专题05 期中真题必刷【75道 基础】解析版

专题05期中真题必刷

一、单选题

1.（23-24高二上•广东中山•期中）已知向量及=（一1,0,3）防/=（-1,2x,l）,若他一取/笈，则实数x）

A-4B-4D-4

【答案】A

【分析】利用向量平行的坐标表示可得答案.

【详解】a-b—(-2,1,2),c=(-1,2A,I),

因为―/小所以三=与弓‘解得

故选：A.

2.（23-24高二上•广东中山•期中）如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，。为弧A8的中点，E，尸分别为母线

BC、AC的中点，则异面直线M和所成角的大小为（）

it2兀

B.c,TD.

3T

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，求出而，DE，利用线线角的向量法,即可求出结果.

【详解】取A5中点。，连接OC。。，如图，以ODO&OC所在直线为x轴，），轴，z轴，建立空间直角坐标系,

不妨设=2,则3(0』,0),。(1,0,0),C(0,0,G),A(0,-1,0),

又E,尸分别为母线8aAe的中点，所以E呜净"（4,

设异面直线BF和DE所成角的0,

33

BFDE一+-71

则cose=kos(8RoE)|=44=0-乂0微，所以e=5.

BF^DE网闻2

3.（22-23高二上•广东江门•期中）如图所示，在平行六面体A8CO-A夕中，AB=\,A£>=2,AA'=3,

BAD=90，N3/VV=ZDAAr=60,则AC的长为（）

A.5B.x/23C.75D.V13

【答案】C

【分析】根据向量线性运算，利用向最荏，位瓯表示阮，再根据向量的模的性质，数量积的运算律求|亓4，

由此可得结论.

【详解】因为&=福+*=—人才+人8+人方,

所以|同卜卜-^+A§+AD|=^(-A?+AB+AD)2»

所以|明=7A?2+AB2+AD2-2A47-AB+2AB-AD-2病.AD>

又A5=l,AD=2，AA'=3,BAD=90>NB4A'=NDU'=60,

所以|AT|=j9+l+4—2x|—2x3

所以卜技

故选：C.

4.（23-24高二上.广东佛山•期中）已知三棱锥O-ABCM,N分别是A8,。。的中点，尸是MN的中点，设

OA=a.OB=b,OC=c,则9=()

o

1111II

------

444442

A.1B.

c11

-D.I1I

-----

244444

【分析】利用空间向量线性运算，结合图形即可得解.

【详解】因为M.N分别是A8,O。的中点，P是的中点,

所以两=g（砺+而）=；（4+为=；万+；5,ON=^OC=^e,

故选：D.

5.（23-24高二上.广东清远.期中）在四面体Q48C中，点M,N分别为线段。4,AC的中点，若MN=X04+），O8+ZOC,

【答案】C

【分析】先依据空间向量基本定理利月向QO4,。反0C表示向量砺，进而求得xy，z的值，即可求得x+y+z的值.

【详解】由MN=O"-OA/=』O8+」OC-LQ4

222

1

x=—

2

1

又丽=x3X+y而+z元，则，＞，=2

1

z=—

2

所以］-y+z=；

故选：C

6.（23-24高二上•广东佛山•期中）如图，在平行六面体ABCD-ABCQ中，底面是边长为I的正方形，若

4/8=乙4小。=60,且明=1,则AG与底面ABC。所成角的正弦值为（）

「3x/io

Lz•1

101010。・噜

【答案】B

【分析】利用向量的线性运算先算出|而连接以）,AC,作£M_LAC,交AC延长线于M,可证瓦）工面ACG,

得到BD1GM.可证G"-L面ABCD.故可得AQ与面A8C。所成用为ZC.AC,即可得到答案.

