《高等几何》全套教学课件

高等几何全套可编辑PPT课件本课件是可编辑的正常PPT课件课程概论一、高等几何的内容高等几何数学类专业主干基础课课程之一前三高数学分析高等代数高等几何后三高实变函数近世代数点集拓扑高等几何射影几何几何基础……本课程主要介绍平面射影几何知识(教材前四章)综合大学：空间解几＋仿射几何、射影几何,一个学期本课件是可编辑的正常PPT课件课程概论一、高等几何的内容什么是射影几何？直观描述欧氏几何仿射几何射影几何十九世纪名言一切几何学都是射影几何鸟瞰下列几何学本课件是可编辑的正常PPT课件欧氏几何(初等几何)搬动正交变换对图形作有限次的平移、旋转、轴反射欧氏几何研究图形的正交变换不变性的科学(统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数量本课件是可编辑的正常PPT课件仿射几何平行射影仿射变换仿射几何研究图形的仿射变换不变性的科学透视仿射变换有限次平行射影的结果仿射不变性比如——平行性、两平行线段的比等等本课件是可编辑的正常PPT课件射影几何中心射影射影变换射影几何研究图形的射影变换不变性的科学透视变换有限次中心射影的结果射影不变性比如——几条直线共点、几个点共线、交比等等射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！本课件是可编辑的正常PPT课件课程概论一、高等几何的内容二、高等几何的方法综合法给定公理系统(一套相互独立、无矛盾、完备的命题系统)，演绎出全部内容解析法形、数结合，利用代数、分析的方法研究问题本课程以解析法为主，兼用综合法本课件是可编辑的正常PPT课件课程概论一、高等几何的内容二、高等几何的与方法三、开课目的

学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想

训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养

新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他学科，提高观点，加深理解，举一反三本课件是可编辑的正常PPT课件课程概论四、计划及注意点

计划：周学时5,一个学期,第1～第4章;(第5章：自学阅读材料)本课程代数角度几何角度三维线性空间的商空间上的几何学亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学其他课程无可替代的数学思想与方法一、高等几何的内容二、高等几何的与方法三、开课目的

真正的大学课程教学模式本课件是可编辑的正常PPT课件课程概论四、计划及注意点注意2：把好入门关,牢固掌握基本概念,反复思考,认真体会线性代数+“齐次性”

注意1：必须充分预习,学会主动听课,主动学习,主张研究性学习

课前：预习将要讲到的内容,记录体会,提出问题

计划：周学时5,一个学期,第1～第4章;(第5章：自学阅读材料)

课中：带着问题听课,适当做笔记

课后：再次读书,整理笔记;做题、反思、及时总结;不懂即问

大力提倡：独立思考+交流讨论本课件是可编辑的正常PPT课件课程概论四、计划及注意点

注意3：讲课速度

计划：周学时5,一个学期,第1～第4章;(第5章：自学阅读材料)本课件是可编辑的正常PPT课件课程概论一、高等几何的内容二、高等几何的与方法三、开课目的四、计划及注意点注意4：课程学习成绩计算办法约定:交、发作业时间:每周上第一次课时本课件是可编辑的正常PPT课件特别约定

1、本课程的课堂内，手机一律关闭。

2、必须提前10分钟到达教室，不得在课堂内吃东西。

适用于师生双方，请相互监督。本课件是可编辑的正常PPT课件今天作业温习课堂内容,预习1.1节Theclassisover.Goodbye!课程概论本课件是可编辑的正常PPT课件一、对应与变换1.集合之间的关系

定义1.1集合A,B的笛卡儿积:§1.1引论全体有序偶(配对)(a,b)的集合.特别地,A

A=A2.

定义1.2集合A到B的一个关系:为集合A

B的一个子集.理解集合的途径之一——Venn图163本课件是可编辑的正常PPT课件一、对应与变换1.集合之间的关系

定义1.2'设A,B为两个集合,f

是一种将A的元素与B的元素配对的法则.则称f

为集合A到B的一个关系,记作设在f

下A中的元素a配对为B中的元素b.则称b为a在f下的一个像,称a为b在f下的一个原像,或者说a是b在逆关系f

1

下的像,即有§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件一、对应与变换2.关系的乘积(复合)

定义1.3

设f

为集合A到B的一个关系,g

为集合B到C的一个关系.则由此可确定集合A到C的一个关系h,称h

为f与g的乘积.记作g◦f,即

注：(教材上的定义更精确)设f

A

B,g

B

C.则§1.1引论关系的乘法满足结合律,但是一般不满足交换律.本课件是可编辑的正常PPT课件一、对应与变换3.等价关系

定义1.4设f

为集合A到自身的一个关系.如果

(1)若

a

A,都有(a,a)f,则称f为自反的,或称f具有反身性.(2)若(a,b)f,就必有(b,a)f,则称f为对称的,或称f具有对称性.(3)若(a,b)f且(b,c)f,就必有(a,c)f,则称f为传递的,或称f具有传递性.

若f同时满足上述3条,则称f为A上的一个等价关系.

A上的一个等价关系必将A的元素分成等价类.§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件一、对应与变换4.集合之间的对应(函数、映射)

定义1.5设f

为集合A到B的一个关系.如果对于集合A中的每一个元素,f都唯一地指定集合B中的一个元素与之配对,则称f

为从集合A到B的一个对应(或映射,函数).在f

下A中的元素a对应于B中的元素b的事实常记为或者§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件一、对应与变换

定义1.6设f

为集合A到B的一个对应.如果对于集合A中的元素a

b,都有f(a)

f(b),则称f

为单射(injection),也称f

为从A到B内的对应.

