【25年秋季】新人教版八年级数学上册专项讲练专题12.23 三角形全等几何模型-共顶点等角模型（名师详细解析）

专题12.23三角形全等几何模型-共顶点等角模型（专项练习）模型一：共顶点双垂线等角模型：模型二：共顶点等角模型：图一图二一、单选题1．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件不正确的是（）A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DCC．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E2．如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS3．如图，△ABC中，已知∠B=∠C，点E，F，P分别是AB，AC，BC上的点，且BE=CP，BP=CF，若∠A=112°，则∠EPF的度数是（

）A．34° B．36° C．38° D．40°4．如图，已知，则的度数为（

）A． B． C． D．5．如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，则∠BFD的度数是（）A．60° B．90° C．45° D．120°6．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=24°，∠2=36°，则∠3=（

）A．50 B．60 C．55 D．657．如图，在△ABC中，AB=AC．点B，D，E在同一直线上，点D在△ABC内、点E在△ABC外，且AD=AE．若，则∠BEC的度数为()A．50° B．55° C．60° D．80°8．如图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，若，则的度数是（

）A． B． C． D．9．如图，和都是等边三角形，，，则的周长为（

）A．19 B．20 C．27 D．3010．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，则OE的最小值是为（）A． B．0.25 C．1 D．211．如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，则∠AEB=（

