难点解析-人教版8年级数学下册《平行四边形》重点解析练习题

人教版8年级数学下册《平行四边形》重点解析考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所形成的新四边形是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．三角形2、四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，且满足，则这个四边形是（）A．任意四边形 B．平行四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形3、如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（）A．2 B．4 C．4或 D．2或4、如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE5、已知中，，，CD是斜边AB上的中线，则的度数是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题6分，共计30分）1、一个矩形的两条对角线所夹的锐角是60°，这个角所对的边长为10cm，则该矩形的面积为_______．2、如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AB＝3，则矩形的周长为_____．3、如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于_____．4、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE翻折至△AFE，连接CF，则CF的长为___．5、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若，则菱形的周长为__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、D、分别是不等边三角形即的边、的中点．是平面上的一动点，连接、，、分别是、的中点，顺次连接点、、、．（1）如图，当点在内时，求证：四边形是平行四边形；（2）若四边形是菱形，点所在位置应满足什么条件？（直接写出答案，不需说明理由．）2、如图，是的中位线，延长到，使，连接．求证：．

3、如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F，作EG∥AB交CB于点G．（1）求证：△CEF是等腰三角形；（2）求证：CF＝BG；（3）若F是CG的中点，EF＝1，求AB的长．4、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积．5、在如图所示的4×3网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段．点A固定在格点上．（1）若a是图中能用网格线段表示的最小无理数，b是图中能用网格线段表示的最大无理数，则a＝，b＝，＝；（2）请在网格中画出顶点在格点上且边长为的所有菱形ABCD，你画出的菱形面积分别为，．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】先画出图形，再根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边平行且相等，那么其必为平行四边形，然后根据邻边互相垂直得出四边形是矩形．【详解】解：如图，∵、、、分别是、、、的中点，∴，，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴平行四边形是矩形，又与不一定相等，与不一定相等，矩形不一定是正方形，故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．2、B【解析】【分析】根据完全平方公式分解因式得到a=b，c=d，利用边的位置关系得到该四边形的形状．【详解】解：，，，，∴a=b，c=d，∵四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，∴c、d是对边，∴该四边形是平行四边形，故选：B．【点睛】此题考查了完全平方公式分解因式，平行四边形的判定方法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．3、D【解析】【分析】根据题意可知当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．【详解】解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP（SAS），∵AB=10cm，AE=6cm，∴BP=AE=6cm，AP=4cm，∴BQ=AP=4cm；∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，∴v的值为：4÷2=2cm/s；②当AP=BP时，△AEP≌△BQP（SAS），∵AB=10cm，AE=6cm，∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，∵5÷2=2.5s，∴2.5v=6，∴v=．故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．4、B【解析】【分析】先证明四边形BCED为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，又∵AD=DE，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；B、∵DE⊥DC，∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项符合题意；C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，判定四边形BCED为平行四边形是解题的关键．5、B【解析】【分析】由题意根据三角形的内角和得到∠A=36°，由CD是斜边AB上的中线，得到CD=AD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=54°，∴∠A=36°，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD，∴∠ACD=∠A=36°.故选：B．【点睛】本题考查直角三角形的性质与三角形的内角和，熟练掌握直角三角形的性质即直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．二、填空题1、【解析】【分析】先根据矩形的性质证明△ABC是等边三角形，得到，则，然后根据勾股定理求出，最后根据矩形面积公式求解即可．