15.3.2 等边三角形第2课时 含 30° 直角三角形的性质与判定课件人教版数学2025-2026学年度八年级上册

15.3.2等边三角形第2课时含30°角的直角三角形的性质1.掌握含30°角的直角三角形的边角性质.(重点)2.经历探究含30°角的直角三角形性质的过程，提升推理能力.(重点)3.合理应用含30°角的直角三角形的性质，强化应用意识.(难点)根据前面的探究结果完成下表.图形等腰三角形等边三角形性质边角三线合一对称性每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合三个角都相等，且都是60°3条对称轴1条对称轴两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合两条边相等三条边都相等如图是屋架设计图的一部分，点

D

是斜梁

AB

的中点，立柱BC，DE垂直于横梁

AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱

BC，DE

的长是多少？在30°

的直角三角形中，探究边长之间的关系.

数学抽象探究点：

含30°

角的直角三角形的性质【情境探究】如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起．你能借助这个图形，找到Rt△ABC

的直角边

BC

与斜边

AB

之间的数量关系吗？ABC问题1

两个三角尺构成的图案，是一个三角形吗？是的．∠ACB＋∠ACD＝90°＋90°＝180°，所以点

B，C，D在一条直线上．所以两个三角尺构成一个图案是一个三角形.探究点：

含30°

角的直角三角形的性质DABC问题2：△ABD是不是等边三角形？是．因为两个三角形尺全等，所以

AB＝AD.因为∠BAC＝∠DAC＝30°，所以∠BAD＝30°＋30°＝60°.所以△ABD是等边三角形.问题3：你能说说

BC与

AB的长度关系吗？

思考：如何证明上面的结论呢？探究点：

含30°

角的直角三角形的性质DABC

E

证明：在

AB

边上截取

BE＝BC，连接

CE.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°－30°＝60°.又

BE＝BC，∴△BCE是等边三角形.BE＝CE＝BC，∠BCE＝60°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠ACB－∠BCE＝30°.而∠A＝30°，∴∠A＝∠ACE.探究点：

含30°

角的直角三角形的性质ABC30°证法2：

ABC30°D探究点：

含30°

角的直角三角形的性质含30°

角的直角三角形的性质：几何语言∵∠A=30°，在Rt△ACB

，∠ACB=90°，

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

探究点：

含30°

角的直角三角形的性质例1

如图是屋架设计图的一部分，点

D

是斜梁

AB

的中点，立柱BC，DE垂直于横梁

AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱

BC，DE

的长是多少？分析：BCRt△ACBDERt△AED探究点：

含30°

角的直角三角形的性质解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，

答：立柱

BC

的长是3.7m，DE

的长是1.85m.探究点：

含30°

角的直角三角形的性质例2

如图，灯塔

C

在海岛

A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛

A

出发，以15nmile/h的速度由西向东航行，上午10时整到达

B

处，此时测得灯塔

C

在

B

处的北偏东60°方向.(1)求

B处到灯塔

C

的距离；(2)已知在以灯塔

C

为中心，周围16nmile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由.探究点：

含30°

角的直角三角形的性质西北北东CBAE解：(1)根据题意得∠BAC＝90°－75°＝15°，∠CBE＝90°－60°＝30°，AB＝15×2＝30(nmile)，∴∠ACB＝30°－15°＝15°.∴∠BAC＝∠ACB.∴BC＝AB＝30nmile.答：B

处到灯塔

C

的距离为30nmile.西北北东CBAE探究点：

含30°

角的直角三角形的性质(1)求

B处到灯塔

C

的距离；(2)会有触礁的危险．

理由：如图，过点

C

作

CD⊥AB于点

D.∵∠CBD＝30°，BC

＝30nmile，∴CD

＝BC＝15nmile.∵15<16，∴该船继续由西向东航行会有触礁的危险.西北北东CBAE(2)已知在以灯塔

C

为中心，周围16nmile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由.D探究点：

含30°

角的直角三角形的性质【练一练】1.如图，在Rt△ABC

中，∠A=30°，线段

AB

的垂直平分线分别交AC、AB于点

D、E，连接

BD，则

CD=1，则

AD

的长为_____.2分析：△BCD≌△BEDCD=ED=1AD=2DE=2Rt△AED中，∠A=30°探究点：

含30°

角的直角三角形的性质直角三角形的两个锐角____直角三角形的性质性质2性质1在____三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的_______等于_____的一半直角互余直角边斜边1.

已知直角三角形中30°角所对的直角边为4cm，

则斜边的长为(

D

)A.2cmB.4cmC.6cmD.8cmD2.

如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC.

若AD＝6，则CD的长为(

A

)A.3B.4C.5D.6第2题图A3.

如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，则底边上的中线AD的长为

⁠.第3题图6

第4题图4.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，则AD的长为

⁠.3

5.如图，在等边三角形ABC中，点

D、E

分别在边

AC、BC

上，将

△CED沿着

DE

折叠，使点

C

落在边

AB

上的点

F

处，且

DF⊥AB，求证：BF

=

2BE.证明：∵△CED沿着

DE

折叠，得到△FED，∴△CED≌△