【详解】因为平行六面体ABC。-AB©。中，底面是边长为1的正方形，NAA8=NAAQ=6O,/V\=l,又

蒲=赤+而+丽J码=|同=|随|=1,

1

-福丽=网网cos60。=一,

而.而j=o,而丽=|码|M|COS60。2

所以

|AC||一（而十而十豆）’一|而『十|而『+|可|十2而.而+2亚•福+2而.可

=1+1+1+0+1+1=5,即|离|=6，

连接8DAC,作GM_LAC,交AC延长线于例，易知8。JLAC.AC=&,

因为丽再=（而+而）•丽=丽•丽+荷•丽=南不一而标=0.

所以BDJLCG,又ACAC£=C,4Cu面ACC.,CGu面ACC,

所以4。上面4CG，又GMu面ACQ，所以BDA.QM,

因为AC与80相交，所以G例，面工38.

所以AG与面488所成角为NGAC,

=5+2-1=3河

在△ACG中,cosNC]AC=

2AC{AC~2y/5xy/2~10

因为sinNGAC>0,所以sinZC)AC=^/l-cosZC.AC

10

故选：B.

7.（23-24高二上.广东广州•期中）已知'，晟公为空间内三个不共面的向量，平面。和平面耳的法向量分别为

己=与十九.+女3和B=—耳+2/，若,则％+"=（）

A.5B.-5C.3D.-3

【答案】B

【分析】依题意可得。〃B,则,=/几根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可.

【详解】因为£2为空间内三个不共面的向量，所以以作为空间内的•组基底，

又平面。和平面夕的法向量分别为d=q+Ae2+3%和〃=-q+2e2+j.ieyJ!.ctlip,

所以〃巫,则〃=〃；，即豕+词+33=«-冢+2或+〃可，

T=1p=-l

所以，2/=%，解得h=一2,所以％+〃=—5.

〃/=34=-3

故选：B

8.（23.24高二上•广东汕头.期中）已知点A（2,-3）,3（-2,1）,若过点P（l,2）的直线/与线段A8相交,求直线/的斜

率攵的取值范围为（）

A.女？；或攵4一5

B.Z:><--

35

C.-5GkG—D.--<A:<-

353

【答案】A

【详解】由题知直线/过定点P（l,2）,进而作出图形，数形结合求解即可得答案.

【分析】解：直线/方程为依一丁一々+2=。转化为攵（工一1）一（>-2）=0,

所以直线/过定点2）,且与线段/IB相交，如图所示，

则直线PA的斜率是噎=上楙=-5,

直线心的斜率是kpB=阜=g,

-2—13

则宜线/与线段AB相交时，它的斜率k的取值范围是k>^k<-5.

9.（23-24高二上.广东深圳•期中）若直线八2x+（m+l）y+4=0与直线巾：侬+3y-2=0平行,则说的值为（）

A.2B.-3C.2或一3D.一2或一3

【答案】C

【分析】依题意可得2X3-Q〃+1）/〃=0.求出，〃的值，再检验即可.

【详解】直线4：2x+（m+l）y+4=0与直线乙：mx+3y-2=0平行,

则2x3-。〃+l）/zz=0,解得〃?=一3或/〃=2,

当，〃=-3时，此时直线4：2x-2y+4=0与直线a-3x+3y-2=0立行，

当相=2时，此时直线4：2x+3y+4=0与直线6：2x+3y-2=0平行，

故m=-3或m=2.

故选：C

10.（23-24高二上.广东东莞•期中）圆V+尸=1与圆/+）,2一2x+2y=2的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三

角形面积为（）

A.—B.-C.D.1

248

【答案】C

【分析】将两个圆的方程相减，可得两圆的公共弦的方程，求得弦所在直线与坐标轴的截距，即可求得答案.

