2024-2025学年贵州省黔西南州顶兴高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年贵州省黔西南州顶兴高级中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有(

)A.11种 B.22种 C.30种 D.60种2.已知集合A={x|x2−x−6<0}，B={−2,−1,0,1,3,5}，则A∩B=A.{−1,0,1,2,3} B.{−2,−1,0,1,3} C.{−2,−1,0,1} D.{−1,0,1}3.为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生的成绩依次为：65，95，75，70，95，85，92，80，则这组数据的75%分位数为(

)A.93.5 B.93 C.92 D.91.54.已知函数f(x)=log2(x+2),g(x)=3xA.729 B.81 C.27 D.35.平行四边形ABCD中，E为CD中点，AC与BD交于O，记OA=a，OB=b，AE=xA.2 B.34 C.−346.有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有(

)A.24种 B.48种 C.96种 D.144种7.在平面直角坐标系中，A(0,3)，B(0,−1)，点P满足|PA|=2|PB|，则点P到直线AB的最大值是(

)A.2 B.83 C.163 8.某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择参加兴趣小组，若这5名学生每人选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生不同的选择方法有(

)A.270种 B.210种 C.180种 D.150种二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.满足不等式An−12−n<7的n的值为A.3 B.4 C.5 D.610.已知(x−2)7=aA.a0=−128 B.a0+a111.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)=(f′(x))′.若f″(x)≥0在D上恒成立，则称f(x)在D上是“下凸函数”.下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是(

)A.f(x)=x2−4x+3 B.g(x)=log12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.曲线y=2x−1x+2在点(1,f(1))处的切线方程为

．13.已知α∈(π2,3π4)，β∈(0,π2)14.在数列{an}中，an+an+1=2n+1(n∈N+)，数列{an四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}是首项为1的等差数列，数列{bn}是公比为3的等比数列，且a2+b3=30，b2=a4+2．

16.(本小题15分)

在(2x−3x)n的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为6417.(本小题15分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线为l，点P在C上，且点P到直线l的距离与其到x轴的距离都等于2．

(1)求C的方程；

(2)设F为抛物线C的焦点，过Q(2,0)的直线与C交于A，B两点，若△ABF的面积为3，求直线18.(本小题17分)

如图，平面ABCD⊥平面CDEF，四边形ABCD是正方形，DE⊥CD，CD//EF，CD=3EF，CD=2DE．

(1)求证：AC⊥BE；

(2)求平面DBF与平面CBF夹角的余弦值．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−ax−1，g(x)=ln(x+2)−x−1(e为自然对数的底数，a∈R)，函数f(x)的极值点为0．

(1)求a的值；

(2)证明：对∀x∈(−2,+∞)，f(x)>g(x)；

(3)已知数列{an}答案解析1.【答案】C

【解析】解：某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，

第一步，从5名男队员中选出1名，共有5种选法；

第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法；

根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有5×6=30(种)．

故选：C．

利用分步乘法计数原理计算可得结果．

本题考查排列组合相关知识，属于中档题．2.【答案】D

【解析】解：由x2−x−6<0，得−2<x<3，则A=(−2,3)，

又B={−2,−1,0,1,3,5}，

所以A∩B={−1,0,1}．

故选：D．

解一元二次不等式求集合，再由集合的交运算求结果．3.【答案】A

【解析】解：将8名学生的成绩从低到高依次排列：65，70，75，80，85，92，95，95，

因为8×75%=6，所以这组数据的第75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即为92+952=93.5．

故选：A．

将8名学生的成绩从低到高依次排列，结合百分位数的计算方法，即可求解．4.【答案】C

【解析】解：因为函数f(x)=log2(x+2),g(x)=3x，

所以f(6)=log28=3，所以g(f(6))=g(3)=33=27．

5.【答案】B

【解析】解：由题意得AE=AD+DE=AD+12DC=AO+OD+12(DO+OC6.【答案】D

【解析】解：有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，

先把3名女生看成一个整体，有A33=6种排法，

再把这个整体与另外3名男生排列，有A44=24种排法，

则不同的坐法有6×24=144种坐法．

故选：D．

先利用捆绑法将7.【答案】B

【解析】解：设点P(x,y)，A(0,3)，B(0,−1)，

则直线AB的方程为：x=0，

因为|PA|=2|PB|，所以x2+(y−3)2=2x2+(y+1)2，

整理得x2+(y+73)2=649，

所以点P的轨迹是以(0,−73)为圆心，以838.【答案】D

【解析】解：已知有5名学生选择参加兴趣小组且这5名学生每人选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，

