高三数学向量与复数试卷及答案

高三数学向量与复数试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(m\)的值为（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)2.复数\(z=3-4i\)（\(i\)为虚数单位）的模\(\vertz\vert\)是（）A.3B.4C.5D.73.向量\(\overrightarrow{a}=(2,-3)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,6)\)，且\(\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}\)共线，则\(x\)的值为（）A.-4B.4C.9D.-94.已知复数\(z\)满足\((1+i)z=2\)，则\(z\)的共轭复数\(\overline{z}\)为（）A.\(1+i\)B.\(1-i\)C.\(-1+i\)D.\(-1-i\)5.若向量\(\overrightarrow{a}=(1,1)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,-1)\)，\(\overrightarrow{c}=(-1,2)\)，则\(\overrightarrow{c}\)等于（）A.\(-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{3}{2}\overrightarrow{b}\)B.\(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{3}{2}\overrightarrow{b}\)C.\(\frac{3}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\)D.\(-\frac{3}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\)6.复数\(z=\frac{2i}{1-i}\)（\(i\)为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.已知\(\vert\overrightarrow{a}\vert=3\)，\(\vert\overrightarrow{b}\vert=4\)，且\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角为\(60^{\circ}\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)的值为（）A.\(6\sqrt{3}\)B.6C.\(12\sqrt{3}\)D.128.若复数\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）满足\(z^2=-3+4i\)，则\(z\)为（）A.\(1+2i\)B.\(1-2i\)C.\(\pm(1+2i)\)D.\(\pm(1-2i)\)9.已知向量\(\overrightarrow{AB}=(2,4)\)，\(\overrightarrow{AC}=(0,2)\)，则\(\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)等于（）A.\((-2,-2)\)B.\((2,2)\)C.\((1,1)\)D.\((-1,-1)\)10.复数\(z\)满足\(z(1-i)=1+i\)，则\(\vertz\vert\)的值为（）A.1B.\(\sqrt{2}\)C.2D.4二、多项选择题（每题2分，共20分）1.以下关于向量的说法正确的是（）A.零向量与任意向量平行B.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)C.向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线的充要条件是存在实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{b}\)D.两个非零向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)垂直的充要条件是\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)2.对于复数\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），下列说法正确的是（）A.当\(a=0\)时，\(z\)为纯虚数B.\(z\)的共轭复数\(\overline{z}=a-bi\)C.\(\vertz\vert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)D.复数\(z\)在复平面内对应的点为\((a,b)\)3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)满足以下条件，则\(m\)的值可以是（）A.若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，\(m=-4\)B.若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，\(m=1\)C.若\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角为\(45^{\circ}\)，\(m=6\)D.若\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{5}\)，\(m=0\)4.下列复数运算正确的是（）A.\((2+i)(2-i)=5\)B.\(\frac{1+i}{1-i}=i\)C.\(i^{2023}=-i\)D.\((1+i)^2=2i\)5.已知向量\(\overrightarrow{m}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{n}=(x_2,y_2)\)，则以下运算正确的是（）A.\(\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)B.\(\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)C.\(\lambda\overrightarrow{m}=(\lambdax_1,\lambday_1)\)（\(\lambda\inR\)）D.\(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=x_1x_2+y_1y_2\)6.若复数\(z_1=1+2i\)，\(z_2=3-4i\)，则（）A.\(z_1+z_2=4-2i\)B.\(z_1-z_2=-2+6i\)C.\(z_1z_2=11+2i\)D.\(\frac{z_1}{z_2}=-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\)7.关于向量的数量积，下列说法正确的是（）A.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=\vert\overrightarrow{a}\vert^{2}\)B.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)C.\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\)D.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\lt0\)，则\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角为钝角8.