2025数字信号处理教程试卷及答案

2025数字信号处理教程及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.下列离散时间信号中，属于周期信号的是（）A.\(x(n)=\cos(0.3\pin+\pi/4)\)B.\(x(n)=n\cos(0.5\pin)\)C.\(x(n)=e^{j0.6n}\)D.\(x(n)=\sin(0.7n)+\cos(0.3n)\)2.已知线性时不变系统的单位冲激响应\(h(n)=\delta(n-1)+2\delta(n-2)\)，输入\(x(n)=\delta(n)+\delta(n-1)\)，则输出\(y(n)\)在\(n=2\)处的值为（）A.1B.2C.3D.43.序列\(x(n)=\{1,2,3,4\}\)（\(n=0,1,2,3\)）的4点DFT结果中，第二个点（\(k=1\)）的实部为（）A.-2B.-1C.0D.14.关于Z变换的收敛域，下列说法错误的是（）A.有限长序列的收敛域为整个Z平面（除\(z=0\)或\(z=\infty\)）B.右边序列的收敛域是半径为\(R_x\)的圆外区域（含\(z=\infty\)）C.左边序列的收敛域是半径为\(R_x\)的圆内区域（含\(z=0\)）D.双边序列的收敛域是两个圆之间的环形区域5.若某系统的频率响应\(H(e^{j\omega})=e^{-j3\omega}\)，则该系统的群延迟为（）A.0B.3C.-3D.与\(\omega\)相关6.设计IIR低通滤波器时，若采用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器，需先对模拟频率进行（）A.预畸变B.归一化C.截断D.加窗7.下列FIR滤波器中，不满足线性相位条件的是（）A.\(h(n)=\{1,2,2,1\}\)（\(n=0,1,2,3\)）B.\(h(n)=\{1,3,3,1\}\)（\(n=0,1,2,3\)）C.\(h(n)=\{1,2,-2,-1\}\)（\(n=0,1,2,3\)）D.\(h(n)=\{0,1,2,1,0\}\)（\(n=0,1,2,3,4\)）8.已知序列\(x(n)\)的长度为8，若用基2-FFT计算其16点DFT，需补零的个数为（）A.8B.16C.0D.249.某因果稳定离散系统的系统函数\(H(z)=\frac{z}{z-0.5}\)，其单位阶跃响应\(s(n)\)的终值为（）A.0B.1C.2D.无穷大10.用矩形窗设计FIR低通滤波器时，若希望主瓣宽度减小，应（）A.增加窗函数长度B.减小窗函数长度C.改用汉明窗D.调整截止频率二、填空题（每题3分，共15分）1.离散时间信号\(x(n)=\cos(0.2\pin)+\sin(0.3\pin)\)的基频周期为________。2.已知\(x(n)\)的Z变换\(X(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}\)（\(|z|>0.5\)），则\(x(n)=\)________。3.序列\(x(n)\)的8点DFT为\(X(k)\)，则\(X(0)=\)________（用\(x(n)\)表示）。4.设计巴特沃斯模拟低通滤波器时，阶数\(N\)由通带最大衰减\(\alpha_p\)、阻带最小衰减\(\alpha_s\)、通带截止频率\(\Omega_p\)和阻带截止频率\(\Omega_s\)决定，其计算公式为\(N\geq\)________。5.若线性时不变系统的输入为\(x(n)\)，输出为\(y(n)=x(n)+0.5x(n-1)\)，则其频率响应\(H(e^{j\omega})=\)________。三、简答题（每题6分，共30分）1.简述离散时间傅里叶变换（DTFT）与离散傅里叶变换（DFT）的联系与区别。2.说明线性相位FIR滤波器的4种类型及其对应的单位冲激响应对称性和频率响应特点。3.比较IIR滤波器与FIR滤波器的优缺点（至少列出3点）。4.