【详解】由题意得圆/+/=］的圆心为（o,o）,半径为］,

圆x24-y~-2x+2y=2的圆心为(LT),半径为2,

则两圆圆心距为血，而2-1〈夜<2+1，即圆/=1与圆/+），-2x+2y=2相交,

故将/+丁=1和％2+,2一21+2），=2相减得2X一2），+1=0,

即圆f+y2=1与圆丁十9一+2），=2的公共弦所在直线方程为2.r-2y+l=0,

令x=0,则y=g；令y=0,则x=-g,

故2x-2y+1=0与两坐标轴所围城的三角形面积为—L

2228

故选：C

II.（23-24高二上.广东湛江•期中）某地A8两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为A（0,0）,8（-2,0）,一条河所在

直线的方程为x+2），-5=0.若在河上建一座供水站九则/，到A5两点距离之和的最小值为（）

A.472B.32C.4GD.48

【答案】A

【分析】根据两点间距离公式和点的对称性建立方程组，求解即可.

如图，设A关于直线x+2y-5=0对称的点为4’（%与，

-+2--5=0,._2

则：/1得/即4（2,4）,

y—J

易知

当AH三点共线时，

|即+|阳=|四+|因取得最小值,

最小值为|A8|=J（2+2>+（4-0尸=4y/2.

故选：A

12.（23-24高二上•广东佛山•期中）已知直线4：小+2），+4=0,直线〃：x+（4+l）y+4=0,若"4,贝以与的距

离为（）

A.72B.25/2C.372D.472

【答案】C

【分析】

先由直线平行求得〃的值，再利用平行直线间的距离公式即可得解.

【详解】因为4：方+25+4=0,4：x+(a+l))'+4=0,且“〃2，

所以440,且」二空*。，解得。二一2,

a24

则(：一2x+2y+4=0,g[Jx-y-2=0./,:x-y+4=0,

所以，i与4的距离为'I---'=3&.

J1+1

故选：C.

13.(23-24高二上.广东江门•期中)圆。:(1-1)2+()，+1)2=4关于直线工-2>+2=0对称的圆的方程为()

A.(x-3)2+(y-i)2=4B.(x+3)2+(y-l)2=4

C.(x-l)2+(y+3)2=4D.(x+l)2+(y-3)2=4

【答案】D

【分析】计算圆心关于直线x-2)，+2=0对称的点是(-1,3),得到圆方程.

【详解】圆C：(x-l)2+(y+l)2=4,圆心为(1,-1),半径为2,

设圆心关于直线*-2丁+2=。对称的点是(。力)，

\b+\、

则所求圆的方程为0+1)2+(y-3尸=4.

故诜：D

14.(23-24高二上•广东东莞•期中)M点是圆C:(x+2『+y2=i上任意一点，.为圆&:"-2『+丁=3的弦，且

|A8|=2夜，N为A3的中点.则上必明的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据弦氏公式先求山|CN|=1，然后可知点N在以G(2,0)为圆心，1为半径的圆上，结合图形即可求解.

【详解】圆C：（x+2>+y2=］的圆心为0（-2,0）,半径为「=1,

圆£:（工一2）2+丁=3的圆心为。（2,0）,半径为

如图，由弦长公式知，|4B|=2^2-|C,7V|2=2x/2,解得|。网=1,

所以，点N在以G（2,0）为圆心，1为半径的圆匕

由图可知，|孙的最小值为|明卜一1=4-17=2.

故选：R

15.（23-24高二上•广东茂名•期中）已知圆/+/-6工+2），+8=0关于直线〃?对称，且直线〃，与直线2x-y+l=0平

行，则直线机的方程为（）

A.2x--v+7=0B.2x-y-7=0

C.x-2y-5=0D.2x+y-5=0

【答案】B

【分析】根据圆关于直线用对称，所以圆心在直线加上，又由直线冽与直线2%-），+1=0平行，从而求解.

【详解】由圆丁十9一6X+2），+8=0关于直线机对称，所以圆心。（3,-1）在直线用上，

又因为直线，〃与直线2x-y+l=0平行，

所以：设直线m方程:2x-y+C=0（Cxl）,

将圆心。（3,-1）代入得：C=-7,得直线胴方程：2x-y-7=0,故B项正确.

故选：B.