定义1.7设f

为集合A到B的一个对应.如果集合B中的每一个元素都是A中某个元素的像,则称f

为满射(surjection),也称f

为从A到B上的对应.§1.1引论4.集合之间的对应(函数、映射)本课件是可编辑的正常PPT课件一、对应与变换

定义1.8设f

为集合A到B的一个对应.如果f既是单射又是满射,则称f

为一个双射(bijection),也称f

为一个一一对应.

注：在几何学中,我们一般需要的对应都是双射.§1.1引论4.集合之间的对应(函数、映射)本课件是可编辑的正常PPT课件一、对应与变换5.变换

定义1.9集合A到自身的对应f

称为变换,若f

是双射,则称f

为集合A上的一个一一变换.

若集合A上的一个变换将A的每一个元素变为其自身,则称之为集合A上的一个恒同变换,记作i.于是,

a

A,i(a)=a.§1.1引论

定理1.1对于集合A上的一一变换,下列结论成立.(1)两个一一变换的乘积是一个一一变换.(2)恒同变换i是一个一一变换.(3)任意一个一一变换f的逆变换f

1存在,f

1也是一个一一变换,且ff

1=f

1f=i.本课件是可编辑的正常PPT课件一、对应与变换6.归纳

定义1.10设f为定义于集合A上的某种一一变换.若存在a

A,满足f(a)=a,则称a为f

的一个不变元素.设P为集合A中的元素或子集所带有的某种性质(或数量),若变换f

能够保持P不变,则称P为变换f

的一个不变性质(或数量),f

的不变性质和数量统称为f

的不变性.

归纳：高等几何将用几何变换的观点讨论问题,主要是研究几何空间中的图形在某种双射(一一变换)下的不变性.类似于代数中对同构的讨论.§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件一、对应与变换二、正交变换解几中的坐标变换

平面上的点、图形均不改变其位置,但是随着坐标系的变动而取得不同的坐标,或得到不同的描述,研究其间的关系.改变观点平面上的点变换

在平面上点的集合上给定某种双射(一一变换)f,研究点以及由点构成的图形与他们在f

下的像之间的关系.坐标系运动而点和图形不动点和图形运动而坐标系不动§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件二、正交变换§1.1引论坐标变换点变换本课件是可编辑的正常PPT课件二、正交变换1.正交变换

定义1.11保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平面上的一个正交变换.

定理1.2

正交变换是双射.设M表示平面上全体正交变换的集合.则有

(1)

,

M,有

M.(2)恒同变换i

M.(3)

M,存在

1

M,满足

1=

1

=i.

注：设

为平面上的一个正交变换,A,B为平面上两个点,且

(A)=A',

(B)=B',则|AB|=|A'B'|.§1.1引论上述性质使得M对于变换的乘法构成一个群,叫做正交变换群.本课件是可编辑的正常PPT课件二、正交变换1.正交变换

定理1.3

正交变换使平面上共线三点变成共线三点;不共线三点变成不共线三点,而且保持两直线的夹角不变.

证明设A,B,C为平面上三点,

为正交变换,且上述三点在

下的像依次为A',B',C'.

若A,B,C共线且B在A,C之间,则有|AB|+|BC|=|AC|.由正交变换的定义有即A',B',C'仍然为共线三点且B'在A',C'之间.

若A,B,C不共线,则必有即A',B',C'仍然为不共线三点.§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件二、正交变换1.正交变换

定理1.3

正交变换使平面上共线三点变成共线三点;不共线三点变成不共线三点,而且保持两直线的夹角不变.

证明设A,B,C为平面上三点,

为正交变换,且上述三点在

下的像依次为A',B',C'.

设A,C分别在

B两边上且异于B,则A',B'分别在

B'的两边上.且|AB|=|A'B'|,|BC|=|B'C'|,|AC|=|A'C'|.即

ABC

A'B'C',于是,

B=

B',即正交变换保持两直线的夹角不变.

推论1.1(1)正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形.进而,正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形,使得任何平面图形变为可以与其叠合(合同)的图形.(2)正交变换使得平行直线变为平行直线,矩形变为与之全等的矩形.§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件二、正交变换1.正交变换

推论1.2

正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系.

正交变换

将平面上的一个直角坐标系O-exey变为另一个直角坐标系O'-e'xe'y,有下述可能右手系→右手系右手系→左手系§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件二、正交变换1.正交变换

定理1.4对于平面上的一个取定的直角坐标系,点变换

是正交变换

具有表达式

其中(x,y)与(x',y')为

的任一对对应点P,P'的坐标,矩阵

注1：对于正交变换

的矩阵A,显然有A

1=AT,且|A|=

1.

当|A|=1时,

将右手系变为右手系,称

为第一类正交变换；当|A|=

1时,

将右手系变为左手系,称

为第二类正交变换.§1.1引论

注2：正交变换(1.1)在形式上与平面解析几何中的直角坐标变换式完全相同.按相对运动观点,坐标变换也是正交变换.本课件是可编辑的正常PPT课件二、正交变换1.正交变换§1.1引论所以,OP'=O'P'+OO',即(x',y')=xe'x+ye'y+(a13,a23)=x(a11,a21)+y(a12,a22)+(a13,a23)=(a11x+a12y+a13,a21x+a22y+a23).即得(1.1)式.

注:还需证明(1.1)保持平面上两点间的距离不变.见习题6.本课件是可编辑的正常PPT课件二、正交变换(1).平移变换

定义1.12将平面上的每个点都向着同一个方向移动相同的距离的变换称为平面上的一个平移变换,简称平移.

