2025年考研通信原理数字信号处理历年真题解析专项训练卷及答案

2025年考研通信原理数字信号处理历年真题解析专项训练卷及答案一、通信原理部分（一）选择题1.已知某数字基带传输系统采用升余弦滚降滤波器，滚降系数α=0.5，传输速率为2400Baud，则该系统的最小传输带宽为（）。A.1800HzB.2400HzC.3600HzD.4800Hz解析：升余弦滚降滤波器的传输带宽计算公式为B=(1+α)Rb/2。其中Rb为码元速率（Baud），α为滚降系数。代入数据得B=(1+0.5)×2400/2=1800Hz，故正确答案为A。2.采用2DPSK调制传输二进制信息，若输入的绝对码为10110，且初始相位为0（规定“0”对应相位不变，“1”对应相位翻转），则输出的相对码为（）。A.11001B.01100C.10110D.00111解析：2DPSK的相对码b_n与绝对码a_n的关系为b_n=a_n⊕b_{n-1}（模2加），初始条件b_0=0（初始相位对应b_0=0）。计算过程：b1=a1⊕b0=1⊕0=1；b2=a2⊕b1=0⊕1=1；b3=a3⊕b2=1⊕1=0；b4=a4⊕b3=1⊕0=1；b5=a5⊕b4=0⊕1=1。因此相对码序列为11011？（此处需重新核对计算）正确计算应为：绝对码a=[1,0,1,1,0]，b0=0；b1=a1⊕b0=1⊕0=1；b2=a2⊕b1=0⊕1=1；b3=a3⊕b2=1⊕1=0；b4=a4⊕b3=1⊕0=1；b5=a5⊕b4=0⊕1=1。但选项中无此结果，可能题目初始相位定义不同。若规定“1”对应相位不变，“0”对应翻转，则关系为b_n=b_{n-1}⊕a_n（取反）。重新计算：b0=0（初始相位0），a1=1（相位不变）→b1=b0=0；a2=0（相位翻转）→b2=1；a3=1（相位不变）→b3=1；a4=1（相位不变）→b4=1；a5=0（相位翻转）→b5=0。此时相对码为01110，仍不符选项。可能题目中“0”对应相位翻转，“1”对应不变。则b_n=b_{n-1}⊕a_n（a_n=0时翻转，即b_n=1-b_{n-1}；a_n=1时不变，b_n=b_{n-1}）。初始b0=0：a1=1→b1=0；a2=0→b2=1；a3=1→b3=1；a4=1→b4=1；a5=0→b5=0，相对码01110。可能题目选项设置有误，或需重新确认定义。通常标准定义为：相对码b_n与绝对码a_n满足b_n=a_n⊕b_{n-1}，初始b0任意（常取0）。正确计算应为：b0=0，a1=1→b1=1；a2=0→b2=1⊕0=1；a3=1→b3=1⊕1=0；a4=1→b4=0⊕1=1；a5=0→b5=1⊕0=1，即相对码11011，但选项无此答案，可能题目存在笔误，正确选项应根据标准公式推导，此处暂选最接近的A选项（需注意实际考试中需严格按题设定义）。（二）计算题3.某二进制数字调制系统采用OOK调制，发送端发送功率为10dBm，信道衰减为40dB，高斯白噪声的单边功率谱密度n0=10^-10W/Hz，传输速率Rb=10^4bps，接收端采用相干解调。试求：（1）接收端输入信噪比；（2）系统误码率Pe。解析：（1）发送功率Pt=10dBm=10^(10/10)mW=10mW=0.01W。信道衰减40dB，即衰减因子为10^(40/10)=10^4，故接收信号功率Pr=Pt/10^4=0.01/10^4=10^-6W。接收端输入噪声功率N=n0×B，OOK相干解调时带宽B≈Rb=10^4Hz（近似），故N=10^-10×10^4=10^-6W。输入信噪比r=Pr/N=10^-6/10^-6=1（0dB）。（2）OOK相干解调的误码率公式为Pe=(1/2)erfc(√(r/4))。代入r=1，得Pe=(1/2)erfc(1/2)。查误差函数表，erfc(0.5)≈0.4795，故Pe≈0.5×0.4795≈0.2398。4.已知(7,4)循环码的生成多项式g(x)=x^3+x+1，试：（1）写出信息码为1011时的码字；（2）若接收码字为1100101，判断是否存在错误。解析：（1）(7,4)循环码中，信息码长度k=4，校验位长度r=3。信息码多项式m(x)=x^3+0x^2+x+1（对应1011）。需计算m(x)×x^r除以g(x)的余式r(x)。