解释FFT算法的“分治”思想，并说明基2-FFT的运算量（复数乘法次数）与点数\(N=2^M\)的关系。5.简述用窗函数法设计FIR滤波器的主要步骤，并指出窗函数选择的关键因素。四、计算题（每题8分，共24分）1.已知离散系统的差分方程为\(y(n)-0.5y(n-1)=x(n)+2x(n-1)\)（因果）。（1）求系统函数\(H(z)\)并画出零极点图；（2）判断系统的稳定性；（3）求单位冲激响应\(h(n)\)。2.用双线性变换法设计一个数字巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率\(f_p=1kHz\)，通带最大衰减\(\alpha_p=3dB\)，阻带截止频率\(f_s=3kHz\)，阻带最小衰减\(\alpha_s=15dB\)，采样频率\(f_s'=10kHz\)。（1）计算预畸变后的模拟通带和阻带截止频率\(\Omega_p\)、\(\Omega_s\)；（2）确定模拟巴特沃斯滤波器的阶数\(N\)；（3）写出模拟滤波器的系统函数\(H_a(s)\)（归一化形式）。3.用矩形窗设计一个线性相位FIR低通滤波器，要求截止频率\(\omega_c=0.4\pi\)，窗函数长度\(N=5\)（奇数）。（1）写出理想低通滤波器的单位冲激响应\(h_d(n)\)；（2）确定实际设计的\(h(n)\)，并验证其线性相位特性；（3）画出\(h(n)\)的幅度响应示意图（标注主瓣宽度）。五、综合题（11分）已知某离散系统的系统函数\(H(z)=\frac{1+2z^{-1}+z^{-2}}{1-0.8z^{-1}+0.15z^{-2}}\)。（1）判断系统的因果性和稳定性；（2）求其频率响应\(H(e^{j\omega})\)，并分析幅度响应的特性（低通/高通/带通/带阻）；（3）若输入\(x(n)=\cos(0.2\pin)+\sin(0.6\pin)\)，求稳态输出\(y(n)\)。---答案一、单项选择题1.A（周期信号需满足\(2\pi/\omega_0\)为有理数，\(0.3\pi\)对应\(2\pi/(0.3\pi)=20/3\)，为有理数）2.C（卷积计算：\(y(2)=x(2)h(0)+x(1)h(1)+x(0)h(2)=01+11+12=3\)）3.B（4点DFT公式：\(X(1)=\sum_{n=0}^3x(n)e^{-j2\pin/4}=11+2(-j)+3(-1)+4(j)=-2+2j\)，实部为-2？修正：计算错误，正确应为\(X(1)=1+2e^{-j\pi/2}+3e^{-j\pi}+4e^{-j3\pi/2}=1+2(-j)+3(-1)+4(j)=(1-3)+j(-2+4)=-2+2j\)，实部为-2，但选项无-2，可能题目参数调整。假设题目中\(x(n)=\{1,2,3,4\}\)对应\(n=0,1,2,3\)，则\(X(1)=11+2e^{-j\pi/2}+3e^{-j\pi}+4e^{-j3\pi/2}=1-2j-3+4j=-2+2j\)，实部-2，但选项A为-2，故正确选项A）4.C（左边序列收敛域不含\(z=0\)，除非有限长）5.B（群延迟\(\tau(\omega)=-d\theta(\omega)/d\omega=3\)）6.A（双线性变换需预畸变消除频率混叠）7.C（线性相位要求\(h(n)=h(N-1-n)\)或\(h(n)=-h(N-1-n)\)，C选项\(h(0)=1,h(3)=-1\)，符号相反但\(h(1)=2,h(2)=-2\)，满足奇对称，N=4时类型III，允许带阻但需满足\(h(N-1-n)=-h(n)\)，实际C选项正确？需重新核对：类型III要求\(h(n)=-h(N-1-n)\)，N=4（偶数），此时\(h(0)=-h(3),h(1)=-h(2)\)，C选项\(h(0)=1,h(3)=-1\)（满足），\(h(1)=2,h(2)=-2\)（满足），故C是线性相位。可能错误选项为D？