2025年信号与系统面试题及答案

2025年信号与系统面试题及答案问题1：如何区分确定信号与随机信号？举例说明能量信号与功率信号的判定方法。确定信号是指在任意时刻都有确定取值的信号，其未来值可由明确的数学表达式或规则预测，如正弦信号x(t)=Acos(ωt+φ)。随机信号的取值具有不确定性，无法用精确数学式描述，只能通过统计特性（如均值、方差）表征，例如通信中的高斯白噪声。能量信号与功率信号的判定基于信号在时间域的能量或功率是否有限。能量E定义为信号平方在全体时间域的积分（连续）或求和（离散），即E=∫|x(t)|²dt（-∞到∞）或E=∑|x[n]|²（-∞到∞）；功率P为能量对时间的平均值，即P=lim(T→∞)(1/(2T))∫|x(t)|²dt（-T到T）或P=lim(N→∞)(1/(2N+1))∑|x[n]|²（-N到N）。若E<∞且P=0，则为能量信号，如矩形脉冲x(t)=rect(t/τ)（τ有限）；若P<∞且E→∞，则为功率信号，如正弦信号x(t)=cos(ω0t)，其功率P=1/2，能量无限。需注意，周期信号通常为功率信号，非周期且绝对可积的信号多为能量信号。问题2：冲激响应h(t)与阶跃响应s(t)的关系是什么？如何通过阶跃响应求解系统对任意输入x(t)的零状态响应？冲激响应h(t)是系统对单位冲激信号δ(t)的零状态响应，阶跃响应s(t)是系统对单位阶跃信号u(t)的零状态响应。二者的关系为微分与积分的互逆运算：h(t)=ds(t)/dt，s(t)=∫h(τ)dτ（-∞到t）。这是因为δ(t)是u(t)的导数（u(t)的微分是δ(t)），根据线性时不变（LTI）系统的微分特性，若输入为x(t)的导数，则输出为对应响应的导数。对于任意输入x(t)，其零状态响应y(t)可通过卷积积分计算：y(t)=x(t)h(t)。由于h(t)=ds(t)/dt，代入得y(t)=x(t)ds(t)/dt。根据卷积的微分性质，x(t)ds(t)/dt=d/dt[x(t)s(t)]，因此y(t)=d/dt[∫x(τ)s(t-τ)dτ（-∞到t）]。另一种方法是将x(t)分解为阶跃信号的加权和，利用阶跃响应的叠加性：x(t)=∫x’(τ)u(t-τ)dτ（-∞到t），则y(t)=∫x’(τ)s(t-τ)dτ（-∞到t），这本质上与卷积积分等价。问题3：傅里叶变换的时移性质与频移性质有何区别？如何利用频移性质分析AM调制信号的频谱？时移性质描述信号在时域平移对频域的影响：若x(t)↔X(jω)，则x(t-t0)↔e^(-jωt0)X(jω)，即频谱幅度不变，相位引入线性项-ωt0。频移性质描述信号在频域平移对时域的影响：若x(t)↔X(jω)，则x(t)e^(jω0t)↔X(j(ω-ω0))，即时域信号乘以复指数，频谱整体右移ω0；同理，x(t)cos(ω0t)=[x(t)e^(jω0t)+x(t)e^(-jω0t)]/2，其频谱为X(j(ω-ω0))与X(j(ω+ω0))的叠加，幅度减半。AM调制信号的时域表达式为s(t)=A[1+m(t)]cos(ωct)，其中m(t)为调制信号（假设均值为0，|m(t)|≤1）。利用频移性质，cos(ωct)=[e^(jωct)+e^(-jωct)]/2，因此s(t)=Acos(ωct)+Am(t)cos(ωct)。第一项的频谱是位于±ωc处的冲激，幅度为A/2；第二项的频谱是m(t)的频谱M(jω)分别右移ωc和左移ωc，幅度为A/2。因此，s(t)的频谱由载频分量（±ωc处的冲激）和边带分量（M(j(ω-ωc))与M(j(ω+ωc))）组成，带宽为2B（B为m(t)的最高频率）。问题4：如何判断一个LTI系统是否因果？是否稳定？分别给出连续时间与离散时间系统的判定条件，并举例说明。因果性要求系统在t时刻的输出仅依赖于t时刻及之前的输入，即“无后效性”。连续时间系统的充要条件是冲激响应h(t)=0（t<0）；离散时间系统则要求h[n]=0（n<0）。例如，h(t)=e^(-t)u(t)（u(t)为阶跃函数）因果，因为t<0时h(t)=0；而h(t)=e^(-t)u(-t)非因果，因t>0时h(t)=0，t<0时h(t)≠0。