）A．52° B．90° C．128° D．38°12．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④13．如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则（）A．BE+CF＞EFB．BE+CF=EFC．BE+CF＜EFD．BE+CF与EF的大小关系不能确定．二、填空题14．如图所示，AB=AD，∠1=∠2，添加一个适当的条件，使，则需要添加的条件是_________．15．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，连接MN，已知MN＝4，则BD＝_________．16．如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝___．17．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝21°，∠2＝30°，则∠3＝___．18．如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝53°，则∠AEB＝____．19．如图，在中，，分别以、为边在内部作等腰三角形、，点恰好在边上，使，，且，连接，，，的面积为，则的面积为__________．20．如图所示，，，，，，则的度数是______．21．两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接．一只蜗牛在爬行速度不变的情况下，从C爬到D所用的最短时间与它爬行线段__________所用的时间相同．（不要使用图形中未标注的字母）22．如图，在中，为线段上一动点(不与点重合)，连接作，且连接，当时，______________________度．23．如图，，，，且，则____24．在和中，，，，AC分别交BD，OB于点E，F．则________．25．如图，已知，，，、、在同一直线上，则的度数为__________.26．如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，则∠AEB=________.27．已知：如图，和为两个共直角顶点的等腰直角三角形，连接、．图中一定与线段相等的线段是__________．三、解答题28．如图所示，，，，求证：．29．如图，已知AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC．求证：∠B=∠E．30．如图，，，，则，请将下列说理过程补充完整．解：，=______+______．即=______．在和中，31．如图，在等腰三角形中，，，是边的中点，点在线段上从向运动，同时点在线段上从点向运动，速度都是1个单位/秒，时间是（），连接、、.（1）请判断形状，并证明你的结论.（2）以、、、四点组成的四边形面积是否发生变化？若不变，求出这个值：若变化，用含的式子表示.32．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，AC＝AD．求证：△ABC≌△AED．33．如图所示，AE=AC，AB=AD，∠EAB=∠CAD．求证：∠B=∠D．34．如图（1）已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内任意一点将AP绕点A顺时针旋转到AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，则BQ＝CP，请证明；若将点P移到等腰ABC之外，原题中其它条件不变，上面的结论是否成立？请说明理由．35．如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2．求证：△ABC≌△AED．参考答案1．A【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；C．∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，即∠ACB＝∠DCE，∵∠B＝∠E，AB＝DE，∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意；D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；故选：A．【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法——，，，．2．A解：∵∠1=∠2，∴∠ACD+∠2=∠ACD+∠1，即∠ACB=∠ECD．又∵BC=DC，AC=EC，∴△ABC≌△EDC（SAS）．故选A．【点拨】全等三角形的判定．3．A【分析】由三角形内角和定理可得∠B=∠C=34°，由△EBP≌△PCF可得∠EPB=∠PFC，再由三角形外角的性质便可解答；解：△BAC中，∠B=∠C，∠A=112°，则∠B=∠C=34°，△EBP和△PCF中：BE=CP，∠EBP=∠PCF，BP=CF，∴△EBP≌△PCF（SAS），∴∠EPB=∠PFC，∵∠BPF=∠EPB+∠EPF=∠C+∠PFC，∴∠EPF=∠C=34°，故选：A．【点拨】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质；掌握全等三角形的判定定理和性质是解题关键．4．C【分析】首先根据已知条件证明，再利用等腰三角形求角度即可．解：∵，∴，∴，在与中，∵，∴（SAS），∴，，∴，故选：C．【点拨】本题主要考查三角形全等的证明，利用已知条件进行证明是解题的关键．5．B【分析】先证△BAE≌△CAD，得出∠B=∠C，再证∠CFB=∠BAC=90°即可．解：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAE=∠CAD，在△BAE和△CAD中，,∴△BAE≌△CAD，∴∠B=∠C，∵∠BGA=∠CGF，∴∠CFB=∠BAC=90°,∴∠BFD=90°,故选：B．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是确定全等三角形并通过8字型导角求出度数．6．B【分析】先证△ABD≌△ACE，得∠ABD=∠2，利用外角性质，∠3=∠1+∠ABD，即可求出．解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠1=∠CAE，如图所示，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠1=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠2，∵∠1=24°，∠2=36°，，则∠3=∠1+∠ABD=∠1+∠2=60º．故选择B．【点拨】本题考查求角的度数问题，关键是证△ABD≌△ACE，外角性质．7．A【分析】如图，由可得，进而可根据SAS证明△ABD≌△ACE，于是得∠ABE=∠ACE，再根据三角形的内角和定理即得∠BEC=∠BAC，从而可得答案．解：∵，∴，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABE=∠ACE，∵∠AOB=∠COE，∴∠BEC=∠BAC=50°．故选：A．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．8．