D选项\(h(n)=\{0,1,2,1,0\}\)，N=5（奇数），\(h(0)=0,h(4)=0\)，\(h(1)=1,h(3)=1\)，\(h(2)=2\)，满足\(h(n)=h(4-n)\)，是线性相位。原题可能错误，正确选项应为无？或题目中C选项\(h(n)=\{1,2,-2,-1\}\)，N=4，\(h(0)=1,h(3)=-1\)不满足对称，故C不满足线性相位，正确选项C）8.A（原长度8，补零到16点需补8个零）9.C（终值定理：\(\lim_{n\to\infty}s(n)=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})S(z)\)，\(S(z)=H(z)/(1-z^{-1})=\frac{z}{(z-0.5)(1-z^{-1})}=\frac{z^2}{(z-0.5)(z-1)}\)，终值\(\lim_{z\to1}(1-z^{-1})S(z)=\lim_{z\to1}\frac{z}{z-0.5}=2\)）10.A（主瓣宽度与窗长成反比，增加窗长可减小主瓣宽度）二、填空题1.20（\(0.2\pi\)周期\(10\)，\(0.3\pi\)周期\(20/3\)，最小公倍数20）2.\(0.5^nu(n)\)（右边序列，逆Z变换为\(x(n)=0.5^nu(n)\)）3.\(\sum_{n=0}^7x(n)\)（DFT直流分量为序列和）4.\(\frac{\lg\left(\frac{10^{0.1\alpha_s}-1}{10^{0.1\alpha_p}-1}\right)}{2\lg\left(\Omega_s/\Omega_p\right)}\)（巴特沃斯阶数公式）5.\(1+0.5e^{-j\omega}\)（频率响应为系统函数在\(z=e^{j\omega}\)处的值）三、简答题1.联系：DFT是DTFT的等间隔采样（对\(\omega\)在\([0,2\pi)\)内均匀采样\(N\)点）；区别：DTFT是连续频率的傅里叶变换（适用于无限长序列），DFT是离散频率的有限长序列傅里叶变换（隐含周期性），且DFT可通过FFT快速计算。2.4种类型：-类型I：\(h(n)=h(N-1-n)\)（偶对称），\(N\)奇数，幅度响应\(H(\omega)\)无约束；-类型II：\(h(n)=h(N-1-n)\)（偶对称），\(N\)偶数，幅度响应\(H(\omega)\)在\(\omega=\pi\)处为0；-类型III：\(h(n)=-h(N-1-n)\)（奇对称），\(N\)奇数，幅度响应\(H(\omega)\)在\(\omega=0,\pi\)处为0；-类型IV：\(h(n)=-h(N-1-n)\)（奇对称），\(N\)偶数，幅度响应\(H(\omega)\)在\(\omega=0\)处为0。3.IIR优点：阶数低，计算量小；缺点：非线性相位，不易稳定。FIR优点：严格线性相位，稳定；缺点：阶数高，计算量大。4.分治思想：将大点数DFT分解为小点数DFT（如基2-FFT将\(N=2^M\)分解为2个\(N/2\)点DFT），递归计算。运算量：复数乘法次数约为\((N/2)\log_2N\)。5.步骤：①确定理想频率响应\(H_d(e^{j\omega})\)；②求理想冲激响应\(h_d(n)\)；③选择窗函数\(w(n)\)截断\(h_d(n)\)得到\(h(n)=h_d(n)w(n)\)；④验证性能。关键因素：主瓣宽度（影响过渡带）、旁瓣衰减（影响阻带衰减）。四、计算题1.（1）对差分方程取Z变换：\(Y(z)-0.5z^{-1}Y(z)=X(z)+2z^{-1}X(z)\)，故\(H(z)=\frac{1+2z^{-1}}{1-0.5z^{-1}}=\frac{z+2}{z-0.5}\)。零点\(z=-2\)，极点\(z=0.5\)（图略）。（2）极点\(|0.5|<1\)，因果系统稳定。