16.（23-24高二上•广东深圳•期中）已知直线/：（"2-1卜+（〃?+1）y一3团+1=0与圆0:』+〉2=9交于48两点，则

VAOB的面积的最大值为（）

9

A.25/2B.2x/3C.2x/5D.

2

【答案】D

【详解】根据题意，直线/：（"一=

可变形可得—3）-x+），+l=0,

联立｛2对。’解得;二则直线/恒过定点⑶）,记为M,

圆。:丁十/=9的圆心为（0,0）,半径/=3,贝iJ|OM|=",

又A8为圆。的弦，设AB的中点为E，则有OE_LA8,

所以|AB|=2y]r2-\OE^=2加-|时,

易知0引0目可。叫=石，记〃?=|。目，则（）K〃三石，\AB\=2yl9-m2,

所以VAOB的面积S=/4却也q=3->xm=J（9―叫/

4；（9一",+〃/）=g'

当且仅当9一加2=机2,即|0目=m=手时，等号成立.

9

即VA08的面积的最大值为

故选：D.

17.（23-24高二上•广东广州•期中）已知点A（2,-3）,4（-5,-2）,若直线/：心-y+/〃+l=（）与线段抽（含端点）有公

共点，则实数，〃的取值范围为（）

「43]（41[3^「34]n（3]「4、

A.B.-20,--u-,+00C.-D.-20,--u-,+00

134」I3」14JL43JI4」[_3J

【答案】B

【分析】根据」知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直

线的斜率公式即可求解.

［详解】由〃tv—y+，〃+1=0,得＞一1=，〃(x+1),

所以直线/的方程恒过定点P(-IJ),斜率为机.

因为42-3),5(-5,-2),

-3-14

所以如=罚=-§,

由题意可知，作出图形如图所示,

所以实数〃?的取值范围为18"U5收).

故选：B.

18.(23-24高二上.广东江门•期中)已知椭圆C：£+£=1(。>〃>0)的离心率为;，左顶点是4左、右焦点分

别是行，工，M是C在第一象限上的一点，直线与C的另一个交点为N.若MF//AN,则直线MN的斜率为

().

A.@R.史C.-D.巫

21127

【答案】A

【分析】利用相似关系可得黑=］再利用直线方程和椭圆方程后可求直线的斜率.

|M用2

【详解】

因为离心率为;，故可设a=2Z,c=内次>0),故方二63

故椭圆方程为：—+4=^>

43

而|A用=〃-c=h优用=23故陶=J，四MFJ/AN,故篇=g.

故直线MN与x轴不垂直也不重合，

故可设MN:x=/〃y-Z,"（々，必），则另=一2%,

由m32可得（4+3加b2-=0,

6km

i二石才

一9二

因K在椭圆内部，故△＞（）恒成立，且《y/二E

>1=-2>2

汨-6bn\2kni-9k2,因人工0,故机=浊

故-----

4+3机27“4+3〃?2-4+3〃/5

1O,2x/5

12kx-^~q4

中典kx苑-k、＞。，

此时y=-------—=--------k9

4+乜4452

5

故”在第一象限，符合条件，MV的斜率为工=咨,

m2

故选：A.

19.（23-24高二上•广东珠海•期中）已知椭圆兰十£=1两个焦点为分别为K、F”过K的直线交该椭圆于A、B

49

两点，则△AB6的周长为（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】D

【分析】由图形及椭圆定义可得答案.

【详解】由椭圆方程可得：。=3,

△4B5的周长为C=|AB|+|伍|+忸闾=|凹|+忸制+|A闾+|即|=4=12.

故选：D.

20.（23-24高二上.广东深圳•期中）已知椭圆方程为《+£=1（"人>0）,其右焦点为尸（4,0）,过点尸的直线交椭

a~b'

圆与A,8两点.若AB的中点坐标为（L-l）,则椭圆的方程为（)

2

x2y2,yAy2]

A.B一+—=1c.--------F--=D.