定理1.5

设在平面上取定了一个笛氏直角坐标系O-exey,并给定一个向量c(a13,a23).则由此可惟一确定平面上的一个平移

,其直角坐标表示为其中(x,y)与(x',y')为平面上任一点P与其在

下的像点P'的坐标.

注：显然,平移是正交变换.2.正交变换特例§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件二、正交变换

定义1.13将平面上的每个点都绕着同一个点旋转相同的角度的变换称为平面上的一个旋转变换,简称旋转.(2).旋转变换

定理1.6设旋转

使得平面上的每个点都绕着坐标原点O旋转角度

,则

的直角坐标表示为

证明设|OP|=|OP'|=r.则利用三角恒等式展开,可得§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件二、正交变换(1).平移变换(2).旋转变换

注：显然,旋转变换是正交变换.

定理1.7平面上的一个平移与一个旋转的乘积是一个第一类正交变换.进而,平面上有限多个平移与旋转的乘积是一个第一类正交变换.第一类正交变换称为平面上的刚体运动.(3).轴反射变换

如右图,怎样的变换可以使得

ABC

重合于

A'B'C'?仅平移或旋转是不可能的.§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件二、正交变换(1).平移变换(2).旋转变换(3).轴反射变换

定义1.14设l为平面上取定的一条直线.将平面上的每个点都变为关于l的对称点的变换称为平面上的一个轴反射变换,简称轴反射,直线l称为反射轴.关于y轴的轴反射变换为

注1：显然,轴反射是一个第二类正交变换.

注2：应用轴反射(1.5)于上述平面,即可将

ABC变为

A'B'C'.§1.1引论

定理1.8关于x轴的轴反射变换为本课件是可编辑的正常PPT课件二、正交变换(1).平移变换(2).旋转变换(3).轴反射变换

定理1.9平面上的一个轴反射与一个第一类正交变换的乘积是一个第二类正交变换.

从而,平面上一个点变换

是正交变换

可表示为有限次平移、旋转与轴反射的乘积.

归纳：以几何变换的观点看待欧氏几何.欧氏几何就是研究在正交变换群M的作用下保持不变的几何量和几何性质,即所有与距离有关的几何量和几何性质.§1.1引论2.正交变换特例本课件是可编辑的正常PPT课件今天作业P.13,3预习§1.2Theclassisover.Goodbye!§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件三、相似变换§1.1引论

定义1.15设P1,P2,P为平面

上共线三点,记(P1P2P)表示这三点构成的一个简单比(单比,仿射比),定义为

注：(P1P2P)表示一个数,是有向线段P1P与P2P的比值,与解几中的定比分点反号.P1,P2称为基点,P称为分点.1.共线三点的简单比2.位似变换

定义1.16设O为

上取定的一点,

为

上的一个点变换.满足

(1)

(O)

O,(2)对于O

P

,

(P)

P',则P'在OP上,且(P'PO)=k(k

0),则

称为

上的一个以O为位似中心,k为位似比的位似变换.本课件是可编辑的正常PPT课件三、相似变换§1.1引论2.位似变换

定义1.16设O为

上取定的一点,

为

上的一个点变换.满足

(1)

(O)

O,(2)对于O

P

,

(P)

P',则P'在OP上,且(P'PO)

k(k

0),则

称为

上的一个以O为位似中心,k为位似比的位似变换.

注1.位似变换的对应点连线经过定点(位似中心).注2.位似变换保持共线三点的简单比不变.注3.位似变换使得直线(不过O)变为其平行直线.注4.位似变换使得任意一对对应线段的比值等于位似比k.本课件是可编辑的正常PPT课件三、相似变换§1.1引论

定理1.10

设在平面

上取定了一个笛氏直角坐标系O-exey,k

0为任意实常数.则

上的一个点变换

是以O为位似中心,k为位似比的位似变换

可表示为其中(x,y)与(x',y')为平面

上任一点P与其在

下的像点P'的坐标.

注.

如果位似中心的坐标为(a13,a23),则在(1.8)中添加常数项(a13,a23).于是,一个一般的位似变换是一个以原点为中心的位似与一个平移的积.当位似比k

1时,即为平移,所以,平移是特殊的位似.2.位似变换本课件是可编辑的正常PPT课件三、相似变换§1.1引论3.相似变换

定义1.17

设

为

上的一个点变换,P,Q为

上任意相异二点,

(P)P',

(Q)Q'.满足则称

为

上的一个以k为相似比的相似变换.注1.相似变换保持共线三点的简单比不变.注2.相似变换使得任意图形变成其相似图形;使平行直线变为平行直线.注3.相似变换保持任意两条线段的比值不变.从而保持两直线夹角不变.注4.正交变换、位似变换都是相似变换的特例.本课件是可编辑的正常PPT课件三、相似变换§1.1引论3.相似变换

定理1.11相似变换是双射.设S表示平面上全体相似变换的集合.则有

(1)

,

S,有

S.(2)恒同变换i

S.(3)

S,存在

1

S,满足

1=

1

i.

注显然,位似变换不具有上述性质.上述性质使得S对于变换的乘法构成一个群,叫做相似变换群.而且M

S.本课件是可编辑的正常PPT课件三、仿射变换1.透视仿射对应

定义1.19对于空间中两平面

,

',给定一个与两平面不平行的投射方向,则确定了

到

'的一个透视仿射对应(平行投影).

上任一点P在

'上的像即为过P且平行于投射方向的直线与

'的交点P'.

注1透视仿射对应是两平面的点集之间的一个双射.

透视仿射对应使共线点变为共线点,不共线点变为不共线点,平行直线变为平行直线；透视仿射对应保持共线三点的简单比不变,从而保持两平行线段的比值不变,但是不能保持距离、角度不变.

