2024-2025学年（人教版）九年级数学上考点复习大串讲第21章 一元二次方程【五大考点串讲+易错集训+素养提升】课件

人教版九年级上册【五大考点串讲+易错集训+素养提升】第21章一元二次方程实际问题设未知数，列方程一元二次方程ax2+bx+c=0实际问题的答案方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根解方程配方法公式法因式分解法降次检验思维导图1、满足什么哪三个条件的方程叫做一元二次方程？2、一元二次方程的一般形式是什么？3、什么是一元二次方程的解（或根）？考点一

一元二次方程相关概念

只含有一个未知数

未知数的最高次数是2

整式方程

使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）.【典例讲解】下列方程是一元二次方程的是(

)A．(x－1)(x－3)＝x2－1 B．x2－2x＝2x2－1C．ax2＋bx＋c＝0 D．x＋＝2B例1下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x2−x（x+3）=0 B．ax2+bx+c=0C．x2−2x−3=0 D．x2−2y−1=0C解析

A.将方程化简后，为一次方程；B.未限定二次项系数a不为0；D.含有两个未知数，只有C符合一元二次方程的定义，故选C.【变式训练】直接开平方法配方法公式法因式分解法解一元二次方程的基本思想是什么？转化解一元二次方程的方法有哪几种?

考点二一元二次方程的解法解析

(1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；(2)先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边长，进而求得三角形周长．例2

(1)用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变为（）A.(x−1)2=6B.(x+2)2=9C.(x+1)2=6D.(x−2)2=9(2)(易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（）

A.13B.15C.18D.13或18AA【典例讲解】7【例3】用适当的方法解下列方程．(1)2(x－1)2－4＝0；解方程：(1)x2−4x−1=0;【变式训练】(1)x2−4x−1=0;(2)(2x−1)2=(3−x)2;直接开方法：2x−1=±(3-x)，即2x−1=3−x或2x−1=−3+x，所以x1=，x2=−2．因式分解法：移项得(2x−1)2−(3−x)2=0.分解因式，得(2x−1−3+x)(2x−1+3−x)=0.即3x−4=0，或x+2=0.所以x1=，x2=−2．拓展：(x2−2x)2−5x2+10x+6=0．解：方程整理得(x2−2x)2−5(x2−2x)+6=0，设x2−2x=m，则原方程变为m2−5m+6=0，换元法解得m1=3，m2=2，当m=3时，x2−2x=3，解得x=3或−1，当m=2，x2−2x=2，解得x=1±，所以，原方程的解为x1=3，x2=−1，x3=1+，x4=1−．

考点三一元二次方程根的判别式1、一元二次方程根的判别式△=_________2、一元二次方程根的判别：(1)Δ>0(2)Δ=0(3)Δ<0方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实数根3、推广：（1）方程有一个根为0c=0（2）方程两根互为相反数b=0例4

已知关于x的一元二次方程x2−3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.B.m<2C.m≥0D.m<0A【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a，b，c的值.解析：根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式>0，即(-4)2−4×1×(-3m)=16+12m>0，解得，故选A.Δ

考点四

一元二次方程根与系数的关系1、若方程的两根为则2、若方程的两根为则3、一元二次方程根与系数的关系的前提条件是

________,即__________________.有实数根例5

已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝

．25解析：根据根与系数的关系可知，m+n=4，mn=−3.m2－mn＋n2＝m2+n2−mn=(m+n)2−3mn=42−3×(−3)=25.故填25.【重要变形】解：(1)根据题意得Δ=(2m)2−4(m2+m)≥0，解得m≤0.1.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)设x1，x2是方程的两根，且=12，求m的值．(2)根据题意得x1+x2=−2m，x1x2=m2+m，故m的值是−2．∴(−2m)2-2(m2+m)=12，解得m1=−2，m2=3(不合题意，舍去)．∵=12，∴(x1+x2)2−2x1x2=12，【变式训练】【变式训练】

考点五

一元二次方程的应用1、列方程解应用题的步骤为：答审设列解验2、列方程解应用题常见类型：面积问题平均增长（降低）率问题商品利润问题例6某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x(x+1)=1260 B．2x(x+1)=1260C．x(x−1)=1260×2 D．x(x−1)=1260D1.有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方为

．1+x+x（1+x）=121【变式训练】例7

某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨1元，平均每天就少售出2件.(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？解析：本题为销售中的利润问题，其基本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.单件利润销售量（件）每天利润（元）正常销售涨价销售432x−2032−2(x−24)(x−20)[32−2(x−24)]其等量关系：总利润=单件利润×销售量.解：(1)32−(x−24)×2=80−2x.(2)由题意可得(x−20)(80−2x)=150.【易错提示】根据实际情况及题目限制条件，对根进行取舍.128解得

x1=25，

x2=35.由题意x≤28，∴x=25，即售价应当为25元.22【变式训练】某工厂一种产品2018年的产量是300万件，计划2020年的产量达到363万件．假设2018年到2020年这种产品产量的年增长率相同．(1)求2018年到2020年这种产品产量的年增长率；(2)2019年这种产品的产量为多少万件？解：(1)设2018年到2020年这种产品产量的年增长率为x.由题意，得300(1＋x)2＝363，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(舍去)．故2018年到2020年这种产品产量的年增长率为10%.

(2)300×(1＋10%)＝330(万件)，故2019年这种产品的产量为330万件．例8某单位准备将院内一个长为30m，宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为平行四边形）解：设小道进出口的宽为xcm，

根据题意得(30−2x)(20−x)=532

x2−35x+34=0解得x1=1，

x2=34（舍去）答：小道进出口的宽度应为1米.

解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解.（注意：这里的横竖斜小路的的宽度都相等）平移转化方法总结1．已知关于x的方程(a－3)x|a－1|＋x－1＝0是一元二次方程，则a的值是(

)A．－1 B．2C．－1或3 D．32．已知关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2x＋k2－2k－3＝0的常数项等于0，则k的值等于(

)A．－1 B．3C．－1或3 D．－3AB易错集训3．方程(3x－4)2＝3x－4的根是______________________.4．如果关于x的一元二次方程(k＋2)x2－3x＋1＝0有实数根，那么k的取值范围是____________________.275．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0有实数根．(1)求n的取值范围；(2)若等腰三角形边长分别为a，b,2，且a，b是方程的两根，求n的值和三角形的周长．解：(1)依题意，得Δ＝(－6)2－4(n－1)≥0，即10－n≥0，解得n≤10.

(2)∵三角形是等腰三角形，∴有a＝2或b＝2和a＝b两种情况．①当a＝2或b＝2时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，∴x＝2.把x＝2代入x2－6x＋n－1＝0，得22－6×2＋n－1＝0，解得n＝9.当n＝9，方程的两根是2和4，而2、4、2不能组成三角形，故n＝9不合题意；②当a＝b时，方程x