5236204248259

【答案】C

17QL

【分析】计算%,=：，设A（.x）,8伍,%），代入椭圆方程相减得到彳-*=0,解得答案.

3cr"

0+11

【详解】A8的中点坐标为M（L-l）,则/“=

4-13

设A(5,yJ,5(租%)，则2+#=1,—r+-yy=1，

abab~

（芭+为）（七一公）।（）1+%心一月）21k

相减得到:=°,即Li…一

乂…，解得小24,从=8,椭圆的方程为方+y

8

故选：c.

21.（23-24高二上・广东深圳•期中）已知不乃是椭圆的两个焦点，满足"片，“小的点股总在椭圆内部，则椭圆

离心率的取值范围是（）

A.B.C.

【答案】B

【分析】M在耳入为直径的圆匕HPx2+/=c2,根据c<b得到离心率范围.

【详解】MF.1MF.,故M在£居为直径的圆上，即/+）,2=。2,

圆在椭圆内部，故CV/九夕<F故小

­a~=7b~；--+----/-2~e--+----c--2

故选：B.

1+£=1上，其中A为左顶

22.（23-24高二上•广东东莞•期中）已知VA8C的三个顶点都在椭圆「：

点，3为上顶点，若以8为顶角的等腰三角形△A5C恰好有3个，则「的离心率的取值范围为（）

A.C.D.

【答案】A

xy=1与圆有四个公共点，求出的关系得离心率的取值范

【分析】由题意知只需椭圆7+F

围

【详解】由题意知VA4C的第三个顶点。在以A为圆心，以A3=〃2+/为半径的圆上，要使以月为顶角的等腰三

角形恰好有3个，则需要满足椭圆夕+方=1与圆/+（＞同2=/+6行四个公共点,

得-第2=2加

由，

x2-^(y-h)2=a2+b2

2/

所以尸0或尸-二

当y=0时，椭圆与圆有两个交点，分别为左右顶点，当「位于右顶点处满足条件:

当y=-当时，要满足椭圆与圆有两个不同交点，2，。3,需要y=-咚＞-从

即乃"，即24-巴邛，所以0

故选：A

【点睛】关键点点睛：要满足条件的三角形有3个，关键是将条件转化为椭圆£+[=1与圆/+日_〃）2=/+/有

ab

四个公共点解决.

23.（22-23高二下・广东河源・期中）已知过点（|,-1）的直线与抛物线€':），2=2%交于产，。两点,点6（；,1）,则“。6

一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.有一个角为60"的三角形D.面积为定值的三角形

【答案】B

【分析】

设P&y）,QD过点仔，-小勺直线方程为X=«），+D+£，联立方程组可证存_L弧进而易判断A,B,

;乙）z

C,可证APQG的面积不为定值，可判断D.

【详解】

设p（x2J,。（孙％），过点（|，-1的直线方程为m（y+i）+|，

将直线方程与抛物线C：y2=2x联立得：y2=2/（y+l）+5,y2-2ty-2t-5=0,

，%+）'2=2/,），防=-21—5,

,点qg/，,^「二卜彳方，，,

.•.讦•苑=（大一3）（七一3）+（），1一1）（为一1）=+（）1一1）（%一1）

=（仁。为二1）［a+1）5+1）+4］,（乂+1）（%+1）+4=5M+必+必+5=-2/-5+2，+5=0,

所以&户_LG。，故B正确.

当直线无限接近平行于对称轴时，显然|GHH|GQ|,

・•.△PQG不一定是等腰三角形，同时NGPQ无限接近（1，故AC不正确;

点GK，1］到直线PQ：x=f（），+l）+g的距离为"=粤2,

12/2V/+1

|叫=护⑵)2+4(2/+5)=2#+T7r+2z+5,

SmQ=1P0d=2卜+1|J产+2/+5=2|f+1|J(r+[«+1了+1]不为定值.故D错误.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是设过点||,-1）的直线方程为x=«y+D+g,联立方程组利用韦达定理解决问题.