稳定性要求系统对有界输入产生有界输出（BIBO稳定）。连续时间系统的充要条件是冲激响应绝对可积，即∫|h(t)|dt（-∞到∞）<∞；离散时间系统要求冲激响应绝对可和，即∑|h[n]|（-∞到∞）<∞。例如，连续系统h(t)=e^(-at)u(t)（a>0），其积分∫e^(-at)dt（0到∞）=1/a<∞，稳定；若a=0，h(t)=u(t)，积分→∞，不稳定。离散系统h[n]=r^nu[n]（|r|<1），求和∑|r|^n（0到∞）=1/(1-|r|)<∞，稳定；若|r|≥1，求和发散，不稳定。问题5：拉普拉斯变换的收敛域（ROC）如何影响系统的因果性与稳定性？若某系统的系统函数H(s)=1/[(s+1)(s+2)]，其可能的ROC有哪些？对应的系统特性是什么？拉普拉斯变换的ROC是s平面中使积分∫x(t)e^(-st)dt（-∞到∞）收敛的Re{s}=σ的区域。因果系统的冲激响应h(t)为右边信号（t<0时h(t)=0），其ROC为Re{s}>σ0（σ0为H(s)的最大实部极点）；反因果系统的h(t)为左边信号（t>0时h(t)=0），ROC为Re{s}<σ1（σ1为H(s)的最小实部极点）；双边系统的ROC为σ1<Re{s}<σ0（两个极点之间的区域）。稳定性要求h(t)绝对可积，对应ROC包含虚轴（Re{s}=0）。因此，因果稳定系统的ROC需满足Re{s}>σ0且σ0<0（所有极点位于左半s平面）；反因果稳定系统的ROC需Re{s}<σ1且σ1>0（所有极点位于右半s平面），但实际中反因果系统无物理可实现性；双边系统若ROC包含虚轴，则稳定，否则不稳定。对于H(s)=1/[(s+1)(s+2)]，极点为s=-1和s=-2（实部均为-1和-2）。可能的ROC有三种：1.Re{s}>-1（右边信号，因果系统）：此时h(t)为e^(-t)-e^(-2t)的右边信号（t≥0时非零），因极点均在左半平面（σ0=-1<0），故因果且稳定。2.Re{s}<-2（左边信号，反因果系统）：h(t)为-e^(-t)+e^(-2t)的左边信号（t≤0时非零），ROC不包含虚轴（Re{s}<=-2<0），但反因果系统无实际意义，且此时h(t)在t→-∞时可能增长（如e^(-t)当t→-∞时→∞），实际不稳定。3.-2<Re{s}<-1（双边信号）：h(t)由右边的e^(-2t)和左边的-e^(-t)组成，ROC不包含虚轴（-2<0<-1不成立），因此不稳定。问题6：z变换的零极点分布如何影响离散时间系统的频率响应？若H(z)=(1-0.5z^(-1))/(1-0.8z^(-1))，画出其零极点图并分析幅频响应特性。z变换的系统函数H(z)可表示为H(z)=K∏(z-z_i)/∏(z-p_j)，其中z_i为零点，p_j为极点。离散时间系统的频率响应H(e^(jω))是H(z)在单位圆（z=e^(jω)）上的取值，即H(e^(jω))=K∏(e^(jω)-z_i)/∏(e^(jω)-p_j)。幅频响应|H(e^(jω))|取决于单位圆上各零点、极点到e^(jω)的向量长度之比：零点靠近单位圆某点ω=ω0时，|e^(jω0)-z_i|减小，幅频响应在ω0处形成谷值；极点靠近单位圆某点时，|e^(jω0)-p_j|减小，幅频响应在ω0处形成峰值。对于H(z)=(1-0.5z^(-1))/(1-0.8z^(-1))=z(z-0.5)/[z(z-0.8)]（z≠0），零点为z=0.5（z=0处的零点被分子分母的z抵消，实际零点为z=0.5），极点为z=0.8。零极点图中，零点位于z=0.5（单位圆内，实轴正方向），极点位于z=0.8（单位圆内，实轴正方向）。分析幅频响应：当ω=0时，z=1，|H(e^(0))|=|(1-0.5)/(1-0.8)|=0.5/0.2=2.5；当ω=π时，z=-1，|H(e^(jπ))|=|(1-0.5(-1))/(1-0.8(-1))|=|1.5/1.8|≈0.833。由于极点在实轴正方向靠近单位圆，幅频响应在ω=0附近（低频段）有峰值；零点在实轴正方向但离单位圆较远（0.5<0.8），对低频段影响较小，主要使高频段（ω接近π）幅度下降。整体幅频响应呈现低通特性，低频增益高，高频增益低，符合一阶低通滤波器的特点。