第02讲整除问题进阶（教师版）

第2讲整除问题进阶第2讲整除问题进阶知识点知识点整除问题进阶（五上）课堂例题课堂例题两位截断与三位截断1、在1234，1144，17456789，35442，153153中，（1）哪些是7的倍数？（2）哪些是13的倍数？（3）哪些是99的倍数？【答案】

（1）17456789、153153（2）1144、153153（3）35442、153153【解析】

能被7、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7或13整除．（1）经检验，能被7整除的数有17456789、153153；（2）能被13整除的数有1144、153153；（3）能被99整除的数两位截断和能被99整除，这样的数有35442、153153．2、六位数能同时被9和11整除．这个六位数是多少？【答案】

120087【解析】

用两位截断法，把分成三段就是、00、，它们的和要能被99整除，只能是，所以原来的六位数是120087．3、已知九位数能被99整除，这个九位数是__________．【答案】

123483789【解析】

设这个九位数为，两位截断后求和是99的倍数，只能是198．所以，．即这个九位数是123483789．4、卡莉娅写了一个两位数59，墨莫写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数，使得这个五位数能被7整除．请问：小高写的数是多少？【答案】

6【解析】

能被7整除，则也能被7整除．能被7整除，也就是能被7整除，所以．5、已知六位数是13的倍数，中的数字是（ ）．A．1B．5C．7D．9【答案】

A

【解析】

由三位截断可知，是13的倍数，可得．6、小高写了一个五位数，用方格盖住了两个数字后变成，并告诉墨莫说这个五位数既是7的倍数，又是125的倍数．那么小高写的五位数可能是__________．【答案】

30625或37625【解析】

这个五位数是125的倍数，则末三位是125的倍数，所以方框中填入2．又因为五位数是7的倍数，则的差能被7整除，所以方框中可以填入0或7．即小高写的五位数可能是30625或37625．7、用数字6，7，8各两个，要组成能同时被6，7，8整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．【答案】

768768【解析】

要使这个数能被6整除，只需能被2和3整除．这个六位数的数字和为42，能被3整除，因此这个六位数必定能被3整除；而能被8整除的数必定能被2整除；因此接下来的讨论，只需使这个数满足能被7、8整除的条件．这个数有6，7，8各两个，容易想到形如的数能被7整除，因此只需找到一个能被8整除即可，不难发现768符合条件．

因此768768是满足条件的一个六位数．综合应用8、已知51位数能被13整除，中间方格内的数字是多少？【答案】

5【解析】

在本题中，能被13整除．这个数的位数太多，可以想办法使它变得简短一些．利用13的整除特征，末三位999与前面的之差必须能被13整除，即能被13整除，于是应该能被13整除．观察上述过程，实际上是从原数中去掉了末尾的999999．从另一个角度来看，由13的整除特征，知道999999能被13整除．所以原数与999999的差就能被13整除，也就是能被13整除，即能被13整除．继续下去，每次去掉999999，得到能被13整除．同样考虑首位．555555能被13整除，所以能被13整除．把减去相当于从首位去掉555555，所得到的仍然能被13整除．于是还是每次从首位去掉555555，于是最后得到的应该能被13整除．

对枚举可知，559能被13整除，所以方格内所填数字是5．9、已知52位数能被13整除，中间方格内的数字是__________．【答案】

26、39、52、65、78、91【解析】

因为1001是13的倍数，则的积555555也是13的倍数．所以这个多位数可以去掉前面的24个5和后面的24个5，剩下的数能被13整除，即能被13整除．利用除法竖式，除以13的商可能是，经检验、、、、、，即中间方格中的数字可能是26、39、52、65、78、91．10、（2011年四中入学）一个五位数（相同字母表示相同数字）是7的倍数．若将它的十位和个位互换，新数是11的倍数，若将它的十位和百位互换，新数是13的倍数．那么原五位数是________．【答案】

92029【解析】

十位和个位互换后是，其为11的倍数，故，即．由于，故，；是7的倍数，故．由于，，故，即a与b之差为7；十位和百位互换后是，故．由于，，故．与a与b之差为7综合考虑得，，那么原五位数是92029．11、萱萱的爸爸买回来两箱杯子．两个箱子上各贴有一张价签，分别写着“总价117.□△元”、“总价127.○