24.（22-23高二上•广东湛江•期中）在椭圆中，已知礴距为2,椭圆上的一点?与两个焦点0外的距离的和等于4,

且N尸尸乙二12（）。，则APKK的面积为（）

A36R26「363石

754—

【答案】D

【分析】根据椭圆中焦点三角形的几何性质，结合椭圆的定义与余弦定理即可求得AP66各边长，再利用面积公式

即可求得耳月的面积.

【详解】由题可知，焦距用用=2c=2,则c=l,又椭圆上的一点尸与两个焦点石，鸟的距离的和等「4,

即|「制+|帆|=2a=4,所以a=2,

在外中，/P£E=120。，

由余弦定理得：=归胃2+,周二2归用M用cosNP/M=（4-|P周丫+4+2（4-|P周），

整理得1。|*=28,所以此|弋，则比心，故"/M的面积

乙乙J4J

故选：D.

22

25.（21-22高二上•广东深圳•期中）过椭圆G二+匕=1上一点M作圆f+丁=3的两条切线，48为切点，过A、

164

B的直线/与工轴和），轴分别交于P、。两点，则△OPQ（0为坐标原点）面积的最小值为（）

99正G

-氏-CT

A.84D.

16

【分析】设点”（-％,%）,结合圆的切线方程求得直线A8的方程，即可求得△OPQ面积的表达式，结合基本不等式

即可求解答案.

【详解】设点"*。，治），面治=0,则§+¥=1,

164

设A（a,b）,B（c,d）,贝IJ点A处V+9=3的切线方程为a.x+by=3,

点8处/+产=3的切线方程为3+由=3,

由于这两条切线都过点M（小，为），则叫）+力。=3,cx°+dy0=3,

故直线AB的方程为V+比丁=3,

33

令x=0,「.），=——，令y=O,/.x=——，

%与

3313391

即P（一,0）,Q（0,一）,则%也=亍|一1|一|=彳|一I,

%>o2x0凡2xoyo

由于1J+不2后孑=胃,区4,

当且仅当¥>=芷，即4=&$=2时等号成立,

164

c9.1,919

故SA8C，=不1---l^-xT=o

2%%248

9

即AOP。面积的最小值为二

8

故选：B

【点睛】关键点睛：本题求AOP。面积的最小值，因此要想法求得该三角形面积的表达式，故解答本题的关键在

于要求出直线AB的方程，从而求得A,8的坐标，即可求得三角形面积表达式，结合基本不等式即可求解.

26.（21-22高二上.广东深圳.期中）己知双曲线C的离心率为:，焦点为耳,鸟，点4在C上，若|"4|=2|%%则

cosZAF2Fi=（）

1R1C1n1

A.——D-C.D.

3456

【答案】B

【分析】根据双曲线离心率可得c=|*根据双曲线定义推出|用4|=1|%4|二勿，利用余弦定理即可求得答案.

3

【详解】由题意双曲线C的离心率为全，焦点为B、尸2,点A在C上，

故不妨设片，鸟为左、右焦点，由忻4|=2怩4|可知A在双曲线右支上，

则I6AI-I5川=2”，故山川=仇|%4|=%,

由于双曲线C的离心率为:3，则c£=3：，即。=39，

2al2

|打4『+|耳巴『一|4玉|2_4/+4/-16"

在AA月耳中,cosZAFF=

2l2|巴川.|q5|--2・2G2C

4/+9/-16/1

=-------------=---

22a-2--a4）

2

故选：B

22

27.（22-23高二上•广东江门•期中）设双曲线。:=-与二1（"0,。>0）的左、右焦点分别为K，鼻,离心率为后,

a~b~

〃是双曲线C上一点，且/耳。6=60.若人的面积为46，则用的周长为（）

A.2x/6+6x/2B.76+272C.72+2D.2g+2遥

【答案】A

【分析】由三角形面积公式可求归"卜归鸟1=16,结合余弦定理得

忻用2=|跖『+|尸周2-2伊用.归周=（|一|受1）2+2|P用/国

-2|刊讣|叫cos/6”,由离心率可求出&/",同理结合附（+|尸闾2=（四|+归国丫一2归司・|尸用代入余弦定理可

求|尸制+|%],进而得解.

