第二十一章 一元二次方程（单元测试 含解析）九年级上册数学人教版

第二十一章一元二次方程一．选择题（共15小题）1．（2025•绵阳）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为A． B． C． D．2．（2025•汇川区三模）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为A． B． C． D．3．（2025•河南二模）一元二次方程根的情况是A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根4．（2025•阳泉三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是A． B． C． D．5．（2025•湖南模拟）明明在解关于的方程时，抄错了的符号，解出其中一个根是．则原方程的根的情况是A．没有实数根 B．有一个实数根是 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根6．（2025•吉林）下列方程中，有两个相等实数根的是A． B． C． D．7．（2024秋•恩施市期中）用配方法解方程，则配方正确的是A． B． C． D．8．（2025•武威一模）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是A． B． C． D．9．（2024春•海淀区校级期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是A． B． C．且 D．且10．（2025•喀什地区一模）将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是A． B． C． D．11．（2025•榆次区三模）关于的方程，下列解法完全正确的是甲乙丙丁两边同时除以得整理得，，，，，，整理得，配方得，，，，移项得，，或，，A．甲 B．乙 C．丙 D．丁12．（2025•白银模拟）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作，则方程可以列为A． B． C． D．13．（2025•浙江模拟）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为步，则可列方程为A． B． C． D．14．（2025•昌吉州模拟）已知方程的解是，，则另一个方程的解是A．， B．， C．， D．，15．（2025•绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是A． B． C． D．二．填空题（共5小题）16．（2025•绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则，17．（2025•连云区一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为．18．（2025•顺城区一模）一元二次方程的根是．19．（2025•鞍山模拟）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为．20．（2025•常州二模）已知为方程的一个根，则代数式的值是．三．解答题（共5小题）21．（2025•内江）已知关于的一元二次方程为常数）有两个不相等的实数根和．（1）填空：，；（2）求，；（3）已知，求的值．22．（2024秋•姜堰区月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？23．（2025•龙岩模拟）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元个，商家经过调查统计，当售价为40元个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？24．（2025•台江区校级模拟）已知关于的一元二次方程．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．25．（2025•凉州区三模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米．（1）矩形的面积为，求出的长．（2）矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．

第二十一章一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2025•绵阳）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】【考点】根的判别式【专题】判别式法；运算能力【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，△，．故选：．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有实数根”是解题的关键．2．（2025•汇川区三模）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为A． B． C． D．【答案】【考点】根与系数的关系【专题】运算能力；计算题【分析】若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．据此即可求解．【解答】解：，，，，．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解题的关键．3．（2025•河南二模）一元二次方程根的情况是A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】【考点】根的判别式【分析】求出△的值，再判断即可．【解答】解：，△，所以方程没有实数根，故选：．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．4．（2025•阳泉三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是A． B． C． D．【答案】【考点】解一元二次方程配方法【专题】运算能力；一元二次方程及应用【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．【解答】解：，移项得：，配方得：，整理得：，故选：．【点评】本题主要考查了一元二次方程．熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．5．（2025•湖南模拟）明明在解关于的方程时，抄错了的符号，解出其中一个根是．则原方程的根的情况是A．没有实数根 B．有一个实数根是 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】【考点】一元二次方程的解；根的判别式【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】根据抄错的符号时得出的根，可求出正确的的值，再判断出根的判别式的正负即可解决问题．【解答】解：将代入方程得，，解得，所以的正确值为，则原方程为，所以△，所以原方程有两个不相等的实数根．故选：．【点评】本题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．6．（2025•吉林）下列方程中，有两个相等实数根的是A． B． C． D．【答案】【考点】根的判别式【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】根据根的判别式对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：、化简为方程，，，，△，此方程没有实数根，不符合题意；、，化简为，，，，△，此方程有两个相等实数根，符合题意；、，化简为方程中，，，，△，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；、方程，化简为可化为，，，，△，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．故选：．【点评】本题考查的一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△时，方程有两个相等的两个实数根；③当△时，方程无实数根是解题的关键．7．（2024秋•恩施市期中）用配方法解方程，则配方正确的是A． B． C． D．【答案】【考点】解一元二次方程配方法【专题】配方法【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【解答】解：，，，．故选：．【点评】此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8．（2025•武威一模）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是A． B． C． D．【答案】【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】一元二次方程及应用；应用意识【分析】由道路的宽为，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】解：道路的宽为，种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形．根据题意得：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2024春•海淀区校级期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是A． B． C．