【详解】：如图所示，在矩形ABCD中，∠AOB=60°，，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，，∴△ABC是等边三角形，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质．2、##【解析】【分析】根据矩形性质得出AD＝BC，AB＝CD，∠BAD＝90°，OA＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AC＝BD，推出OA＝OB＝OC＝OD，得出等边三角形AOB，求出BD，根据勾股定理求出AD即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵∠AOB＝60°，OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝3，∴OA＝OB＝AB＝3，∴BD＝2OB＝6，在Rt△BAD中，AB＝3，BD＝6，由勾股定理得：AD＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝3，∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝6+6．故答案为：6+6．【点睛】本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，关键是求出AD的长．3、【解析】【分析】由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，∴∠PAC＝∠BCQ，在△ACP和△CBQ中，，∴△ACP≌△CBQ（AAS），∴AP＝CQ，PC＝BQ，∴PC+CQ＝AP+BQ＝PQ＝，∵AP∥BQ，∴∠OAP＝∠OBH，∵点O是斜边AB的中点，∴AO＝BO，在△APO和△BHO中，，∴△APO≌△BHO（AAS），∴AP＝BH，OP＝OH，∴BH+BQ＝AP+BQ＝PQ，∴PQ＝QH＝，∵∠PQH＝90°，∴PH＝PQ＝12，∵OP＝OH，∠PQH＝90°，∴OQ＝PH＝6．故答案为：6【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形和直角三角形的性质定理是解题的关键．4、3.6【解析】【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．【详解】解：连接BF，∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE＝，∴BH＝，则BF＝，∵点E为BC的中点，∴BE＝EC，∵△ABE沿AE翻折至△AFE，∴FE＝BE，∴FE＝BE=EC，∴∠CBF=∠EFB，∠BCF=∠EFC，∴2∠EFB+2∠EFC=180°，∴∠EFB+∠EFC=90°∴∠BFC＝90°，∴CF＝．故答案为：3.6．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．5、16【解析】【分析】由菱形的性质和三角形中位线定理即可得菱形的边长，从而可求得菱形的周长．【详解】∵四边形ABCD是菱形，且对角线相交于点O∴点O是AC的中点∵E为DC的中点∴OE为△CAD的中位线∴AD=2OE=2×2=4∴菱形的周长为：4×4=16故答案为：16【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形中位线定理、菱形周长等知识，掌握这些知识是解答本题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2），且点不在射线、射线上【分析】（1）根据三角形的中位线定理可证得，DE＝GF，即可证得结论；（2）根据三角形的中位线定理结合菱形的判定方法分析即可．【详解】（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴，DE＝BC，同理，，GF＝BC，∴，DE＝GF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）点O的位置满足两个要求：AO＝BC，且点O不在射线CD、射线BE上．理由如下：连接AO，由（1）得四边形DEFG是平行四边形，∵点D、G、F分别是AB、OB、OC的中点，∴，，当AO＝BC时，GF=DF，∴四边形DGFE是菱形．【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理，平行四边形、菱形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．2、见解析【分析】由已知条件可得DF=AB及DF∥AB，从而可得四边形ABFD为平行四边形，则问题解决．【详解】∵是的中位线∴DE∥AB，，AD=DC∴DF∥AB∵EF=DE∴DF=AB∴四边形ABFD为平行四边形∴AD=BF∴BF=DC【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质定理，掌握它们是解答本题的关键．当然本题也可以用三角形全等的知识来解决．3、（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）由余角的性质可得∠3=∠7=∠4，可得CE=CF，可得△CEF为等腰三角形；

（2）过E作EM∥BC交AB于M，得出平行四边形EMBG，推出BG=EM，由“AAS”可证△CAE≌△MAE，推出CE=EM，由三角形的面积关系可求GB的长；

（3）证明△CEF是等边三角形，求出BC，可得结论．【详解】（1）证明：过E作EM∥BC交AB于M，∵EG∥AB，∴四边形EMBG是平行四边形，∴BG＝EM，∠B＝∠EMD，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠1+∠7＝90°，∠2+∠3＝90°，∵AE平分∠CAB，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠7，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形；（2）证明：过E作EM∥BC交AB于M，则四边形EMBG是平行四边形，∴BG=EM，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠B＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B＝∠EMD，∵在△CAE和△MAE中，∴△CAE≌△MAE（AAS），∴CE＝EM，∵CE＝CF，EM＝BG，∴CF＝BG．（3）∵CD⊥AB，EG∥AB，∴EG⊥CD，∴∠CEG＝90°，∵CF＝FG，∴EF＝CF＝FG，∵CE＝CF，∴CE＝CF＝EF＝1，∴△CEF是等边三角形，∴∠ECF＝60°，∴BC＝3，∠B＝30°，∴∴Rt△ABC中∴解得．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．4、（1）见解