注2两平面交线称为透视仿射的轴.若

//

'则没有轴.§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件四、仿射变换2.仿射变换

定义1.20

对于空间中一组平面

,

1,

2,…,

n,

',设以下对应均为透视仿射对应：则称这n个透视仿射的积

为

到

'的一个仿射对应.若

'

,则称

为平面

上的一个仿射变换.

注1仿射变换是平面上的一个双射.2仿射变换使共线点变为共线点,不共线点变为不共线点,平行直线变为平行直线；

3仿射变换保持共线三点的简单比不变,从而保持两平行线段的比值不变,但是不能保持距离、角度不变.§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件四、仿射变换2.仿射变换§1.1引论

定义1.21设

为平面

上的一个点变换,满足

(1)

为一个使共线点变为共线点的双射；

(2)

使得共线三点的简单比等于其对应共线三点的简单比；

(3)

使得相互平行的直线变为相互平行的直线,则称

为

上的一个仿射变换.

定理1.13仿射变换是双射.设A表示平面上全体仿射变换的集合.则有

(1)

,

A,有

A.(2)恒同变换i

A.(3)

S,存在

1

A,满足

1

1

i.上述性质使得A对于变换的乘法构成一个群,叫做仿射变换群.而且M

S

A.

注正交变换,相似变换是特殊的仿射变换.本课件是可编辑的正常PPT课件四、仿射变换3.仿射坐标系

定义1.18

设在平面上取定一点O和以O为起点的两个线性无关向量ex,ey,则由此构成平面上一个仿射坐标系(或仿射坐标架),记作O-exey.平面上任一点P的仿射坐标(x,y)由下式惟一确定,反之,对任意给定的有序实数组(x,y),由(1.12)式可惟一确定仿射平面上的一个点具有坐标(x,y).建立了仿射坐标系的平面称为仿射平面,ex,ey称为基向量.

注若ex,ey为单位正交向量(即为标准正交基),则O-exey成为笛卡儿直角坐标系.§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件四、仿射变换3.仿射坐标系

定理1.15

设在平面

上取定了一个仿射坐标系O-exey,点变换

为

上的一个仿射变换

有表达式其中(x,y)与(x',y')为任一对对应点P,P'的坐标,矩阵满足|A|

0,称为仿射变换

的矩阵.平面仿射几何就是研究在仿射变换群A的作用下保持不变的几何性质与几何量.由定义1.21,这些不变的性质和数量必定只与平行性、共线三点的简单比有关.§1.1引论

定理1.14平面

上的仿射变换

将一个仿射坐标系O-exey变为另一个仿射坐标系O'-e'xe'y.本课件是可编辑的正常PPT课件五、体会归纳1.关系、对应、双射、变换、一一变换2.基本的几何变换实例正交变换相似变换仿射变换3.上述几何变换的三种定义方法§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件五、体会归纳3.上述几何变换的三种定义方法正交变换(1)直观的定义平面上有限次平移、旋转、轴反射的乘积.(2)利用几何特征性质的定义平面上保持任两点间距离不变的一一点变换.(3)代数(解析)的定义在平面上取定直角坐标系,如下点变换为正交变换§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件五、体会归纳3.上述几何变换的三种定义方法相似变换(1)直观的定义平面上的位似变换与正交变换的乘积.(2)利用几何特征性质的定义平面上保持任两线段的比值不变的一一点变换.(3)代数(解析)的定义在平面上取定直角坐标系,如下点变换为相似变换§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件五、体会归纳3.上述几何变换的三种定义方法仿射变换(1)直观的定义平面上有限次透视仿射变换(平行投影)的乘积.(2)利用几何特征性质的定义平面上保持任意共线三点的简单比和直线的平行性不变的点变换.(3)代数(解析)的定义在平面上取定仿射(或直角)坐标系,如下点变换为仿射变换§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件五、体会归纳3.上述几何变换的三种定义方法对于平面上取定的直角坐标系,如下点变换

{A为非异矩阵A为正交矩阵存在k

0,A可化为k乘以一个正交阵,则

为仿射变换相似变换.正交变换§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件今天作业P.132,5Theclassisover.Goodbye!§1.1引论本课件是可编辑的正常PPT课件§

1.2拓广平面一、中心射影1、平面上两直线间的中心射影定义1.22因此，

–1:l'→l是l'到l的中心射影.OP投射线P'l上的点P在l'上的像Pl'

上的点P'在l上的像OV'//l,与l不相交，

V'为l'上的影消点影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射!X=l

l'

自对应点OU//l',与l'不相交，

U为l上的影消点三个特殊的点：O

投射中心(O

l

l')

给定不同的O,则决定不同的中心射影.本课件是可编辑的正常PPT课件§

1.2拓广平面一、中心射影2、平面到平面的中心射影定义1.23OP投射线P'

上的点P在

'上的像P

'上的点P'在

上的像因此,

1:'

是

'到

的中心射影.x=

'自对应直线三条特殊的直线：u

,U

u,OU//',u为由影消点构成的影消线v'

',

V'

v',OV'//

',v'为由影消点构成的影消线影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射!O

投射中心(O

')

给定不同的O,则决定不同的中心射影.本课件是可编辑的正常PPT课件§

1.2拓广平面一、中心射影1、平面上两直线间的中心射影定义1.222、平面到平面的中心射影定义1.23}均不是双射中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线

存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点如何使得中心射影成为一个双射？给平行线添加交点！本课件是可编辑的正常PPT课件一、中心射影二、无穷远元素目标：改造空间，使得中心射影成为双射途径：给平行直线添加交点要求：不破坏下列两个基本关系两条相异直线确定唯一一个点(交点)两个相异点确定唯一一条直线(连线)}点与直线的关联关系§

1.2拓广平面本课件是可编辑的正常PPT课件§

1.2拓广平面二、无穷远元素

约定1.1(1)在每一条直线上添加唯一一个点，此点不是该直线上原有的点.称为无穷远点(理想点)，记作P

.

