《解直角三角形及其应用（第3课时）》导学案2

5/5解直角三角形的应用(3)1．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案．2．如图，已知一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距()．A．25海里 B．30海里C．35海里 D．40海里答案：D1．作三角形的高构造两个直角三角形解决实际问题【例1】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为66m，则这栋高楼有多高？(结果精确到0.1m，参考数据：eq\r(3)≈1.73)分析：过点A作AD⊥BC，构造出两个Rt△ADB和Rt△ADC．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．根据题意，可得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=66m.在Rt△ADB中，由tan∠BAD=，得BD＝AD·tan∠BAD＝66×tan30°＝66×eq\f(\r(3),3)＝22eq\r(3)(m)．在Rt△ADC中，由tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，得CD＝AD·tan∠CAD＝66×tan60°＝66×eq\r(3)＝66eq\r(3)(m)．∴BC＝BD＋CD＝22eq\r(3)＋66eq\r(3)＝88eq\r(3)≈152.2(m)．答：这栋楼高约为152.2m.对于复杂的三角形，通常作辅助线，将已知条件与所解决的问题联系在两个直角三角形中．2．作垂线构造两个重叠的直角三角形解决实际问题【例2】某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距3m，探测线与地面的夹角分别是30°和60°(如图)，试确定生命所在点C的深度．(结果精确到0.1m，参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)分析：生命所在点C的深度就是点C距地面的距离，过点C作CD⊥AB交AB于D，构造出Rt△BDC和Rt△ADC．解：如图，过点C作CD⊥AB交AB于D，∵探测线与地面的夹角为30°或60°，∴∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.在Rt△BDC中，tan60°＝eq\f(CD,BD)，∴BD＝eq\f(CD,tan60°)＝eq\f(CD,\r(3)).在Rt△ADC中，tan30°＝eq\f(CD,AD)，∴AD＝eq\f(CD,tan30°)＝eq\f(3CD,\r(3)).∵AB＝AD－DB＝3，∴eq\f(3CD,\r(3))－eq\f(CD,\r(3))＝3.∴CD＝eq\f(3\r(3),2)≈eq\f(3×1.73,2)≈2.6(m)．∴生命所在点C的深度约为2.6m.归纳本题可以得出这类问题的通用方法，在下图所示的一个基本图形中，x=.1．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是()．A．250m B．250eq\r(3)mC．eq\f(500,3)eq\r(3)m D．250eq\r(2)m答案：A2．如图，两建筑物水平距离为32m，从点A测得对点C的俯角为30°，对点D的俯角为45°，则建筑物CD的高约为()．A．14m B．17m C．20m D．22m解析：过点A作AE⊥CD，交DC的延长线于E，分别解Rt△ACE和Rt△ADE，即得结果CD的高约为14m.答案：A3．如图，一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P的南偏西30°方向，距离灯塔120海里的M处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N处，则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是__________海里/时．答案：304．如图所示，某学校拟建两幢平行的教学楼，现设计两楼相距30m，从A点看C点，仰角为5°；从A点看D点，俯角为30°，解决下列问题：(1)两幢楼分别高多少米？(结果精确到1m)(2)若冬日上午9：00太阳光的入射角最低为30°(光线与水平线的夹角)，问一号楼的光照是否会有影响？请说明理由；若有，则两楼间距离应至少相距多少米时才会消除这种影响？(结果精确到1m)(参考数据：tan5°≈0.0875，tan30°≈0.5774，cos30°≈1.732)解：(1)1号楼高：AB＝BD·tan30°≈30×0.5774≈17(m)；2号楼高：CD＝30×tan30°＋30×tan5°≈20(m)．(2)有影响．BD＝CD÷tan30°≈20÷0.5774≈35(m)，所以两楼间距离应至少相距35m时才会消除这种影响．5．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5m，看旗杆顶部M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B，N，D在同一条直线上)．请求出旗杆MN的高度．(参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7，结果保留整数)解：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，则EF＝AB－CD＝1.7－1.5＝0.2(m)．在Rt△AEM中，∠AEM＝90°，∠MAE＝45°，∴AE＝ME.设AE