元”（□、△、○、

四个数字已辨认不清，但是它们互不相同）．爸爸告诉萱萱，其中一箱装了99只A型杯子，另一箱装了75只B型杯子，每只杯子的价格都是整数分．但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也不记得哪个箱子装的是A型杯子，哪个箱子装的是B型杯子了．爸爸知道萱萱的数学水平很厉害，于是他想考考萱萱．萱萱看了看，说：“这可难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以派上用场了．”

同学们，你能像萱萱一样把价签上的数分辨出来吗？【答案】

，【解析】

依题意知，与一个能被99整除，另一个能被75整除；以下分两种情况讨论：(1)能被99整除，则能被99整除，；能被75整除，即能被25和3整除，则可能是25、50或75，其中只有12750能被3整除，因此，但与有数字重复，因此情况①不合条件．(2)能被99整除，则能被99整除，；能被75整除，则可能是25、50或75，其中只有12750能被3整除，因此；，符合条件．12、能同时被7、9、11整除的最小三位数是，最大四位数是？【答案】

最小693，最大9702【解析】

最小693，最大9702．13、一个整数能被15整除，这个整数的最后三位是215，那么这样的整数中最小是多少？【答案】

1215【解析】

三位的不行，四位最小的1215．所以所求最小就是1215．14、一个五位数，它的末三位为999．如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？【答案】

20999【解析】

列竖式法．

随堂练习随堂练习1、四位数能同时被9和11整除，这个四位数是__________．【答案】

6237【解析】

两位截断后的和是，所以这个四位数是6237．2、已知八位数能被99整除，这个八位数是__________．【答案】

12327678【解析】

两位截断后，所以，则这个八位数是12327678．3、四位数能被7整除，那么这个四位数可能是__________．【答案】

5712或5782【解析】

利用7的整除特性，与5的差是7的倍数，方框内可以填1或8．即这个四位数是5712或5782．4、已知多位数能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？【答案】

0【解析】

将三位重复的六位数去掉后，前后都没有了只剩方框，所以方框只能填0．课后作业课后作业1、有一个六位数，前四位是2857，即，这六位数能被143整除，则这个数的后组成的两位数为（ ）．A．12B．14C．21D．41【答案】

B

【解析】

，所以能被11和13整除．设两个□的数从左向右分别为A和B．则根据奇偶位差可得，为11的倍数，可得．根据三位截断可得，为13的倍数，，所以，当时，满足题意．2、是77的倍数，则最大为（ ）．A．16B．93C．98D．99【答案】

D

【解析】

，所以能被7和11整除．根据三位截断可得，为7和11的倍数，即一定为77的倍数，a和b可为任意值，所以最大为99．3、在7315，58674，325702，96723，360360中，7的倍数有__________个．【答案】

3【解析】

能被7整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7整除．经检验735、58674、360360能被7整除，所以7的倍数有3个．4、四位数能同时被9和11整除，这个四位数是__________．【答案】

6336【解析】

这个四位数两位截断的和是99的倍数，即，所以方框中分别填入6、6，即这个四位数是6336．5、四位数能被7整除，那么这个四位数是__________．【答案】

2758【解析】

利用除法竖式可得，只有．所以这个四位数是2758．6、（龙校五年级春季）（1）一个六位数是88的倍数，这个数除以88所得的商是________或________．（2）在□内填上适当的数字，使五位数既能被3整除又能被5整除．【答案】

（1）2620；2711（2）共6组解，分别为1、0；4、0；7、0；2、5；5、5；8、5【解析】

（1）．，由此易知两方框内所填数字相同．，故个位可能为0或8，进而原数为230560或238568，这个数除以88所得的商是2620或2711．（2）由该数是5的倍数易知个位为0或5，进而再根据数字和能被3整除可得到百位．原数可能为23160、23460、23760、23265、23565或23865．7、（2011希望杯五年级初赛）如果六位数能被90整除，那么它的最后两位数是_________．【答案】

50【解析】

能被90整除，则这个数的末位一定是0．又根据9的整除特性，知道六位数的数字和一定是9的倍数，故而十位数字是．所以它的最后两位数是50．8、已知多位数能同时被7和13整除，方格内的数字是__________．【答案】

9【解析】

1001能被7和13整除，，所以每2个258都能