C【分析】和均为等边三角形，可得CA=CB，CD=CE，可证∠ACD=∠BCE，从而可证△ACD≌△BCE，得出∠DAC=∠EBC即可．解：∵和均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴ACD≌△BCE（SAS），∴∠EBC=∠DAC=∠CAE=25°，故选：C．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．9．A【分析】由△ABC和△BED都是等边三角形，得到DE=BD=BE=9，AB=BC=AC=10，∠EBD=∠ABC=60°，从而得到∠EBA=∠DBC，根据全等三角形判定方法可证△ABE≌△CBD，从而AE=CD，根据△ADE的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+DE，可求△ADE的周长．解：∵△ABC和△BED都是等边三角形，∴∠EBD=∠ABC=60°，DE=BD=BE=9，AB=BC=AC=10，∴∠EBA=∠EBD-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD，∴∠EBA=∠DBC，在△ABE和△CBD中，∵BE=BD，AB=BC，∠EBA=∠DBC，∴△ABE≌△CBD，∴AE=CD，∵△ADE的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+DE=10+9=19，∴△ADE的周长=19．故选：A．【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练运用等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质解决问题是本题的关键．10．A【分析】依题意设Q是AB的中点，连接DQ，先证得△AQD≌△AOE，得出QD=OE，根据点到直线的距离可知：当QD⊥BC时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥BC时的QD的值，即可求得线段OE的最小值.解：设Q是AB的中点，连接DQ，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC＝2，O为AC中点，∴∴AQ＝AO，在△AQD和△AOE中，，∴△AQD≌△AOE（SAS），∴QD＝OE，∵点D在直线BC上运动，∴当QD⊥BC时，QD最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∵QD⊥BC，∴△QBD是等腰直角三角形，∴∵QB＝AB＝1，∴∴线段OE的最小值是为；故选：A．【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是：作出辅助线构建全等三角形.11．C【分析】先证明△BDC≌△AEC，进而得到角的关系，再由∠EBD的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BDC和△AEC中，∵AC＝BC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△BDC≌△AEC（SAS），∴∠DBC＝∠EAC，∵∠EBD＝∠DBC＋∠EBC＝38°，∴∠EAC＋∠EBC＝38°，∴∠ABE＋∠EAB＝90°－38°＝52°，∴∠AEB＝180°－（∠ABE＋∠EAB）＝180°－52°＝128°，故答案为C．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，充分利用角的和差的转化关系进行求解是解题的关键．12．A【分析】根据题意结合图形证明△AFB≌△AEC；利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决．解：如图，∵∠EAF=∠BAC，∴∠BAF=∠CAE；在△AFB与△AEC中，，∴△AFB≌△AEC（SAS），∴BF=CE；∠ABF=∠ACE，∴A、F、B、C四点共圆，∴∠BFC=∠BAC=∠EAF；故①、②、③正确，④错误．故选A.．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．13．A解：试题分析：延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，在△BED与△CGD中，∵，∴△BED≌△CGD（SAS），∴CG=BE，ED=DG，又∵DE⊥DF∴FD是EG的垂直平分线，∴FG=EF∵GC+CF＞FG∴BE+CF＞EF故选A．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．三角形三边关系．14．【分析】由证明结合可得到添加：，即可得到答案．解：添加：理由如下：故答案为：．【点拨】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定是解题的关键．15．2【分析】延长BD到E，使DE=BD，连接AE，证明△ADE≌△CDB（SAS），可得AE=CB，∠EAD=∠BCD，再根据△ABM和△BCN是等腰直角三角形，证明△MBN≌△BAE，可得MN=BE，进而可得BD与MN的数量关系即可求解．解：如图，延长BD到E，使DE=BD，连接AE，∵点D是AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDB中，，∴△ADE≌△CDB（SAS），∴AE=CB，∠EAD=∠BCD，∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形，∴AB=BM，CB=NB，∠ABM=∠CBN=90°，∴BN=AE，又∠MBN+∠ABC=360°-90°-90°=180°，∵∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠MBN=∠BCA+∠BAC=∠EAD+∠BAC=∠BAE，在△MBN和△BAE中，，∴△MBN≌△BAE（SAS），∴MN=BE，∵BE=2BD，∴MN=2BD．又MN=4，∴BD=2，故答案为：2．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．16．120°【分析】先证明得到，再利用以及三角形的内角和定理、邻补角的性质可得答案．解：在与中，故答案为：【点拨】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质，邻补角的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．17．51°【分析】根据∠BAC=∠DAE通过角的计算即可得出∠1=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE即可证出△BAD≌△CAE（SAS），进而即可得出∠ABD=∠2=30°．再根据外角的性质即可得出∠3的度数．解：∵∠BAC=∠DAE，∠BAC=∠1+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∴∠1=∠CAE．在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠2=30°．∵∠3=∠1+∠ABD=21°+30°=51°．故答案为：51°．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及外角的性质，通过证明三角形全等找出∠ABD=∠2是解题的关键．