m(x)×x^3=x^6+0x^5+x^4+x^3。用长除法除以g(x)=x^3+x+1：x^6+0x^5+x^4+x^3÷x^3+x+1：-首项x^6÷x^3得x^3，乘以除式得x^6+0x^5+x^4+x^3，与被除式相减得0。余式r(x)=0。因此码字多项式为m(x)×x^3+r(x)=x^6+0x^5+x^4+x^3+0x^2+0x+0，对应码字1011000。（2）接收码字多项式C(x)=x^6+x^5+0x^4+0x^3+x^2+0x+1=x^6+x^5+x^2+1。计算C(x)除以g(x)的余式：用g(x)=x^3+x+1去除C(x)：-x^6÷x^3得x^3，乘g(x)得x^6+x^4+x^3，与C(x)相减得(x^6+x^5+x^2+1)-(x^6+x^4+x^3)=x^5-x^4-x^3+x^2+1（模2下符号不影响，即x^5+x^4+x^3+x^2+1）。-新的余式首项x^5÷x^3得x^2，乘g(x)得x^5+x^3+x^2，相减得(x^5+x^4+x^3+x^2+1)-(x^5+x^3+x^2)=x^4+0x^3+0x^2+1=x^4+1。-首项x^4÷x^3得x，乘g(x)得x^4+x^2+x，相减得(x^4+1)-(x^4+x^2+x)=0x^4+x^2+x+1=x^2+x+1。余式不为0，故接收码字存在错误。（三）分析题5.画出2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK调制信号的功率谱密度示意图，比较其带宽和主瓣宽度，并说明哪种调制方式的频带利用率最高。解析：-2ASK：功率谱由连续谱和离散谱组成，主瓣宽度为2Rb（Rb为码元速率），带宽近似为2Rb。-2FSK：两个2ASK谱的叠加，中心频率分别为f1和f2，主瓣宽度为|f2-f1|+2Rb，带宽约为|f2-f1|+2Rb（当|f2-f1|≥2Rb时）。-2PSK/2DPSK：无离散谱（双极性不归零码时），主瓣宽度为2Rb，带宽与2ASK相同。频带利用率η=Rb/B，2ASK、2PSK、2DPSK的带宽均为2Rb，故η=0.5Baud/Hz；2FSK的带宽更大，η更低。因此2ASK、2PSK、2DPSK的频带利用率相同且高于2FSK。二、数字信号处理部分（一）选择题6.已知序列x(n)的Z变换为X(z)=1/(1-0.5z^-1)，|z|>0.5，则x(n)为（）。A.(0.5)^nu(n)B.(0.5)^nu(-n-1)C.2^nu(n)D.2^nu(-n-1)解析：X(z)=1/(1-0.5z^-1)=z/(z-0.5)，极点在z=0.5，收敛域|z|>0.5对应因果序列，其逆Z变换为(0.5)^nu(n)，故正确答案为A。7.对模拟信号x(t)=cos(200πt)+cos(500πt)进行采样，若采样频率fs=600Hz，则采样后不发生混叠的最高频率分量为（）。A.100HzB.250HzC.300HzD.500Hz解析：根据奈奎斯特采样定理，采样频率需大于信号最高频率的2倍。x(t)的频率分量为f1=100Hz（200π=2π×100）和f2=250Hz（500π=2π×250）。fs=600Hz，最大不混叠频率为fs/2=300Hz，而信号最高频率为250Hz<300Hz，故两个分量均不混叠。题目问“不发生混叠的最高频率分量”，即信号中的最高频率250Hz，正确答案为B。（二）计算题8.已知线性时不变系统的单位冲激响应h(n)=δ(n)-2δ(n-1)+δ(n-2)，输入x(n)=u(n)-u(n-3)（n=0,1,2时x(n)=1，否则0），求输出y(n)=x(n)h(n)。解析：卷积计算y(n)=Σ_{k=-∞}^∞x(k)h(n-k)。x(n)非零区间k=0,1,2；h(n-k)非零区间n-k=0,1,2→k=n,n-1,n-2。因此有效k范围为max(0,n-2)≤k≤min(2,n)。n=0：k=0→x(0)h(0)=1×1=1；y(0)=1n=1：k=0→x(0)h(1)=1×(-2)；k=1→x(1)h(0)=1×1；y(1)=-2+1=-1n=2：k=0→x(0)h(2)=1×1；k=1→x(1)h(1)=1×(-2)；k=2→x(2)h(0)=1×1；y(2)=1-2+1=0n=3：k=1→x(1)h(2)=1×1；k=2→x(2)h(1)=1×(-2)；y(3)=1-2=-1n=4：k=2→x(2)h(2)=1×1；y(4)=1n≥5或n<0时，y(n)=0。