【详解】由题可知以怵=；附卜归周•Sin4%=46/月。名=60,求得|刊讣归周=16,

对由余弦定理可得巧4|2=归用2+俨国2_2阀卜伊或88々笔=（|助|-|空|）2+2阀卜伊用

一2|叫卜忸引cosN尸沙乙，即（2c）2=（2〃）2+2|产用尸引一2|?闻.|桃|cosN片”,

I；J4/?2=16./?=2,因为i===^~~?—=3,解得『=2、c，=6,

a'a'

乂忻用「=|囱2+|空|2-2|囱.俨用80/毋吃=（|历1+1%1）2-2归片|.|尸引-2附卜|"际/6空，

即4c2=（归用+俨段）2-2俨用.伊图-2阀HP^cosN平巧，解得|p用+归用=6近，|耳周=2c=2"，

所以“。工的周长为|P用+俨段+忻段=2#+6&.

故选：A

二、多选题

28.（23-24高二上.广东深圳,期中）下面四个结论正确的是（）

A.若三个非零空间向量2瓦2满足2_L瓦5_L",则有乙/便

B.若空间四个点P,A,8,C,PC=；PA+：PB,则ARC三点共线.

44

C.已知,反耳是空间的一组基底，若正二£+入则也石,正｝也是空间的一组基底

D.已知向量2=（1,Lx）,B=（-3,X,9）,若X<K，则｛2冉为钝角.

【答案】BC

【分析】根据向量的概念，空间向量的基本定理，以及空间向量基底的定义和空间向量的数量积的运算公式，逐项

判定，即口J求解.

【详解】对于A中，若非零空间向量工方,2满足Z_L尻方J_",不一定满足2〃入所以A不正确；

而『B中，因为PC=；P/U：方，则;PC—；雨=：P/"；PC,即n=3而，

444444

又因为衣与而有公共点，所以A8C三点共线，所以B正确；

对于C中，由｛爪瓦©是空间的组基底，且拓=£+鼠

令赤=工£+防,可得xZ+防=£+2,此时方程组无解，所以Z,32+2不共面,

所以M，反研可以作为一个空间基底，所以c正确；

对于D中，若寸5为钝角,则7,<0,且Z与五不共线，

由£%=-3+X+9XVO,解得当时£与否平行时，由e='=解得x=-3,

10-3x9

当2与B不共线得-3,所以当XV输且—时，斤石为钝角，所以D错误.

故选：BC

29.（23-24高二上.广东江门•期中）绐出下列命题，其中正确命题有（）

A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底

B.已知ZJ.B，则£石与任何向量都不构成空间的一个基底

C.已知向量2//万，则与任何向量都不能构成空间的一个基底

D.A及M,N是空间四点，若丽，的，前不能构成空间的一个基底，则A8,M,N共面

【答案】ACD

【分析】根据空间向量的概念，逐项分析即可.

【详解】选项A中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A正确；

选项B中，根据空间基底的概念，可得B不正确；

选项C中，因为Z//瓦所以24与任何向量都共面，故不能构成一个空间基底，所以C正确；

选项D中，由丽，丽7,而不能构成空间的一个基底，可得丽两,而共面，又由丽，丽，前过相同点5,可得

A3,M,N四点共面，所以D正确.

故选：ACD.