先将5名学生分成三组，每组人数有1，1，3或2，2，1两种情况，

则不同的分组方法有C51C41C33A22+C52C32C11A22种，

再由这3组学生选取3个兴趣小组，不同的选法有9.【答案】AB

【解析】解：∵An−12−n<7，

∴(n−1)(n−2)−n<7，且n−1≥2，

整理得n2−4n−5<0，且n−1≥2，

解得3≤n<5，

∵n∈N∗，∴n的值为10.【答案】ABD

【解析】解：(x−2)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a7x7，

令x=0，得a0=(−2)7=−128①，故选项A正确；

令x=1，得a0+a11.【答案】ABC

【解析】解：f(x)=x2−4x+3，

则f(x)定义域为R，f′(x)=2x−4，f″(x)=2>0，故A正确．

B.g(x)定义域为(0,+∞)，g′(x)=1xln12=−1xln2，g″(x)=1x2ln2>0，故B正确．

C.ℎ(x)定义域为R，ℎ′(x)=2x−2sinx，ℎ″(x)=2−2cosx≥0，故C正确．

D.φ(x)=x2lnx，

则φ(x)定义域为(0,+∞)，φ′(x)=2xlnx+x12.【答案】5x−9y−2=0

【解析】解：令f(x)=y=2x−1x+2，∴f′(x)=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2，

则f′1=59，

又f(1)=113.【答案】2【解析】解：已知α∈(π2,3π4)，β∈(0,π2)，cos2α=−35，sinβ=7210，

得2α∈(π,3π2)，所以sin2α=−1−cos22α=−45，14.【答案】nn+1【解析】解：因为S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+⋯+(a2n−1+a2n)=3+7+⋯+4n−1=n(3+4n−1)2=2n215.【答案】an=2n−1；bn=3n【解析】解：(1)因为数列{an}是首项为1的等差数列，数列{bn}是公比为3的等比数列，

且a2+b3=30，b2=a4+2，

所以1+d+9b1=303b1=1+3d+2，解得d=2b1=3，

所以an=2n−1；b16.【答案】2160；

−4320x−【解析】解：(1)由于所有项的二项式系数之和为64，

则2n=64，解得n=6，

所以展开式的通项公式为：Tk+1=C6k(2x)6−k(−3x)k=(−3)kC6k26−kx6−3k2,k=0,1,2,⋅⋅⋅,6．

令6−3k2=0，解得k=2，

所以该二项式的展开式中的常数项为T317.【答案】y2=4x；

2x−y−4=0或2x+y−4=0【解析】(1)根据点P到直线l的距离与其到x轴的距离都等于2，那么可得|yP|=|xP+p2|=2，

令yP=2，那么xP=2p，结合|xP+p2|=2，那么2p+p2=2，解得p=2，

因此y2=4x；

(2)根据题设，可设AB：x=ty+2，那么F(1,0)到该直线的距离d=11+t2，

联立直线AB与抛物线y2=4x，可得y2−4ty−8=0，Δ=16t2+32>0，

若A(x1,y118.【答案】证明见解析；

22110【解析】(1)证明：因为DE⊥CD，平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF=CD，DE⊂平面CDEF，

所以DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，

所以AC⊥DE.因为四边形ABCD是正方形，

所以AC⊥BD，又DE∩BD=D，DE，BD⊂平面BDE，

所以AC⊥平面BDE，又BE⊂平面BDE，

所以AC⊥BE；

(2)由(1)知DE⊥平面ABCD，

又AD⊂平面ABCD，所以DE⊥AD，

又四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD，

所以AD，CD，ED两两垂直．

以AD，CD，ED所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设CD=6，则D(0,0,0)，B(6,6,0)，C(0,6,0)，F(0,2,3)，

所以DB=(6, 6, 0), BF=(−6, −4, 3), CB=(6, 0, 0)，

设平面DBF的法向量为m=(x, y, z)，

则m⊥DBm⊥BF，则m⋅DB=6x+6y=0,m⋅BF=−6x−4y+3z=0,

令x=1，得y=−1, z=23，

所以平面DBF的一个法向量为m=(1, −1, 23)，

设平面CBF的法向量为n=(a, b, c)，

则n⊥CBn⊥BF，则n⋅CB=6a=0,n⋅BF=−6a−4b+3c=0,，

令b=3，得a=0，c=4，

所以平面CBF的一个法向量为n=(0, 3, 4)，

设平面DBF与平面CBF的夹角为θ，

则cosθ=|m⋅n||m| |n|=|0−3+19.【答案】a=1；

证明见解析；

证明见解析．

【解析】(1)由f(x)=ex−ax−1，得f′(x)=ex−a，

因为函数f(x)的极值点为0，所以f′(0)=e0−a=0，解得a=1．

若a=1，f′(x)=ex−1，当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，

所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，

所以0是函数f(x)的极值点，符合题意．

综上，a=1．

(2)证明：令ℎ(x)=f(x)−g(x)=ex−x−1−[ln(