复数\(z\)满足\(\vertz-1\vert=1\)，则\(z\)可以是（）A.1B.\(1+i\)C.\(2\)D.\(i\)9.已知向量\(\overrightarrow{OA}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow{OB}=(-3,4)\)，则（）A.\(\overrightarrow{AB}=(-4,6)\)B.\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=2\sqrt{13}\)C.\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-11\)D.\(\overrightarrow{OA}\)与\(\overrightarrow{OB}\)夹角的余弦值为\(-\frac{\sqrt{65}}{65}\)10.对于复数\(z_1,z_2\)，下列说法正确的是（）A.\(\vertz_1z_2\vert=\vertz_1\vert\vertz_2\vert\)B.\(\vert\frac{z_1}{z_2}\vert=\frac{\vertz_1\vert}{\vertz_2\vert}\)（\(z_2\neq0\)）C.\((z_1+z_2)^2=z_1^2+2z_1z_2+z_2^2\)D.\((z_1z_2)^n=z_1^nz_2^n\)（\(n\inN^\)）三、判断题（每题2分，共20分）1.若向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)方向相反，则\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)是平行向量。（）2.复数\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），当\(b=0\)时，\(z\)是实数。（）3.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\gt0\)，则\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角为锐角。（）4.复数的模一定是非负实数。（）5.若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)，且\(x_1y_2-x_2y_1=0\)，则\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)。（）6.两个复数的和与差一定是复数。（）7.向量\(\overrightarrow{a}\)在向量\(\overrightarrow{b}\)上的投影向量一定与\(\overrightarrow{b}\)共线。（）8.若\(z^2\geq0\)，则复数\(z\)一定是实数。（）9.已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，若\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert=\vert\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\vert\)，则\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)。（）10.复数\(z\)与其共轭复数\(\overline{z}\)在复平面内对应的点关于实轴对称。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.已知向量\(\overrightarrow{a}=(3,-1)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,2)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)以及\(\vert\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\vert\)的值。答案：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=3\times1+(-1)\times2=1\)。\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(3+2\times1,-1+2\times2)=(5,3)\)，\(\vert\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{5^{2}+3^{2}}=\sqrt{34}\)。2.已知复数\(z=\frac{2+i}{1-i}\)，将其化简为\(a+bi\)（\(a,b\inR\)）的形式，并求\(\vertz\vert\)。答案：\(z=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)。\(\vertz\vert=\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)。3.已知向量\(\overrightarrow{AB}=(3,-2)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-1,4)\)，求\(\overrightarrow{BC}\)以及\(\overrightarrow{AB}\)与\(\overrightarrow{AC}\)夹角的余弦值。答案：\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=(-1-3,4+2)=(-4,6)\)。\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\times(-1)+(-2)\times4=-11\)，\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{13}\)，\(\vert\overrightarrow{AC}\vert=\sqrt{(-1)^{2}+4^{2}}=\sqrt{17}\)，夹角余弦值\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{AC}\vert}=-\frac{11}{\sqrt{221}}\)。4.已知复数\(z\)满足\((1+2i)z=4+3i\)，求\(z\)以及\(z\)的共轭复数\(\overline{z}\)。答案：\(z=\frac{4+3i}{1+2i}=\frac{(4+3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{10-5i}{5}=2-i\)，共轭复数\(\overline{z}=2+i\)。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论向量在物理中的应用，举例说明。答案：在物理中，向量可用于表示力、速度、位移等。如力的合成与分解，多个力作用于一点时，可按向量运算法则求合力；速度的合成与分解，船在水流中的航行速度，可分解为船自身速度和水流速度向量之和。2.复数在实际生活中有哪些应用？请举例并简要说明原理。答案：在交流电领域有应用。交流电的电压、电流等是随时间变化的，可用复数表示其大小和相位。原理是利用复数的运算特性，能方便地进行交流电路中电压、电流关系的分析计算，简化计算过程。3.向量的数量积与向量投影有怎样的关系？结合公式说明。答案：向量\(\overrightarrow{a}\)在向量\(\overrightarrow{b}\)上的投影为\(