(2)相互平行的直线上添加的无穷远点相同,不平行的直线上添加的无穷远点不同.区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P,…

约定1.1(3)按约定(1),(2)添加无穷远点之后，平面上全体无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l

.区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l

总结

在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的关联关系，同时使得中心射影成为双射.本课件是可编辑的正常PPT课件§

1.2拓广平面二、无穷远元素

约定1.1(1)在每一条直线上添加唯一一个点，此点不是该直线上原有的点.称为无穷远点(理想点)，记作P

.

(2)相互平行的直线上添加的无穷远点相同,不平行的直线上添加的无穷远点不同.区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P,…

约定1.1(3)按约定(1),(2)添加无穷远点之后，平面上全体无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l

.区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l

总结

在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的关联关系，同时使得中心射影成为双射.本课件是可编辑的正常PPT课件§

1.2拓广平面理解约定1.1(1),(2)1、对应平面上每一方向，有唯一无穷远点.平行的直线交于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点(添加无穷远点之后的直线上的点集比R多一个元素).3、平面上添加的无穷远点个数=过一个通常点的直线数(比R多一个元素).4、不平行的直线上的无穷远点不同.因而，对于通常直线：两直线平行不平行交于唯一无穷远点有穷远点平面上任二直线总相交5、空间中每一组平行直线交于唯一无穷远点.6、任一直线与其平行平面交于唯一无穷远点.本课件是可编辑的正常PPT课件§

1.2拓广平面理解约定1.1(3)1、无穷远直线为无穷远点的轨迹.无穷远直线上的点均为无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线上的无穷远点.3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线(添加无穷远直线之后的平面比通常平面多出一条直线).4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一条无穷远直线的平面相互平行.因而，对于通常平面：两平面平行不平行交于唯一无穷远直线有穷远直线空间中任二平面必相交于唯一直线本课件是可编辑的正常PPT课件§

1.2拓广平面三、拓广平面

定义1.24通常点和无穷远点统称拓广点,记作P,Q,…;

添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线,记作l,m,…;

添加无穷远直线后的平面称为拓广平面,记作

.

定理1.16在拓广平面上,点与直线的关联关系成立：

(1)两个相异的拓广点确定唯一一条拓广直线；

(2)两条相异的拓广直线确定唯一一个拓广点.(1)拓广直线的封闭性拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型欧氏直线：向两个方向无限伸展1、拓广直线证明

(见教材,P.17)本课件是可编辑的正常PPT课件§

1.2拓广平面(2)拓广直线的拓扑模型(i)欧氏平面上的圆(ii)叠合对径点的圆(iii)欧氏平面上过原点的直线的集合(线束模型)(iv)欧氏平面去掉原点后，过原点每一直线的所有点作为拓广直线的一个点本课件是可编辑的正常PPT课件§

1.2拓广平面(2)拓广直线的拓扑模型(3)拓广直线上点的分离关系欧氏直线：一点区分直线为两个部分。拓广直线：一点不能区分直线为两个部分。欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。拓广直线：两点不能确定直线上的一条线段。点偶A,B分离点偶C,D点偶A,B不分离点偶C,D本课件是可编辑的正常PPT课件§

1.2拓广平面(i)任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域任一直线不能划分拓广平面为两个不同的区域(ii)两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域两条相交直线划分拓广平面为两个不同的区域在拓广平面上，可以证明：I，II为同一区域III，IV为同一区域2、拓广平面四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型(1)拓广平面的封闭性(从两个方面理解)本课件是可编辑的正常PPT课件(2)拓广平面的拓扑模型(i)叠合对径点的球面(ii)欧氏空间过原点的直线的集合(线丛模型)(iii)叠合赤道上对径点的半球面(iv)叠合周界上对径点的圆盘2、拓广平面四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型(1)拓广平面的封闭性(从两个方面理解)§

1.2拓广平面本课件是可编辑的正常PPT课件Möbius带§

1.2拓广平面本课件是可编辑的正常PPT课件今天作业P.21,1,3,4Theclassisover.Goodbye!§

1.2拓广平面本课件是可编辑的正常PPT课件有周界,闭圆盘无周界,开圆盘

(此处

表示通常平面)去掉周界圆§

1.2拓广平面本课件是可编辑的正常PPT课件引入目的§

1.3拓广平面上的齐次坐标实现数、形结合，用解析法研究射影几何基本要求既能刻画有穷远点，也能刻画无穷远点基本途径从笛氏坐标出发，对通常点与笛氏坐标不矛盾主要困难来自传统笛氏坐标的干扰必须注意

齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于齐次性，因此，学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用线性代数知识。尽管针对拓广平面,但是今后通用何谓齐次性几乎无处不在的非零比例常数和比例关系本课件是可编辑的正常PPT课件一、n维实向量类§

1.3拓广平面上的齐次坐标n

维实向量的集合定义等价关系~n

维实向量类的集合(用圆括号记向量)n

维实向量类的集合[用方括号记向量]

事实上,关于齐次坐标的运算就是上述两个集合中向量类的运算.本课程仅涉及n=2,n=3.将赋予不同的几何意义本课件是可编辑的正常PPT课件二、齐次点坐标定义1.25有穷远点无穷远点非齐次齐次坐标关系注对一维齐次点坐标定义的进一步理解§