且 D．且【答案】【考点】根的判别式【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．【解答】解：一元二次方程有实数根，，且，解得且，故选：．【点评】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．10．（2025•喀什地区一模）将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是A． B． C． D．【答案】【考点】解一元二次方程配方法【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可．【解答】解：，，．故选：．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．11．（2025•榆次区三模）关于的方程，下列解法完全正确的是甲乙丙丁两边同时除以得整理得，，，，，，整理得，配方得，，，，移项得，，或，，A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】【考点】一元二次方程的一般形式；解一元二次方程配方法；解一元二次方程公式法；解一元二次方程因式分解法【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】分别利用解一元二次方程因式分解法，公式法，配方法，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解；乙的解法错误，就没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以的值错误；丙的解法错误，配方时，方程两边应同时加上一次项系数一半的平方；丁利用解一元二次方程因式分解法，计算正确；故选：．【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，配方法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．12．（2025•白银模拟）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作，则方程可以列为A． B． C． D．【答案】【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】应用意识；一元二次方程及应用【分析】第一天为2，根据增长率为得出第二天为，第三天为，根据三天累计为18，即可得出关于的一元二次方程．【解答】解：设平均每天票房的增长率为，根据题意得：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．（2025•浙江模拟）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为步，则可列方程为A． B． C． D．【答案】【考点】数学常识；由实际问题抽象出一元二次方程【专题】一元二次方程及应用；应用意识【分析】设宽为步，则长为步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于的一元二次方程．【解答】解：设宽为步，则长为步，依题意，得：，故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．（2025•昌吉州模拟）已知方程的解是，，则另一个方程的解是A．， B．， C．， D．，【答案】【考点】解一元二次方程因式分解法；换元法解一元二次方程【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】根据已知方程的解得出，，求出两个方程的解即可．【解答】解：方程的解是，，方程中或，解得：或，即，，故选：．【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出和是解此题的关键．15．（2025•绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是A． B． C． D．【答案】【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解【专题】运算能力；一元二次方程及应用【分析】设原来的方程为，再利用根与系数的关系得出关于，及，之间的关系式即可解决问题．【解答】解：设原来的方程为，由题知，，，所以，，所以原来的方程为，则．故选：．【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．二．填空题（共5小题）16．（2025•绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则，【答案】．【考点】一元二次方程的应用【专题】应用意识；一元二次方程及应用【分析】4月份价格从元开始降价，如果两个月平均降价率为，根据“5月份的售价为486元”作为相等关系得到方程，解方程即可求解．注意解的合理性，从而确定取舍．【解答】解：根据题意得，解得，（不合理舍去）．所以4，5月份两个月平均降价率为．即．故答案为：．【点评】本题考查的是一元二次方程的应用．原来的数量（价格）为，平均每次增长或降低的百分率为的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是．增长用“”，下降用“”．17．（2025•连云区一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为5．【答案】5．【考点】根与系数的关系【专题】运算能力；整式【分析】先根据一元二次方程的解的定义及根与系数的关系得出，，再将其代入整理后的代数式计算即可．【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，，，即：，，故答案为：5．【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．18．（2025•顺城区一模）一元二次方程的根是．【考点】解一元二次方程直接开平方法【专题】计算题【分析】这个式子先移项，变成，从而把问题转化为求9的平方根．【解答】解：移项得，．【点评】解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．19．（2025•鞍山模拟）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为．【答案】．【考点】根与系数的关系【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】利用根与系数的关系求解．【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，．故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．20．（2025•常州二模）已知为方程的一个根，则代数式的值是．【答案】【考点】一元二次方程的解【专题】推理能力；运算能力；一元二次方程及应用【分析】根据题意可得，整体代入代数式求值即可．【解答】解：为方程的一个根，，．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程解的定义是解决问题的关键．三．解答题（共5小题）21．（2025•内江）已知关于的一元二次方程为常数）有两个不相等的实数根和．（1）填空：，；（2）求，；（3）已知，求的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】（1）由根与系数的关系直接可得答案；（2）把所求式子变形后，结合（1）代入即可；（3）把已知变形后代入可得的方程，解出值后再检验即可．【解答】解：（1）由根与系数的关系得：，，故答案为：，1；（2），，；关于的一元二次方程为常数）有两个不相等的实数根和，，，即；（3）由根与系数的关系得：，，，，，解得：，，当时，△；当时，△；．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根系关系，熟练地掌握根系公式是解决本题的关键．22．（2024秋•姜堰区月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？【考点】一元二次方程的应用【专题】一元二次方程及应用；应用意识【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为．（2）设该品牌头盔的实际售价为元，依题意，得：，整理，得：，解得：（不合题意，舍去），，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．（2025•龙岩模拟）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元个，商家经过调查统计，当售价为40元个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？【考点】一元二次方程的应用【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；（2）设该品牌头盔每个售价为元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意，得，解得，（不合题意，舍去），答：设该品牌头盔销售量的月增长率为；（2）设该品牌头盔每个售价为元，依题意，得，整理，得，解得，，因尽可能让顾客得到实惠，，所以