15.4 等腰三角形 教案 沪科版数学八年级上册

15.4等腰三角形1.能说出等腰三角形、等边三角形的性质和判定定理，能够灵活运用它们进行论证和计算.2.掌握“直角三角形中30°锐角所对边等于斜边的一半”，并能运用其进行论证和计算.1.等腰、等边三角形的性质.2.等腰、等边三角形的判定及应用.1.三边分别相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS”.2.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简记为“角角边”或“AAS”.3.三角形的内角和等于180°，一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.知识点一等腰、等边三角形的性质1.等腰三角形的性质：性质1：等腰三角形的两底角相等.简称“等边对等角”.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，简称“三线合一”.2.等边三角形的性质：性质1：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.性质2：等边三角形每个内角的平分线和对边上的中线、对边上的高相互重合，即“三线合一”.特别提示：（1）等腰三角形不仅具有一般三角形的所有性质，而且它还是轴对称图形，有1条或3条对称轴，对称轴是底边中线（底边上的高、顶角平分线）所在的直线.（2）由等腰三角形的性质可以得到相等的线段、相等的角、两线段之间的位置关系.（3）在利用等腰三角形“三线合一”性质解题时，要学会挖掘题目中的隐含条件，即要做到“知一晓二”.具体地说，如图，在△ABC中，已知AB＝AC.若AD⊥BC于点D，则BD＝DC，AD平分∠BAC；若BD＝DC，则AD⊥BC，AD平分∠BAC；若AD平分∠BAC交BC于点D，则AD⊥BC，BD＝DC.（4）等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴，其对称轴就是各边的垂直平分线.（5）等边三角形是特殊的等腰三角形，因而等边三角形具有等腰三角形的一切性质.【例1－1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，则∠A＝.【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠A＝180°－40°－40°＝100°.【解】100°【迷津指点】已知等腰三角形底角的度数是m°，则其顶角的度数是180°－2m°；已知等腰三角形顶角的度数是n°，则其底角的度数是12（180°－n°）＝90°－12n【例1－2】如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.【解析】本题考查等边三角形和直角三角形的性质.利用“等边三角形边上的中线、高和顶角平分线三线合一”和直角三角形的性质证明即可.【解】∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠CBE＝90°－∠C，∠CAD＝90°－∠C，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBE＝∠BAD.知识点二等腰、等边三角形的判定1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”.2.等边三角形的判定定理：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.【例2】如图所示，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则对△ADE的形状最准确的判断是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定【解析】本题考查等边三角形的性质和判定的综合应用.由△ABC是等边三角形可知CA＝BA，又因为∠2＝∠1，CD＝BE，所以△ACD≌△ABE（SAS），所以AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°，所以△ADE是等边三角形.【答案】B【迷津指点】判断一个三角形为等边三角形最常用的方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.知识点三含30°角的直角三角形的性质定理定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.特别提示：这个定理是证明线段之间的数量关系的一种重要方法.教材是利用构造等边三角形来证明这个定理的.该定理的证明也可以采用在AB上取一点D，使DC＝DA；或在AB上截取BD＝BC，连接CD，经过推理从而得到结论（如图），具体的证明过程希望同学们自己完成.【例3】一艘轮船由南向北以15nmile/h的速度向前航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上.已知在小岛P周围18nmile内有暗礁，若轮船仍以15nmile/h的速度向前航行，有无触礁的危险？【解析】画出示意图，由条件可证明AB＝BP，过点P作PC⊥AB，可得PC＝12PB【解】如图，根据题意画出图形，则AB＝15×2＝30（nmile）.过点P作PC⊥AB的延长线于点C.由题中分别在A，B两点测得的方位角可知，∠PAB＝15°，∠PBC＝30°，∴∠APB＝∠PBC－∠PAB＝30°－15°＝15°，∴PB＝AB＝30（nmile）.在Rt△BCP中，∵∠PBC＝30°，∴PC＝12PB＝15（nmile即点C距小岛P的距离只有15nmile，而小岛周围18nmile内有暗礁，故该船继续向北航行有触礁的危险.【迷津指点】解此类问题，首先应正确画出图形，构建三角形模型.然后将实际问题转化成数学问题，并运用含30°的直角三角形的性质解题.【例1】若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为.【解析】当该角为顶角时，顶角为50°；当该角为底角时，顶角为80°，故其顶角为50°或80°.【解】50°或80°【迷津指点】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理.若题目中没有明确所给的角度是顶角还是底角的度数，则做题时要注意分情况进行讨论.【例2】由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，因此小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图①，衣架杆OA＝OB＝18cm.若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是cm.【解析】∵OA＝OB＝18cm，图②中∠AOB＝60°，∴此时△ABC是等边三角形.∴此时A，B两点之间的距离是18cm.【解】18【例3】如图所示，AOB是一个钢架，且∠AOB＝10°，为使钢架更坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，….若添加的钢管长度均与OE相等，则最多能添加这样的钢管根.【解析】因为添加的钢管长度都与OE相等，所以△OEF，△EFG，△FGH，△GHM，…都是等腰三角形.因为∠AOB＝10°，利用三角形外角的性质可得上述等腰三角形的底角依次为10°，20°，30°，40°，….当钢管添加到使等腰三角形底角是80°时，便不能再添加，这样一共能添加8根钢管.【解】8【迷津指点】本题灵活运用三角形的外角和等腰三角形的性质，使复杂问题变得简单.找到每个等腰三角形底角的变化规律是解决本题的关键.【例4】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝cm.【解析】如图所示，延长AD交BC于点M.由AB＝AC，AD是∠BAC的平分线可得AM⊥BC，BM＝MC＝12BC，延长ED交BC于点N，则△BEN是等边三角形，故EN＝BN＝BE＝6cm，∴ND＝6－2＝4（cm）.在Rt△DMN中，∵∠MDN＝30°，∴MN＝12DN＝2cm，∴BM＝6－2＝4（cm），∴BC＝2BM＝【解】8【迷津指点】本题巧妙地将等腰三角形的性质、等边三角形的判定及含30°锐角的直角三角形的性质融为一体.作出如图所示的辅助线是解题的关键.【例5】如图是某房子屋顶框架的示意图，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°.求∠B，∠C和∠BAD的度数.【解析】由AB＝AC可知△ABC是等腰三角形，等腰三角形底边上的高与顶角的平分线重合.根据AD⊥BC，可得AD平分∠BAC，进一步可以求到各角的度数.【解】在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝12×（180°－120°）＝30°又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝12∠BAC＝60°【迷津指点】此题考查了等腰三角形的“三线合一”性质，在运用此性质时，只要已知等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线三者中的任一条件，都可得出其他的两个结论，但千万别忘了使用“三线合一”的前提是“等腰三角形”.【例6】如图①，O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.（1）求∠AEB的度数；（2）如图②，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的度数.【解析】等边三角形OAB和等边三角形OCD是全等三角形，可以得出相等的线段、相等的角，再结合三角形外角的性质可以求出∠AEB的大小.【解】（1）∵△OCD和△OAB都是等边三角形，且O是线段AD的中点，∴OD＝OC＝OB＝OA，∠AOB＝∠DOC＝60°.又∵∠OBD＋∠ODB＝∠AOB＝60°，∴∠OBD＝∠ODB＝30°.同理可得∠OAC＝30°，∴∠AEB＝∠OAC＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.（2）如图，∵△OCD和△OAB都是等边三角形，∴OD＝OC，OB＝OA，∠1＝∠2＝60°.又∵OD＝OA，∴OD＝OB，OA＝OC，∴∠4＝∠5，∠6＝∠7.∵∠DOB＝∠1＋∠3，∠