30.（23-24高二上•广东深圳•期中）在平面直角坐标系xOy中，圆Uf+V=l,点尸为直线/:x-y-2=0上的动点，

则（）

A.圆C上有且仅有两个点到直线/的距离为:

4

B.圆C与曲线：/+）,2-6工一8）+〃?=0恰有三条公切线，则〃=9

C.过点尸作圆C的一条切线，切点为Q,NOPQ可以为60"

D.过点。作圆C的两条切线，切点为M,N,则直线MN恒过定点

【答案】BD

【分析】

对A,求出圆心到直线的距离，将圆上点到直线的最短距离与J比较即可；对B,转化为两圆外切即可；对C,求

4

出sin/OPQ最大值为连，即NOPQ最大为45%对D,设尸点坐标（小,与-2）,求出切点弦A/N方程，不论将如何

2

变化，直线MN恒过定点.

【详解】

|-2|广

选项A,由题知，圆心（0,0）到直线的距离为4=）2；（T）2='2,员］的半径为1,

由:〈我-1,圆上不存在点到直线/的距离为故A错误；

44

选项B./十）,2一61一8）叶，〃一0整理得（人一3）3十（^一4）2=25-，〃，圆心为（3,4）,半径为-25-川，

由题可知两圆外切时有三条公切线，则配不=1+后二而，解得阳=9,B正确;

\OQ\1

选项C由切点为。尸=90',则在RaOQP中,Sin/。氐2=祸=网,

当|0P|最小时，sin/OPQ取最大值，/OPQ最大，过点。作O0_L/,垂足为

此时|op|最小，最小值为|。川=m=』,

即sin/OPQ最大值为*,NOPQ最大为45。，不可能为60°，故C错误；

2

选项D,设点P(Xo,y0),切点M(X[,y)，N(J%),

可得切线MP方程为x/+x1y=l,由点尸在切线上，得引与+,为=1,

同理可得七七+%%=1，

故点M5,x）,N（s,y2）都在直线工工+>oJ=1上,

即直线MV的方程为/x+y0y=l,

又由点P(%,%)在直线/：X-y-2=0上，则%%-2,

代入直线方程整理得2），-1=0,

x+y=011

由，解得《即直线MN恒过定点,故D正确.

-2j-l=0I/乙）

31.（22-23高二上•广东东莞•期中）下列四个选项中，说法错误的是（）

A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率

B.直线。丫+2），+6=0与直线x+g—1）），+/—i=o互相平行，则〃=一］

c.过（%,,）,优,必）两点（工产毛，丁产）,2）的所有直线的方程为

D.经过点（1,1）且在X轴和V轴上截距都相等的直线方程为x+k2=0.

【答案】AD

【分析】根据直线的倾斜角与斜率判断A；根据两直线平行求出参数的值，即可判断B；根据两点式方程判断C；

分截距都为0与都不为0两种情况讨论，即可判断D.

【详解】对于A：坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，

但是与》轴平行（重合）的直线的倾斜角为90。，斜率不存在，故A错误；

对J-B：因为直线公+2），+6=0与直线x+（4-l）），+/_i=o互相平行，

则“c/-l）=2xl,解得a=2或0=一1,

当。=2时直线依+2y+6=0与直线工+（〃-1）丁+/一1=0重合，故舍去，

当。=7时直线—x+2y+6=0与直线”-2丁=0平行，符合题意,

综上可得。=-1,故B正确；

对「C：过（入2］），（冷火）两点（工尸七，M工必）的所有直线的方程为?==?三，故C正确；

对于D：当截距都为o时直线方程为y=%

当截距都不为。时，设直线方程为土+2=1（4/0）,则,+'=1,解得。=2,

aaaa

所以直线方程为x+y-2=0,

综上可得满足条件的直线方程为x-产0或x+y-2=0,故D错误.

故选：AD

32.（23-24高二上.广东东莞•期中）已知圆O:Y+V=4,过点用作圆。的两条切线，切点分别为A、B,且直线

A8恒边定点。（1,1）,则（）

A.点M的轨迹方程为％-"4=0

B.|AB|的最小值为2,3

C.圆O上的点到直线AB的距离的最大值为2+V?