中，直线平面，直线平面，且平面，平面，但平面平面，故选项B错误；对于选项C，如图所示，在正方体中，平面，平面，但平面和平面相交，故选项C错误；对于选项D，根据平行的传递性可知选项D正确.故选：D.6.已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由投影向量的概念求解即可.【详解】向量在向量上的投影向量为：，故选：B7.数系的扩充过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823－1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．若i为虚数单位，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法与复数相等的条件求解即可【详解】，由，可得，即得．故选：B.8.如图为某种礼物降落伞示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（）（重力加速度取）A.1.8N B.1.6N C.1.5N D.1.4N【答案】D【解析】【分析】设每根绳子上的拉力大小为，根据平衡条件列式求解即可．【详解】设每根绳子上的拉力大小为，则根据平衡条件可得，,解得．所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N．故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，，则可能是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】设，由向量模长的坐标运算可构造方程求得，由此即可求解.【详解】∵，∴设，∴.∵，∴，即，解得.∴或.故选：AD.10.若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据共轭复数的概念，复数的运算法则，逐一求解验证即可求解.【详解】∵，∴，∴，故选项A正确；∵虚数不能比较大小，故选项B错误；∵，故选项C正确；∵，∴，，故选项D正确.故选：ACD.11.如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形内（包含边界）的动点，则下列说法正确的是（）A.点四点共面 B.几何体的体积为C.存在唯一的点，使平面 D.平面平面【答案】BD【解析】【分析】推导出与为异面直线，即可判断A；计算几何体的体积即可判断B；取的中点，的中点，连接，可证平面平面，即可求出点的轨迹，从而判断C；应用正方体性质即可判断D.【详解】对于A：在正方体中，又平面，平面，所以平面，又平面，且，所以与为异面直线，所以点四点不共面，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：取的中点，的中点，连接，则，平面，平面，所以平面，又且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，点为正方形内（包含边界）的动点，所以点在线段上有无数的点，满足平面，故C错误；对于D：在平面即是平面，平面即是平面，因为是正方体，所以平面平面，所以平面平面，故D正确.故选：BD第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为______．【答案】##【解析】【分析】利用圆台的侧面积公式即可求解.【详解】根据题意可知：圆台的侧面积为.故答案为：.13.如图，直角是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______．【答案】【解析】【分析】先由的斜二测直观图还原得的直观图，再求得的边长并判定形状，即可求得的面积，得到答案.【详解】由的斜二测直观图还原得的直观图如下，因为直角中，且，所以，则在中，，，所以的面积为.故答案为：..14.如图所示，直角梯形中，，点是线段上的动点，，则满足条件的点的个数是______．【答案】1【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，根据平面向量数量积的坐标运算结合可得出关于的方程，解出的值，即可求解.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、，设点，其中，则，，则，整理可得，解得，所以满足条件的点只有1个.故答案为：1.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知复数，为虚数单位，为实数．（1）若复数为纯虚数，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根据纯虚数概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值；（2）根据条件得出该复数的实部和虚部都为正数，则可得出关于实数的不等式组，进而求解即可．【小问1详解】由复数为纯虚数，得，解得.【小问2详解】因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，所以，解得，即的取值范围为．16.设为实数，若向量．（1）若与垂直，求的值；（2）当为何值时，三点共线．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意先求，再结合向量垂直的坐标表示运算求解；（2）根据题意先求，再结合向量共线的坐标表示运算求解.【小问1详解】由题意可得：，若与垂直，则，解得.【小问2详解】由题意可得：，，若三点共线，则，可得，解得或．17.如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，如果圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.（1）求圆柱的侧面积；（2）求三棱柱的体积.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）设底面半径为r，则母线长为2r，由V圆柱=πr2•2r=2π，求出r=1，由此能求出该圆柱的侧面积；（2）因为△ABC为正三角形，底面圆的半径为1，所以可得边长AB=，利用三棱柱的体积，即可得解.试题解析：（1）设底面圆的直径为，由题可知∴∴圆柱的侧面积（2）因为△ABC为正三角形，底面圆的半径为1，∴可得边长AB=∴三棱柱的体积18.如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA中点，平面平面．（1）判断直线l与BC的位置关系并证明；（2）求证：平面PAD；（3）直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，为中点，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可.（2）利用线面平行的判定定理证明即可.（3）利用面面平行的判定定理证明即可.【小问1详解】.依题意，，平面，平面，则平面，又平面平面，平面，所以.【小问2详解】取中点，连接，在中，在中，，则，即四边形为平行四边形，因此，平面，平面，所以平面【小问3详解】当为中点时，平面平面证明如下：取的中点为，连接，在中，，平面，平面，则平面，同理可证，平面，又平面，，所以平面平面.19.如图，四边形为圆的内接四边形，.（1）若，求；（2）若，且为等边三角形，求圆的面积.【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）由圆的内接四边形得到的关系，然后求出，由余弦定理建立方程求出；（2）由圆的内接四