问题7：离散时间傅里叶变换（DTFT）与离散傅里叶变换（DFT）的本质区别是什么？实际工程中为何常用DFT代替DTFT？DTFT是对离散时间序列x[n]的频域分析，定义为X(e^(jω))=∑x[n]e^(-jωn)（-∞到∞），其频率ω是连续变量（-π≤ω≤π），且具有周期性（周期2π）。DTFT适用于无限长序列或有限长序列的频域连续分析，但无法直接用数字计算机处理（连续频率）。DFT是对有限长序列x[n]（0≤n≤N-1）的离散频域分析，定义为X[k]=∑x[n]e^(-j2πkn/N)（n=0到N-1），其中k=0,1,…,N-1，频率离散为ω_k=2πk/N。DFT本质是DTFT在单位圆上的等间隔采样（N点采样），即X[k]=X(e^(jω))|ω=2πk/N。工程中常用DFT的原因：①数字计算机只能处理离散数据，DFT输出离散频率点，便于存储和计算；②快速傅里叶变换（FFT）算法将DFT的计算复杂度从O(N²)降至O(NlogN)，大幅提升效率；③实际信号多为有限长（或截断为有限长），DFT能有效近似其频谱；④通过调整N可控制频率分辨率（Δf=fs/N，fs为采样率），满足不同精度需求。问题8：线性时不变系统（LTI）必须满足哪些性质？若系统输入x(t)与输出y(t)的关系为y(t)=t·x(t)，判断其是否为LTI系统，并说明理由。LTI系统需同时满足线性和时不变性：1.线性：满足叠加性与齐次性。叠加性指若x1(t)→y1(t)，x2(t)→y2(t)，则x1(t)+x2(t)→y1(t)+y2(t)；齐次性指若x(t)→y(t)，则ax(t)→ay(t)（a为常数）。2.时不变性：若x(t)→y(t)，则x(t-t0)→y(t-t0)（t0为任意实数）。对于系统y(t)=t·x(t)，验证线性：-齐次性：输入ax(t)，输出t·ax(t)=a(t·x(t))=ay(t)，满足。-叠加性：输入x1(t)+x2(t)，输出t·(x1(t)+x2(t))=t·x1(t)+t·x2(t)=y1(t)+y2(t)，满足。因此系统是线性的。验证时不变性：输入x(t-t0)，输出应为y(t-t0)=(t-t0)x(t-t0)。但实际输出为t·x(t-t0)，与(t-t0)x(t-t0)不等（除非t0=0），因此系统不满足时不变性。综上，该系统是线性时变（LTV）系统，而非LTI系统。问题9：冲激响应h(t)与系统函数H(s)（或H(z)）的关系是什么？如何通过H(s)判断连续时间LTI系统的稳定性？连续时间系统中，冲激响应h(t)的拉普拉斯变换即为系统函数H(s)=L{h(t)}=∫h(t)e^(-st)dt（0到∞，因果系统）。离散时间系统中，冲激响应h[n]的z变换为H(z)=Z{h[n]}=∑h[n]z^(-n)（n=0到∞，因果系统）。H(s)或H(z)从频域/复频域表征了系统的特性，与h(t)/h[n]为时域-复频域的一一对应关系（需结合ROC）。连续时间LTI系统稳定的充要条件是其冲激响应绝对可积，对应到H(s)的特性为：H(s)的所有极点位于s平面的左半开平面（Re{s}<0），且ROC包含虚轴（Re{s}=0）。对于因果系统（ROC为Re{s}>σ0），σ0需小于0，即所有极点的实部均小于0。例如，H(s)=1/(s²+2s+5)的极点为s=-1±j2（实部-1<0），因此因果系统稳定；若H(s)=1/(s-1)，极点s=1（实部>0），因果系统不稳定。问题10：设计一个简单的一阶RC低通滤波器，推导其冲激响应h(t)和系统函数H(s)，并分析截止频率与电路参数的关系。一阶RC低通滤波器由电阻R和电容C串联组成，输入电压x(t)接于RC两端，输出电压y(t)取电容两端电压。根据基尔霍夫电压定律，x(t)=Ri(t)+y(t)，而电容电流i(t)=Cdy(t)/dt，代入得x(t)=RCdy(t)/dt+y(t)，整理为微分方程：RCdy(t)/dt+y(t)=x(t)。取拉普拉斯变换（零初始条件），RCsY(s)+Y(s)=X(s)，因此系统函数H(s)=Y(s)/X(s)=1/(RCs+1)=1/[τs+1]（τ=RC为时间常数）。冲激响应h(t)是