故输出序列y(n)=[1,-1,0,-1,1]（n=0到4）。9.计算序列x(n)=[1,2,3,4]的4点DFTX(k)，并验证帕塞瓦尔定理。解析：DFT公式X(k)=Σ_{n=0}^{3}x(n)W_4^{kn}，W_4=e^(-j2π/4)=e^(-jπ/2)=-j。k=0：X(0)=1+2+3+4=10k=1：X(1)=1×W_4^0+2×W_4^1+3×W_4^2+4×W_4^3=1+2×(-j)+3×(-1)+4×j=(1-3)+(-2j+4j)=-2+2jk=2：X(2)=1×W_4^0+2×W_4^2+3×W_4^4+4×W_4^6=1+2×(-1)+3×1+4×(-1)=1-2+3-4=-2k=3：X(3)=1×W_4^0+2×W_4^3+3×W_4^6+4×W_4^9=1+2×j+3×(-1)+4×(-j)=(1-3)+(2j-4j)=-2-2j帕塞瓦尔定理：Σ|x(n)|²=(1²+2²+3²+4²)=1+4+9+16=30；Σ|X(k)|²=|10|²+|-2+2j|²+|-2|²+|-2-2j|²=100+(4+4)+4+(4+4)=100+8+4+8=120。由于DFT的帕塞瓦尔定理为Σ|x(n)|²=(1/N)Σ|X(k)|²，N=4，故(1/4)×120=30，与左边相等，验证成立。（三）分析题10.设计一个线性相位FIR低通滤波器，通带截止频率fp=1kHz，阻带截止频率fs=1.5kHz，采样频率fs=10kHz。要求：（1）确定滤波器类型（I~IV型）；（2）选择合适的窗函数（汉宁窗、海明窗、布莱克曼窗），并说明理由；（3）计算滤波器的阶数N。解析：（1）线性相位FIR滤波器要求h(n)满足偶对称或奇对称。低通滤波器通常采用I型（偶对称，N为偶数）或II型（偶对称，N为奇数）。由于II型滤波器在ω=π（fs/2=5kHz）处有零点，不适合高通/带阻，但低通可用。此处选择I型（h(n)=h(N-n)，N为偶数）或II型均可，通常取II型（N为奇数，便于实现）。（2）窗函数的选择需考虑阻带衰减和过渡带宽度。已知fp=1kHz→ωp=2πfp/fs=2π×1/10=0.2π；fs=1.5kHz→ωs=2π×1.5/10=0.3π，过渡带宽度Δω=ωs-ωp=0.1π。汉宁窗的过渡带宽度约为8π/N，阻带衰减约-44dB；海明窗过渡带约6.6π/N，衰减约-53dB；布莱克曼窗过渡带约11π/N，衰减约-74dB。若要求阻带衰减≥-50dB，选择海明窗；若要求更高衰减（如-70dB）则选布莱克曼窗。假设题目无具体衰减要求，通常海明窗在阻带衰减和过渡带宽度间平衡较好，故选择海明窗。（3）过渡带宽度Δω=0.1π，海明窗的过渡带宽度经验公式为Δω=6.6π/N（N为阶数，N=滤波器长度-1）。因此N≈6.6π/Δω=6.6π/(0.1π)=66，取N=66（偶数），则滤波器长度M=N+1=67（奇数，符合II型线性相位条件）。三、综合训练题11.某通信系统中，发送端将二进制信息通过8PSK调制后经高斯信道传输，接收端采用相干解调。已知码元速率R=10^5Baud，信道噪声单边功率谱密度n0=10^-10W/Hz，要求误码率Pe≤10^-4。试计算：（1）8PSK的带宽（近似为2R）；（2）所需的发送功率Pt（设信道衰减为50dB）。解析：（1）8PSK为多进制调制，带宽近似与码元速率相关，B≈2R=2×10^5=2×10^5Hz=200kHz。（2）8PSK的误码率近似公式为Pe≈(1/log2M)erfc(√(E_s/N0)sin(π/M))，其中M=8，log2M=3，sin(π/8)≈0.3827。要求Pe≤10^-4，查erfc表得erfc(x)=3×10^-4时x≈2.8（因erfc(2.8)≈0.00256，erfc(3)≈0.000135，更接近）。取x=√(E_s/N0)×0.3827≥3→√(E_s/N0)≥3/0.3827≈7.84→E_s/N0≥61.47。E_s为码元能量，E_s=Pt'×T（Pt'