1.3拓广平面上的齐次坐标1.一维齐次点坐标(x1,x2)(x2

0)xx=x1/x2(x1,0)(x1

0)本课件是可编辑的正常PPT课件(1).都有齐次坐标反之，都对应唯一一点(0,0)不是任何点的齐次坐标.(2).与是同一点的齐次坐标.因此，直线上每个点都有无穷多个齐次坐标,同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数.(3).原点：(0,x2),特别地，(0,1).无穷远点：(x1,0),特别地，(1,0).(4).一维齐次点坐标的集合为(2维实向量类的集合)：此即拓广直线的线束模型.二、齐次点坐标§

1.3拓广平面上的齐次坐标1.一维齐次点坐标

注：定义1.25没有解决无穷远直线的问题.本课件是可编辑的正常PPT课件引入可视为P为通常点无穷远点设li:Aix+Biy+Ci=0(i=1,2).记|AB|表示(1).P为通常点，设

P(x,y).则令|BC|=x1,|CA|=x2,|AB|=x3.则

从而x:y:1=x1:x2:x3.于是,可以把与(x,y,1)成比例的任何有序实数组(x1,x2,x3)作为点P的齐次坐标.2.二维齐次点坐标§

1.3拓广平面上的齐次坐标同样有|BC|,|CA|.本课件是可编辑的正常PPT课件引入(2).P=P∞,l1//l2.即P∞为l1,l2方向上的无穷远点.目标：构造P∞的齐次坐标，使之仅与l1,l2的方向(斜率)有关.

因l1//l2.

故前述x3=0.考虑取(x1,x2,0)为P∞的齐次坐标.只要证明x1,x2仅与li的方向(斜率)有关.当li不平行于y轴时，即x1≠0.不难证明其中k为li的斜率,即(x1,x2,0)表示方向为k的无穷远点.特别地,若x2=0,则表示x轴上的无穷远点.

当li平行于y轴时，k=∞.可合理地取(0,x2,0)(x2

0)为y轴上无穷远点的齐次坐标.引出定义2.二维齐次点坐标§

1.3拓广平面上的齐次坐标本课件是可编辑的正常PPT课件定义1.26有穷远点方向为k=x2/x1的无穷远点非齐次齐次坐标关系注对二维齐次点坐标定义的进一步理解y轴上的无穷远点2.二维齐次点坐标§

1.3拓广平面上的齐次坐标(x,y)x=x1/x3,y=x2/x3(x1,x2,x3)(x3

0)(x1,x2,0)(x1

0)(k=x2/x1)(0,x2,0)(x2

0)无穷远点本课件是可编辑的正常PPT课件(1).

P

,

都有齐次坐标(x1,x2,x3).对于通常点x3

0;对于无穷远点x3=0,但x12+x22

0.反之,任给(x1,x2,x3)(x12+x22+x32

0),都对应唯一一点P

.(0,0,0)不是任何点的齐次坐标.(2).对任意的0

R,(x1,x2,x3)与(

x1,

x2,

x3)是同一点的齐次坐标.因此,平面上每个点都有无穷多个齐次坐标,同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数.(3).原点：(0,0,x3),特别地(0,0,1);无穷远点(x1,x2,0),若x1

0,则可表为(1,k,0),其中k为该无穷远点的方向(斜率).

特别地,x轴上的无穷远点为(1,0,0),y轴上的无穷远点为(0,1,0).(4).平面上点的齐次坐标的集合为(3维实向量类的集合)：此即拓广平面的线丛模型.2.二维齐次点坐标§

1.3拓广平面上的齐次坐标本课件是可编辑的正常PPT课件二、二维齐次点坐标例1求下列各点的齐次坐标.(1).齐次坐标(一般形式)特定一组(2).求直线上的无穷远点.斜率代入所求无穷远点为即(4,3,0).上的无穷远点为§

1.3拓广平面上的齐次坐标本课件是可编辑的正常PPT课件三、直线的齐次坐标方程定理1.17在齐次坐标下，直线的方程为(1.14)反之，(1.14)表示直线.称(1.14)为直线的齐次方程.注：定理1.17不仅给出了拓广平面上直线的齐次方程，还对通常直线提供了齐次、非齐次方程互化的方法.归纳点的齐次坐标是一个双射

,即拓广平面上的点坐标映射§

1.3拓广平面上的齐次坐标推论1.4过原点的直线的齐次方程为u1x1+u2x2=0.特别地,x轴:x2=0,y轴:x1=0,l∞:x3=0.本课件是可编辑的正常PPT课件今日作业P.36:

2;3TheClassisover.Goodbye!§

1.3拓广平面上的齐次坐标本课件是可编辑的正常PPT课件改变一下你的几何学观点点直线曲线坐标方程点的轨迹点几何学线几何学方程坐标直线族的包络四、齐次线坐标§

1.3拓广平面上的齐次坐标

线几何学：以直线为基本几何元素去表达其他几何对象调整你的思维天平！本课件是可编辑的正常PPT课件四、齐次线坐标1.定义定义1.27将直线l：中的系数形成的有序数组称注2齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质.注3y轴：x轴：过原点的直线：

思考：注3中这些直线的齐次坐标分别与哪些点的齐次坐标相同(忽略括号差别)？注4由定义,方程系数坐标实现互化,故

由

诱导.注1齐次线坐标是一个双射

,称为拓广平面上的线坐标映射.§

1.3拓广平面上的齐次坐标记作[u1,u2,u3].为l的齐次线坐标.本课件是可编辑的正常PPT课件

定理1.18设在拓广平面

上给定了齐次点、线坐标映射.则直线u经过点x

2.点的齐次方程§

1.3拓广平面上的齐次坐标

定义1.28在齐次坐标下，称一次齐次方程(1.15)为具有齐次点坐标x=(x1,x2,x3)的点的齐次线坐标方程.本课件是可编辑的正常PPT课件2.点的齐次方程§