18．【分析】先求出，再利用“”证明，进而得，从而得出，再利用三角形的内角和等于180°列式求出，然后再次利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．解：∵，∴，即，在和中，∴，∴，∵，∴，在中，，在中，．故答案为：．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．19．【分析】过点作于,根据已知条件证明，即可得，进而求得，根据已知的面积求得，进而求得，根据三角形全等的性质即可求得．解：如图，过点作于，,,即,又,,,，，,,,,,．故答案为：10【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，添加辅助线求得是解题的关键．20．58°【分析】根据角的和差可得∠1=∠EAC，然后利用SAS证明ΔBAD≌ΔCAE，得到∠ABD=∠2=30°，最后根据三角形外角的性质可得答案．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠1=∠EAC，在ΔBAD与ΔCAE中，，∴ΔBAD≌ΔCAE(SAS)，∴∠ABD=∠2=30°，∵，∴∠3=∠ABD+∠1=30°+28°=58°．故答案为：58°．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．21．【分析】根据全等三角形的判定及性质证明CD=BE即可得到结论．解：∵和是等腰直角三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴≌（SAS），∴．故答案为：BE．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．22．24【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠B=∠ACE，可证△ABC是等边三角形，可得∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，即可求解．解：∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE，∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∴∠BAC=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，∴△DAE是等边三角形，∴∠AED=60°，∴∠DEC=180°-36°-60°-60°=24°，故答案为：24．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明△ABC是等边三角形是解题的关键．23．140°【分析】先求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而求出，再利用三角形的内角和等于列式求出，然后再次利用三角形的内角和等于列式计算即可得解．解：，，即，在和中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），，在中，，在中，．故答案为：140°【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于整体思想的利用．24．【分析】利用SAS易证得，推出，根据三角形内角和定理即可求解．解：，，即．在和中，，，．，．故答案为：．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是能得出：．25．##50度【分析】由已知条件可证明△ABD≌△ACE，可知∠ABD=∠ACE，在等腰△ADE中可求得∠ADE，利用外角的性质可求得∠BAD+∠ABD，在△ACE中利用三角形内角和可求得∠BEC．解：∵∠BAC=∠DAE=50°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE，∵AD=AE，∠DAE=50°，∴∠ADE=∠AED=65°，∵∠BAD+∠ABD=∠ADE，∴∠CAE+∠ACE=∠ADE=65°，在△ACE中，∠BEC=180°-∠AEC-（∠CAE+∠ACE）=180°-65°-65°=50°，故答案为：50°．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性质（即全等三角形的对应角相等、对应边相等）是解题的关键．26．128°【分析】先证明△BDC≌△AEC，进而得到角的关系，再由∠EBD的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BDC和△AEC中，∵AC＝BC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△BDC≌△AEC（SAS），∴∠DBC＝∠EAC，∵∠EBD＝∠DBC＋∠EBC＝38°，∴∠EAC＋∠EBC＝38°，∴∠ABE＋∠EAB＝90°－38°＝52°，∴∠AEB＝180°－（∠ABE＋∠EAB）＝180°－52°＝128°，故答案为128°．【点拨】本题目主要考查全等三角形的判定和性质，关键是充分利用角的和差的转化关系进行求解．27．BE解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC－∠BAD=∠DAE－∠BAD，∴∠DAC=∠BAE，∵在△CAD和△BAE中，，∴△CAD≌△BAE，∴CD=BE.故答案为BE.【点拨】本题关键在于掌握三角形全等的判定方法.28．见分析【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC．解：∵，∴．∴，在与中，∴(SAS)．【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．29．证明见分析．【分析】先证明再结合已知证明即可得到答案．解：∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，∴∠BAC=∠EAD，在与中，，∴（SAS），∴∠B=∠E．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．30．∠CAE，∠DAC，∠DAE，AD，∠DAE，已知，SAS．【分析】根据等式的性质求出∠BAC=∠DAE，根据AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE推出△ABC≌△ADE即可．解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．∵在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE(SAS)．故答案为：∠CAE，∠DAC，∠DAE，AD，∠DAE，(已知)，(SAS)．【点拨】本题考查了等式的性质和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．31．（1）为等腰直角三角形，见分析；（2）不变，9【分析】⑴连结AD,由SAS定理可证和全等，从而可证,DF=DE.所以为等腰直角三角形.⑵由割补法可知四边形AEDF的面积不变，利用三角形的面积公式求出答案.解：（1）为等腰直角三角形，理由如下：连接，∵，，为中点