《理论力学（第2版）》课件 9 刚体平面运动

9.19.2刚体平面运动的概述和分解

9.3求平面图形内各点的速度的基点法

9.4求平面图形内各点的速度的瞬心法9.5用基点法求平面图形内各点的加速度

9.6运动学综合应用举例1.刚体平面运动的定义平面运动的实例1平面运动的实例2平面运动的实例3既没有一条和原位置始终平行的直线也没有一条始终不动的直线。——它们的运动既不是平动也不是定轴转动，

刚上各点到某一固定平面的距离始终保持不变。——平面运动ABCD提交图中连杆AB

做的是

A)直线平动B)曲线平动 C)定轴转动D)平面运动单选题1分MNSA1A2A刚体作平面运动.平面N

//平面M截割刚体得一平面图形S.该平面图形S始终在平面N内运动.A1A2⊥图形S直线A1A2

作平动A1A2

的运动═点A的运动

结论：刚体的平面运动可以简化为

平面图形S在其自身平面内的运动。2.平面运动的简化OyxS3.刚体的平面运动方程点A称为基点(Basepoint)，一般选为已知点。——刚体平面运动的运动方程ABφyAxAφ称为平面图形的转角。基点法4.平面运动的分解平面图形S的运动，可以看成是随基点的平动和绕基点的转动的合成。若φ不变，若A点不动，则平面图形做平动则平面图形绕A点作定轴转动ABSφABSφBABS5.平面图形的角速度及角加速度A’B’ⅡABSⅠOyxBDj1ADj2图形S绕基点转动的角速度、角加速度称为平面图形的角速度和角加速度

不必指明其基点即：即：动点：B绝对运动：待求牵连运动：平动动系：(平动坐标系)相对运动

：绕A点的圆周运动OyxSwAvABxy——B点绕基点

A转动的速度，

⊥AB，指向同w一致vBvAvBA1.基点法

平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点绕基点转动的速度的矢量和。——基点法（Methodofbasepoint）注意：⑵共包括大小﹑方向六个要素，已知任意四个要素，能求出另外两个要素。⑴是矢量式，符合矢量合成法则；ABCD提交1. 如果AB杆上A点的速度是

3m/s,如果想求出

=60º时杆的角速度，选择哪个点为基点比较方便求解? A) AB)B C) CD)一样方便A4mB

C单选题1分15(2)选择基点并求解：通常选择速度已知的点作为基点。

本题选择点A为基点。解：(1)运动分析：杆AB作平面运动

例1

椭圆规尺A端以速度vA沿水平向左运动，已知AB=l，求杆AB与水平线夹角为j

时，B端的速度以及杆AB的角速度。vAABj速度大小方向？铅直方位水平向左vA垂直AB？作出速度平行四边形vAABjvAvBvBAwABj

例2

如图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=30cm，在图示位置时，BD//DE，杆AB角速度为

。试求此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。

解:(1)运动分析：杆AB和DE——定轴转动，杆BD——平面运动。

(2)选点B为基点作速度平行四边形AwBDEC60°60°vDvBvBvDBwDEwBD求：杆DE的角速度和杆BD中点C的速度再以B为基点由几何关系可求得C点的速度为AwBDEC60°60°vBwBDvBvCBvC2.速度投影法速度投影定理：平面图形上任意两点的速度

在这两点连线上的投影相等。向AB连线投影OyxSwAvABxyvBvAvBAab例3图示机构，曲柄

OA

=10cm，以角速度转动，CD=3CB。在图示位置时，A、B、E三点恰在同一水平线上，且。试求此瞬时点

E的速度。解：（1）运动分析：杆

OA、CD——定轴转动杆

AB、DE、轮

E作平面运动AwBDEC30°60°OAwBDEC30°60°O（2）应用速度投影法求解摇杆CD作定轴转动vEvAvBvDwCDEvE轮子沿直线轨道做无滑动的滚动——纯滚动速度为01.平面图形的速度瞬心

在某一瞬时，平面图形（或其延伸部分）上速度等于零的点称为平面图形的瞬时速度中心，简称为速度瞬心。

定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形（或其延伸部分）上都惟一地存在一个速度为零的点。Sw证明：设某瞬时，平面图形S，w，vA

