5.1认识方程+教学设计-2025-2026学年北师大版数学七年级上册

课程基本信息学科数学年级七年级学期秋季课题1认识方程教科书书名：义务教育教科书数学七年级上册教材出版社：北京师范大学出版社教学目标1.经历分析实际问题中数量关系，并借助用字母表达的未知数建立等量关系的数学表达的过程，感受方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达。2.能根据现实情境理解方程的意义，了解一元一次方程的概念。3.初步经历求解方程的过程，理解方程的解的意义。4.通过解决《九章算术》盈不足问题，感受中华优秀传统文化，增强文化自信和民族自豪感，进一步熟悉利用表格分析数量关系的方法。教学重难点教学重点：1.经历从现实问题到方程的过程，感受方程是描述现实世界等量关系的重要模型。2.了解一元一次方程的概念。教学难点：1.分析问题中的等量关系并通过设未知数，用方程来表达等量关系。2.由具体的几个方程的共同特征归纳一元一次方程的概念。教学过程一．情境引入——盈不足问题1．通过欣赏《清明上河图》中描绘的繁荣的商业活动，引出同样反映了当时经济生活的《九章算术》中的盈不足问题，今天学习的内容可以解决该问题。【设计意图】：创设情境，欣赏千古名画，用数学的眼光来看待名画中反映的商业问题，用中国传统数学最重要的著作《九章算术》中经典的盈不足问题，帮助学生感受中华优秀传统文化，创设悬念，激发孩子们的学习兴趣。二．探究新知活动一．班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，师生总票款为475元。你知道学生和老师的人数分别是多少吗？购买学生票和成人票的票款分别是多少？（1）这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？（2）如果设学生人数为x，那么师生总票款可以用含x的代数式表示为___________。（3）你能得到怎样的表示量相等的式子？注意：引导学生找出等量关系，用含x的代数式去表示出题目中的未知量，进而列出等式。解1）涉及的量有：学生人数、老师人数、师生门票总数，学生票价、成人票价，学生总票款、老师总票款、师生总票款等。还可以进一步分为已知量：学生票价、成人票价，师生门票总数、师生总票款。未知量：学生人数、老师人数，学生总票款、老师总票款。等量关系：学生人数+老师人数=师生门票总数，学生总票款+老师总票款=师生总票款。【设计意图】：从秋游活动购买门票情境引入，提出3个问题。问题（1）意在引导学生发现问题中涉及的量，以及量与量之间的关系，并用自然语言表达；问题（2）意在用字母表示未知数，用含字母的代数式表达问题中涉及的一些量；问题（3）意在借助问题（2）中的代数式，建立问题（1）中等量关系的数学表达。活动二.1.某长方形操场的面积是5850m2，长比宽多25m。（1）这个情境涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？________________（3）你能得到怎样的表示量相等的式子？解1）已知量为操场的面积、操场的长与宽的差，未知量有操场的长、操场的宽。等量关系有两个，操场的宽×操场的长=操场的面积，宽＋25=长。（2）x(x+25)（3）x(x+25)=58502.甲、乙两地相距22km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走1km，因此提前1到达乙地。（1）这个情境涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？（2）如果设张叔叔原计划每小时走xkm，那么他比原计划提前的时间可以用含x的代数式表（3）你能得到怎样的表示量相等的式子？解1）已知量：甲乙两地间的距离、张叔叔实际的速度与原计划速度的差、实际比原计划提前的时间。未知量：张叔叔原计划的速度、实际的速度、原计划所需的时间、实际需要的时间。等量关系：实际速度－原计划速度=1km/h原计划时间－实际时间=12min=h2222-（2）xx+1注意：列等量关系时，我们要注意单位统一。【设计意图】：方程是初中阶段学生接触的第一个正式的数学模型，在购买门票情境中，列出的等式是一元一次方程；在本环节两个情境中，列出的等式则分别是一元二次方程和分式方程，三个情境问题串的设计思路是类似的。提供了多个实际情境，旨在通过对这些情境中的数量关系的分析，用含有未知数的代数式表达其中的等量关系，体现方程是对等量关系的数学表达。三.总结归纳，提炼方法1.方程的定义：含有未知数的表示量相等的等式称为方程。方程的本质就是借助未知数讲述两个故事，这两个故事在某一个要素上量相等。2.从问题到方程一般要经历以下几个步骤，首先从实际问题出发，分析题意，找出问题中的等量关系，设未知数，用含未知数的代数式表示出其他相关的量，最后根据等量关系列出方程。【设计意图】：引导学生对得到的等式进行观察和思考，鼓励学生用自己的语言描述这些等式的共性，进而抽象概括出方程的概念，列方程的步骤。四.古题今解《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少？（1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？解1）已知量：第一次每人出的钱数、剩余的钱数，第二次每人出的钱数、不足的钱数。未知量：人数，物价，第一次出钱总数，第二次出钱总数。（3）8x-3=7x+4【设计意图】：运用方程解决引入中留下的悬念，设计学生与数学家刘徽先生对话，增加课堂的互动感和趣味感。《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，它构筑了中国和东方数学的基本框架，为中国传统数学领先世界千余年奠定了基础。选择这一素材，一方面可以帮助学生感受中华优秀传统文化，另一方面也可以让学生进一步熟悉利用表格分析数量关系的方法。五.一元一次方程的定义观察这三个方程，你认为它们有什么共同特征？10x+15(45-x)=4758x-3=7x+4一元一次方程的定义：在一个方程中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程。随堂练习：下列哪些是一元一次方程？答案：【设计意图】：通过观察三个方程的共同特征，归纳出一元一次方程的定义，需要满足三个条件，缺一不可，再让同学们通过随堂练习，进一步加深对一元一次方程定义的理解。六.方程的解与解方程提问：你能求出满足方程10x+15(45-x)=475（情境1的方程）的未知数x的值吗？你是怎样得到的？方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。解方程：求方程的解的过程称为解方程。随堂练习：x=2是下列方程的解吗？（1）3x+(10-x)=20（2）2x2+6=7x解:（1）把x=2代入方程左右两边，解:（2）把x=2代入方程左右两边，左边=3×2+(10-2)=14，左边=2×22+6=14，右边=20，右边=7×2=14，∵左边≠右边∵左边=右边∴x=2不是方程3x+(10-x)=20的解．∴x=2是方程2x2+6=7x的解．检验方程的解的步骤：①将数值分别代入原方程的左、右两边进行计算；②比较方程左、右两边的值；③根据方程左、右两边的值是否相等下结论。【设计意图】：让学生结合具体情境理解方程解的意义，在学生尝试求解的基础上，顺利成章地引入方程的解和解方程的概念，也为下一节课解方程的教学埋下伏笔。了解概念后，让学生完成随堂练习，进一步掌握如何检验方程的解，进而归纳出检验方程的解的一般方法。七.课堂小结同学们，这节课已接近