（3）逆Z变换：\(H(z)=1+\frac{2.5}{z-0.5}\)（部分分式），故\(h(n)=\delta(n)+2.5(0.5)^{n-1}u(n-1)=\delta(n)+5(0.5)^nu(n-1)\)（或直接展开为\((0.5)^nu(n)+2(0.5)^{n-1}u(n-1)\)，合并后\(h(n)=(0.5)^nu(n)+2(0.5)^{n-1}u(n-1)=(0.5)^nu(n)+4(0.5)^nu(n-1)=(0.5)^n[u(n)+4u(n-1)]=(0.5)^n[1+4u(n-1)]\)，当\(n=0\)时1，\(n\geq1\)时5(0.5)^n）。2.（1）预畸变公式\(\Omega=2f_s'\tan(\pif/f_s')\)，故\(\Omega_p=210^4\tan(\pi1000/10^4)=210^4\tan(0.1\pi)\approx210^40.3249=6498rad/s\)；\(\Omega_s=210^4\tan(\pi3000/10^4)=210^4\tan(0.3\pi)\approx210^41.3764=27528rad/s\)。（2）巴特沃斯阶数\(N\geq\frac{\lg[(10^{0.115}-1)/(10^{0.13}-1)]}{2\lg(\Omega_s/\Omega_p)}=\frac{\lg[(31.62-1)/(1.995-1)]}{2\lg(27528/6498)}=\frac{\lg(30.62/0.995)}{2\lg(4.237)}=\frac{\lg(30.77)}{20.627}\approx\frac{1.488}{1.254}\approx1.186\)，取\(N=2\)。（3）归一化模拟巴特沃斯二阶系统函数\(H_a(s)=\frac{1}{s^2+\sqrt{2}s+1}\)。3.（1）理想低通\(h_d(n)=\frac{\sin(\omega_c(n-\alpha))}{\pi(n-\alpha)}\)，\(\alpha=(N-1)/2=2\)，故\(h_d(n)=\frac{\sin(0.4\pi(n-2))}{\pi(n-2)}\)（\(n\neq2\)），\(h_d(2)=0.4\)。（2）矩形窗\(w(n)=1\)（\(n=0,1,2,3,4\)），故\(h(n)=h_d(n)w(n)\)，计算得\(h(0)=\frac{\sin(0.4\pi(-2))}{\pi(-2)}=\frac{\sin(-0.8\pi)}{-2\pi}=\frac{-\sin(0.8\pi)}{-2\pi}\approx\frac{-0.5878}{-6.283}\approx0.0936\)；\(h(1)=\frac{\sin(0.4\pi(-1))}{\pi(-1)}=\frac{\sin(-0.4\pi)}{-π}\approx\frac{-0.9511}{-3.142}\approx0.3027\)；\(h(2)=0.4\)；\(h(3)=h(1)=0.3027\)；\(h(4)=h(0)=0.0936\)。验证线性相位：\(h(n)=h(4-n)\)（偶对称），满足类型I，群延迟为2。（3）幅度响应主瓣宽度为\(4\pi/N=4\pi/5=0.8\pi\)（示意图略）。五、综合题（1）因果性：分母多项式最高次幂为2，分子为2，因果。稳定性：极点由\(1-0.8z^{-1}+0.15z^{-2}=0\)得\(z^2-0.8z+0.15=0\)，根\(z=(0.8\pm\sqrt{0.64-0.6})/2=(0.8\pm0.2)/2=0.5\)或\(0.3\)，均在单位圆内，稳定。（2）频率响应\(H(e^{j\omega})=\frac{1+2e^{-j\omega}+e^{-j2\omega}}{1-0.8e^{-j\omega}+0.15e^{-j2\omega}}=\frac{(1+e^{-j\omega})^2}{(1-0.5e^{-j\omega})(1-0.3e^{-j\omega})}\)，分子为\(4\cos^2(\omega/2)e^{-j\omega}\)，幅度响应\(|H(e^{j\omega})|=\frac{4\cos^2(\