。若取点A为基点，则：若点M位于vA

的垂线AN上，总可以找到一点C：Nv

MAv

ACv

Av

CAAvAM则vA和vMA

共线反向。刚体作平面运动时，在每一瞬时，图形内必有一点为

速度瞬心；速度瞬心是随时间而变化的，在不同瞬时，平面图形的速度瞬心的位置是不同的。SwC2.平面运动图形内各点的速度及其分布若选速度瞬心C作为基点，AvABDvBvD结论：平面图形内任一点的速度等于该点绕速度瞬心转动的速度。

SwCAvABDvBvD平面图形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬时转动。平面图形内任一点速度的大小等于该点到速度瞬心的距离与平面图形角速度的乘积速度的方位垂直于该点与速度瞬心的连线，指向与角速度的转向一致——速度瞬心法

速度瞬心法的关键在于确定平面图形的速度瞬心的位置。(1)当平面图形沿一固定面作无滑动的滚动(纯滚动)时。平面图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心。

车轮在纯滚动的过程中，轮缘上的各点相继与地面接触而成为车轮在不同时刻的速度瞬心。3.速度瞬心位置的确定vOCw(2)已知图形内任意两点A和B的速度的方向，

且它们互不平行。通过点A、B分别作vA、vB的垂线，其交点C即为平面图形的速度瞬心。SwAvABvBabCSAvABvB(3)若某瞬时，vA

∥vB

,并且速度方向垂直于AB连线。

但大小不等。则AB连线与速度vA

和vB

终端连线的交点C即为

速度瞬心。wCSAvABvBCwSAvABvB(4)若某瞬时，vA

=vB

时。速度瞬心在无限远处。在该瞬时，图形上各点的速度分布如同平面图形作平动的情形一样，因此称瞬时平动。

ω

=0，

vA

=vB。SBvBAvA必须注意，加速度不同。ABCD提交1. 瞬心法可以确定刚体上任一点的__________. A) 速度 B)加速度 C) 速度和加速度 D) 力单选题1分ABCD提交2. 刚体上任一点速度的方位_____该点与速度瞬心的连线。 A)总是平行于 B)总是垂直于 C)总是相反于 D) 总是同向于单选题1分例1如图所示机构中，已知A点速度为vA。试用速

度瞬心法求B点速度vB

。解：先找速度瞬心。也可求平面运动图形内任一点的速度。例如杆AB中点D的速度为vAABjCwvBDvD

例2半径为

R的圆轮，沿直线轨道作无滑动的滚动。

已知轮心O以速度vO

运动，

试求轮缘上点A、B、D

的速度。解：纯滚动，点C为速度瞬心。圆轮上各点速度为:圆轮的角速度为ODBARCwvOvAvBvDABCD提交3.

图示车轮半径为0.45m，角速度为w=3rad/s，转向如图所示，则

vB

=__________. A)0.15m/sB)0.45m/s C) 0m/sD)1.35m/s单选题1分

例3连杆如图所示，滑块D的速度vD=3m/s。求该瞬时杆AB和BD的角速度。解：点B的速度方向可判断vBCwBDwAB

例4平面机构如图所示，曲柄OA以角速度w=2rad/s绕轴O转动，已知：OA=CD=10cm，AB=20cm，BC=30cm，在图示位置时，曲柄OA处于水平位置，曲柄CD与水平线夹角；试求该瞬时连杆AB、BC和曲柄CD的角速度。解：点A的速度为连杆AB作瞬时平动，vAAjOjCDBwvB连杆BC速度瞬心为P。则连杆BC的角速度为曲柄CD的角速度为PvCwBCvAAjOjCDBwvBwCDBC=30cm课堂练习连杆机构如图所示，CD杆的角速度为wCD=4rad/s。求该瞬时杆AB和BC的角速度。平面图形

S的运动可分解为：

随同基点A的平动（牵连运动）绕基点A的转动（相对运动）平面图形内任一点B的运动也由这两种运动合成其加速度可以用加速度合成定理求出。ABSφABSφB1A1B’SSwAaAaBaeaBAaB牵连运动为平动时：——基点法