1.3拓广平面上的齐次坐标四、齐次线坐标注对(1.14)的新理解.(1.14)

变(流动)不变(常数)直线u的方程几何意义动点x在定直线u上；定直线u为动点x的轨迹点几何观点线几何观点不变(常数)

变(流动)点x的方程动直线u过定点x；定点x为动直线u的包络

因此，将一般形式的(1.14)称为点与直线的齐次关联关系.点、直线统称为几何元素.给定齐次方程本课件是可编辑的正常PPT课件五、有关齐次坐标的基本结论(1).两点a,b重合

(1)'.两直线a,b重合

§

1.3拓广平面上的齐次坐标(2).相异两点a,b连线方程为(2)'.相异两直线a,b交点方程为坐标为坐标为本课件是可编辑的正常PPT课件(3).相异三点a,b,c共线

(3)'.相异三直线a,b,c共点

(4).点c在相异两点a,b连线上

点c的齐次坐标可表示为la+mb(l2+m20).§

1.3拓广平面上的齐次坐标(4)'.直线c经过相异两直线a,b交点

直线c的齐次坐标可表示为la+mb(l2+m20).五、有关齐次坐标的基本结论

注：若三点(直线)a,b,c不共线(点),则上述矩阵满秩.本课件是可编辑的正常PPT课件(5).相异三点a,b,c共线

存在p,q,r(pqr≠0)使得§

1.3拓广平面上的齐次坐标五、有关齐次坐标的基本结论(5)'.相异三直线a,b,c共点

存在p,q,r(pqr≠0)使得(6).相异三点a,b,c共线

可适当选取其齐次坐标,使得(6)'.相异三直线a,b,c共点

可适当选取其齐次坐标,使得a+b+c=0,或c=a+b.a+b+c=0,或c=a+b.pa+qb+rc=0.pa+qb+rc=0.本课件是可编辑的正常PPT课件(7).设a,b,c为平面上不共线三点.则平面上任一点d的坐标可表为

d=la+mb+nc(l2+m2+n2

0).§

1.3拓广平面上的齐次坐标五、有关齐次坐标的基本结论(7)'.设a,b,c为平面上不共点三直线.则平面上任一直线d的坐标可表为

d=la+mb+nc(l2+m2+n2

0).

证明.见教材,请自学(其证明过程可解决本节习题13).(8).设a,b,c,d为平面上无三点共线的四点.则可适当选取a,b,c,d的坐标,使得

a+b+c+d=0,或d=a+b+c.(8)'.设a,b,c,d为平面上无三线共点的四直线.则可适当选取a,b,c,d的坐标,使得

a+b+c+d=0,或d=a+b+c.本课件是可编辑的正常PPT课件§

1.3拓广平面上的齐次坐标六、齐次笛氏坐标系1、一对重要的基本图形

三点形(不共线三点及其两两连线构成的图形)顶点：A,B,C边：BC,CA,AB显然，三点形和三线形都是中心射影下的不变图形.

三线形(不共点三直线及其两两交点构成的图形)边：a,b,c顶点：b

c,c

a,a

b记号：三点形ABC记号：三线形abc本课件是可编辑的正常PPT课件今日作业P.37:

4;7(2),(4),(6),(8);8(1),(2),(3);9;11;13TheClassisover.Goodbye!§

1.3拓广平面上的齐次坐标本课件是可编辑的正常PPT课件§

1.3拓广平面上的齐次坐标六、齐次笛氏坐标系1、一对重要的基本图形

三点形(不共线三点及其两两连线构成的图形)顶点：A,B,C边：BC,CA,AB显然，三点形和三线形都是中心射影下的不变图形.

三线形(不共点三直线及其两两交点构成的图形)边：a,b,c顶点：b

c,c

a,a

b记号：三点形ABC记号：三线形abc本课件是可编辑的正常PPT课件2.二维齐次笛氏坐标系

在拓广平面上任取定一个笛氏坐标系.记原点为O,x轴上的无穷远点为X

,y轴上的无穷远点为Y

,则X

(1,0,0),Y

(0,1,0),O(0,0,1)不共线.§

1.3拓广平面上的齐次坐标

为使当X

,Y

,O取不同齐次坐标,上式总表示同一点X(x1,x2,x3).另取定点I(1,1,1),规定(推论1.6)当X

,Y

,O取不同齐次坐标时必须满足单位点规则坐标三点形：X

Y

O

；单位点：I；

平面上任一点X(x1,x2,x3)可表为六、齐次笛氏坐标系二维齐次笛氏坐标系：(X

Y

O|I).本课件是可编辑的正常PPT课件3.一维齐次笛氏坐标系

设l为拓广平面上的任一拓广直线.在l上取定相异三点A,B,E.由推论1.5规定单位点规则§

1.3拓广平面上的齐次坐标于是,有序实数偶(x1,x2)成为l上的点的一种一维齐次坐标.基点：A,B；单位点：E；

则在单位点规则的约束下,l上任一点P的齐次坐标可表为六、齐次笛氏坐标系一维齐次笛氏坐标系：(AB|E).