ABO1OIIIw1C例1

在外啮合行星齿轮机构中，系杆O1O

=l，以匀角速度w1

绕O1转动。大齿轮II固定，行星轮I半径为r，在轮II上只滚不滑。设A和B是轮缘上的两点，点A在O1O

的延长线上，而点B则在垂直于O1O

的半径上。试求点A和B的加速度。解：轮I作平面运动轮I的速度瞬心——接触点CvOaOw

ABO1OIIIw1CvOaOw以O点为基点aOaBθaO

例2车轮沿直线纯滚动。已知车轮半径为R，中心O速度vO，加速度为aO。求车轮上速度瞬心的加速度。解：ORaOvOCwaOα

速度瞬心的加速度不等于零!ORaOvOCwaOα例3在椭圆规的机构中，曲柄OD以匀角速度w绕O

轴转动。OD=AD=BD=l。求当j=60º时，杆AB的角加速度和点A的加速度。解：OD——定轴转动；杆AB——平面运动。取杆AB上的点D为基点。ABjDOwwABCvDaDABjDOwwABCaD

将①式向

x轴投影：

与假设相反aDaAxh将①式向h轴投影

---------①投影方程

×工程中的机构都是由数个物体组成的，各物体间通过联接点而传递运动。为分析机构的运动，首先要分清各物体都作什么运动，计算有关联接点的速度和加速度。在分析平面图形某点的运动时，如能确定其位置与时间的函数关系，则可直接建立相关运动方程。9.5运动学综合应用举例当难以确定点的运动方程、或只计算机构某些瞬时位置的运动参数时，可根据刚体各种不同运动的形式，确定此刚体的运动与其上一点运动的关系。通常利用合成运动或平面运动的理论来分析相关的两个点某瞬时的速度和加速度关系。在复杂的机构中，可能同时有平面运动和点的合成运动问题。应注意分别分析、综合应用有关理论。9.5运动学综合应用举例例1如图所示平面机构中，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与BD分别与滑块B铰接；BD杆可沿水平导轨运动。滑块

E以匀速度v沿铅直导轨向上运动。杆

BE长为。在图示瞬时，杆

OA铅直，且与杆BE夹角为45°。试求该瞬时杆OA的角速度与角加速度。

ABlODvEl9.5运动学综合应用举例

解：1、BE杆作平面运动，以E为基点沿BE方向投影？大小方向√0？√√√ABlODvElvBwBEaB速度瞬心为O点。

2、动点：滑块B，动系：杆OA杆OA的角速度作速度平行四边形ABlODvElwBEvBvevrwOA加速度合成定理投影到BD线上（顺时针）ABlODvElwBEaBaraOA

例2

如图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速v平动。通过铰链A带动杆AB沿导套O运动，导套O与杆AC距离为l。图示瞬时杆AB与杆AC夹角为，求该瞬时杆AB的角速度及角加速度。ABjlOCjvwABaAB9.5运动学综合应用举例

杆AB在导套O中滑动，因此杆AB与导套O具有相同的角速度及角加速度。解：方法1以A为动点，动系固结在导套O上。A点的绝对运动为以匀速v沿AC方向的运动；

相对运动是A点沿导套O的运动。

牵连运动为绕O的转动；作速度平行四边形ABjlOCjwABvrvave投影到方向杆AB的角加速度大小为A点为匀速直线运动，绝对加速度为零。作加速度矢量图ABjlOCjvwABaAB将其两端对时间求导，并注意到再对时间求导得：方法2以点O为坐标原点，建立Oxy直角坐标系ABjlOCjvxyxAwABaAB

例3

如图所示平面机构。AB长为l，滑块A可沿摇杆OC的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度w绕O转动，滑块B以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，AB与水平线OB夹角为30°。求此瞬时AB杆的角速度及角加速度。1、杆AB作平面运动，以B为基点

解：？大小方向?v？√√2、动点：滑块A，动系：杆OC?大小方向?√？√√3、两式联合61沿vB方向投影AB杆的角速度为沿vr方向投影得以B为基点A点为动点，动系固结于OC上4、加速度分析？大小方向?