注：上述定义是将l作为拓广平面的子空间,并在拓广平面的一个取定的二维齐次笛氏坐标系下给出的.本课件是可编辑的正常PPT课件§

1.3拓广平面上的齐次坐标4.直线上点的非齐次参数表示六、齐次笛氏坐标系

约定在实数集R上添加一个新的“数”,称为无穷大.记称为拓广的实数集,其中关于无穷大的运算规定如下于是,在令

=x2/x1,得这是一个双射称为l的点集以A,B为基点的非齐次参数表示.规定当

=

时,P=B.本课件是可编辑的正常PPT课件关于P.34例1.3的说明令其中

为非零比例常数.§

1.3拓广平面上的齐次坐标注在单位点规则的约束下,上述的

将是唯一的.六、齐次笛氏坐标系

题中暗含:

取E=A+B为单位点.即单位点规则为

(5,3,1)=(3,1,1)+(7,5,1).0

R

方法一思想:

以(AB|E)为坐标系,求出C的齐次坐标(l,m),再化成非齐次参数表示,得

=m/l=3.

方法二思想:

以(AB|E)为坐标系,直接按非齐次参数表示格式求出

=3.所谓“消去

”,其过程为其它例题,请自学.本课件是可编辑的正常PPT课件今日作业P.38

15TheClassisover.Goodbye!§

1.1,2,3习题课本课件是可编辑的正常PPT课件点X,坐标X(x1,x2,x3)按规则流动直线u的方程提取系数直线u,坐标u[u1,u1,u3]点X的方程提取系数按规则流动8对重要的基本结论本课件是可编辑的正常PPT课件§1.4射影平面一、实射影平面(二维实射影空间)无定义基本元素：点，直线约定1.2点与直线的关联关系定义1.30设P的元素称为点.L的元素称为直线.P与L的元素之间有一个关系称为关联关系,满足下列公理公理P

存在一对双射对于任意的点P

P和任意的直线l

L,若则P与l相关联

u1x1+u2x2+u3x3=0.则称

为一个以P为点集,L为直线集的实射影平面(二维实射影空间),记作

=(P,L).上述一对双射(

,

)称为

上的一个射影坐标映射,分别称

为点坐标映射;

为线坐标映射.本课件是可编辑的正常PPT课件§1.4射影平面二、实射影平面的模型模型(实现)是对集合P,L的元素赋予具体意义,使之满足定义1.30,是一个具体的射影平面.可在任何模型上展开射影几何研究.几何的模型：拓广平面——用综合的方法研究射影几何.代数的模型：算术平面

R=(RP2,(RP2)*)——用解析法研究.拓广平面算术平面坐标映射实射影平面

=(P,L)对偶平面

*

=(L,P)对偶映射注关于对偶映射,今后将会不断地阐述、应用.

拓扑模型：实射影平面是亏格为0的不可定向的闭曲面,完全不同于通常的平面(可定向的开曲面).本课件是可编辑的正常PPT课件§1.4射影平面三、射影坐标变换

定义.

在射影平面上取定一个有序四点组A1(1,0,0),A2(0,1,0),A3(0,0,1),I(1,1,1),规定无论如何选取A1,A2,A3,I的齐次坐标,总成立单位点规则(1.17)则该四点组构成平面上一个原始的射影坐标系,记作(A1A2A3|I).称A1A2A3为坐标三点形，I为单位点.点与直线在这坐标系下的坐标称为原始坐标,即由定义1.30确定的坐标.注拓广平面是一个实射影平面,其上的齐次笛氏坐标系(X

Y

O|I)是一个原始的射影坐标系.

因此,§1.3的8对重要的基本结论在射影坐标下成立.

X(x1,x2,x3)

,有

X=x1A1+x2A2+x3A3,(0

R)为唯一表示.本课件是可编辑的正常PPT课件§1.4射影平面

证明只要证对平面上任意一点X,(PQR|E)可唯一确定其点坐标映射.设X的原始坐标为(x1,x2,x3),则由线性代数知识以及式(1.18),存在唯一向量类(x1',x2',x3')

RP2,满足(1.19)于是(1.19)唯一确定了点X在射影坐标系(PQR|E)下的一个齐次射影坐标(x1',x2',x3').三、射影坐标变换

定理1.25在射影平面上任意取定有序四点组P,Q,R,E,满足

(1)P,Q,R,E中任何三点不共线;(2)选取这四点的原始坐标时,满足单位点规则(1.18)则这四点构成一个射影坐标系(PQR|E).称PQR为坐标三点形,

E为单位点.本课件是可编辑的正常PPT课件注1在(PQR|E)下,P,Q,R,E各有一个齐次坐标为P(1,0,0),Q(0,1,0),R(0,0,1),E(1,1,1).注2因为P,Q,R不共线,所以|pi

qi

ri|≠0,即(1.19)式为非奇异线性变换,称为两种射影坐标之间的射影坐标变换.注3按坐标变换新、老坐标的书写习惯,(1.19)式是传统的坐标变换的逆式,今后可直接使用.§1.4射影平面三、射影坐标变换注4对于任意给定的不共线三点P,Q,R,可迳取E(pi+qi+ri)为新单位点,必满足单位点规则.本课件是可编辑的正常PPT课件§1.4射影平面(1.19)三、射影坐标变换

推论1.7设(A1A2A3|I)为平面上原始的射影坐标系,P,Q,R,E为任意给定的无三点共线的有序四点组.则存在唯一的非奇异线性变换注5(1.19)是一个非奇异线性变换,视其为射影平面上在坐标系(A1A2A3|I)下表达的点变换.由上述注1,这个点变换把有序四点组P,Q,R,E变为有序四点组A1,A2,A3,I,由定理1.25,此变换唯一存在.将有序四点组P,Q,R,E变成有序四点组A1,A2,A3,I.本课件是可编辑的正常PPT课件§1.4射影平面四、实射影直线(一维实射影空间)

定义1.31在射影直线上取定相异三点P,Q,E,选取其二维齐次坐