高校高等数学考前复习题集锦

高校高等数学考前复习题集锦引言高等数学是高校理工科、经济学等专业的核心基础课程，其内容涵盖极限、导数、积分、微分方程、多元函数微积分等板块，既是后续专业课程的基石，也是考研、竞赛的重点考查内容。考前复习的关键在于梳理核心知识点、掌握典型题型解法、规避常见错误。本文结合高校教材重点与历年考试规律，整理了各章节的高频考点与代表性例题，并附详细解析与复习提示，旨在帮助学生高效巩固知识、提升解题能力。一、极限与连续极限是高等数学的“起点”，连续是极限的应用延伸，二者均为后续导数、积分的基础。常考题型包括：极限计算（等价无穷小、洛必达法则、泰勒展开）、间断点分类、闭区间连续函数性质（介值定理、最值定理）。（一）极限的计算核心知识点：等价无穷小替换（乘除运算）、洛必达法则（0/0或∞/∞型）、泰勒展开（高阶无穷小精度要求）、夹逼准则（n项和/积的极限）。例题1（综合计算）求极限：\(\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}-\cosx}{x\sinx}\)解析：1.先化简分母：\(x\sinx\simx^2\)（\(x\to0\)时，\(\sinx\simx\)）；2.分子展开为泰勒级数（保留到\(x^2\)项，因分母是\(x^2\)阶）：\(e^{x^2}=1+x^2+\frac{(x^2)^2}{2!}+o(x^4)=1+x^2+o(x^2)\)；\(\cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\)；3.分子相减：\(e^{x^2}-\cosx=(1+x^2)-(1-\frac{x^2}{2})+o(x^2)=\frac{3x^2}{2}+o(x^2)\)；4.代入极限：\(\lim_{x\to0}\frac{\frac{3x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}=\frac{3}{2}\)。复习提示：等价无穷小替换仅适用于乘除运算，加减运算需谨慎（如本题分子不能直接用\(e^{x^2}\sim1+x^2\)、\(\cosx\sim1-\frac{x^2}{2}\)，但展开后加减是允许的）；泰勒展开的精度由分母的阶数决定，需保证分子展开到与分母同阶或更高阶。例题2（夹逼准则）求极限：\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}\)解析：1.对通项进行放缩：\(\sqrt{1+0}\leq\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}\leq\sqrt{1+\frac{n}{n^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{n}}\)（因\(k\leqn\)）；2.求和得：\(\frac{1}{n}\cdotn\leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}\leq\frac{1}{n}\cdotn\cdot\sqrt{1+\frac{1}{n}}\)；3.取极限：左边\(\lim_{n\to\infty}1=1\)，右边\(\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}=1\)；4.由夹逼准则，极限为\(1\)。复习提示：夹逼准则适用于n项和/积的极限，关键是找到左右两个极限相等的放缩式；放缩时需注意“适度”，既不能放过头（导致左右极限不等），也不能缩太严（无法简化计算）。（二）间断点分类核心知识点：间断点分为第一类（可去、跳跃）和第二类（无穷、振荡）。判断步骤：1.求\(f(x)\)在\(x=a\)处的左极限\(f(a^-)\)与右极限\(f(a^+)\)；2.若\(f(a^-)=f(a^+)=f(a)\)，则连续；3.若\(f(a^-)=f(a^+)\neqf(a)\)，则可去间断点；4.若\(f(a^-)\neqf(a^+)\)，则跳跃间断点；5.若至少一个极限不存在（无穷或振荡），则第二类间断点。例题3判断函数\(f(x)=\frac{e^{1/x}-1}{e^{1/x}+1}\)在\(x=0\)处的间断点类型。解析：1.求左极限（\(x\to0^-\)时，\(1/x\to-\infty\)，\(e^{1/x}\to0\)）：\(f(0^-)=\frac{0-1}{0+1}=-1\)；2.求右极限（\(x\to0^+\)时，\(1/x\to+\infty\)，\(e^{1/x}\to+\infty\)，分子分母同除以\(e^{1/x}\)）：\(f(0^+)=\frac{1-e^{-1/x}}{1+e^{-1/x}}=\frac{1-0}{1+0}=1\)；3.因\(f(0^-)\neqf(0^+)\)，故\(x=0\)为跳跃间断点（第一类）。复习提示：含\(e^{1/x}\)、\(\arctan(1/x)\)的函数在\(x=0\)处的左右极限需分别计算；可去间断点可通过补充定义使函数连续（如\(f(x)=\frac{\sinx}{x}\)在\(x=0\)处补充\(f(0)=1\)）。（三）闭区间连续函数性质核心知识点：介值定理（若\(f(x)\)在\([a,b]\)连续，且\(f(a)\neqf(b)\)，则对介于\(f(a)\)与\(f(b)\)之间的任意值\(c\)，存在\(\xi\in(a,b)\)使\(f(\xi)=c\)）；最值定理（\(f(x)\)在\([a,b]\)连续，则必取得最大值与最小值）。例题4（介值定理应用）设\(f(x)\)在\([0,1]\)连续，且\(f(0)=f(1)\)，证明：存在\(\xi\in[0,1/2]\)，使得\(f(\xi)=f(\xi+1/2)\)。解析：1.构造辅助函数：令\(g(x)=f(x)-f(x+1/2)\)，则\(g(x)\)在\([0,1/2]\)连续；2.计算端点值：\(g(0)=f(0)-f(1/2)\)，\(g(1/2)=f(1/2)-f(1)=f(1/2)-f(0)\)（因\(f(0)=f(1)\)）；3.若\(g(0)=0\)，则\(\xi=0\)满足条件；若\(g(0)\neq0\)，则\(g(0)\cdotg(1/2)=-[f(0)-f(1/2)]^2<0\)；4.由介值定理（零点存在定理），存在\(\xi\in(0,1/2)\)使\(g(\xi)=0\)，即\(f(\xi)=f(\xi+1/2)\)。复习提示：介值定理的关键是构造辅助函数，通常将结论变形为\(g(\xi)=0\)的形式；需注意区间的选取（本题中\(x+1/2\leq1\)，故\(x\leq1/2\)）。二、导数与微分导数是“变化率”的数学表达，微分是“线性近似”的工具，二者是微积分的核心概念。常考题型包括：导数定义求极限、隐函数/参数方程求导、高阶导数、切线与法线方程。（一）导数的定义核心知识点：\(f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\toa}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)。注意：导数定义是极限存在的充要条件，左右导数相等时函数可导。例题5（导数定义求极限）设\(f'(a)=2\)，求\(\lim_{h\to0}\frac{f(a+2h)-f(a-h)}{h}\)。解析：1.将分子拆分为两项：\(f(a+2h)-f(a)+f(a)-f(a-h)\)；2.分项求极限：\(\lim_{h\to0}\frac{f(a+2h)-f(a)}{h}=2\lim_{h\to0}\frac{f(a+2h)-f(a)}{2h}=2f'(a)\)；\(\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}=f'(a)\)；3.合并得：\(2f'(a)+f'(a)=3f'(a)=6\)。复习提示：导数定义的极限式中，分子必须是“函数在\(a\)点的增量”，分母是“自变量的增量”，且二者增量的系数需匹配（如本题中\(2h\)对应分母的\(h\)，需乘以2）；若函数在\(a\)点可导，则上述极限存在；反之，若极限存在，函数不一定可导（如\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)处，左导数-1，右导数1，极限不存在）。（二）隐函数与参数方程求导核心知识点：隐函数：方程\(F(x,y)=0\)两边对\(x\)求导，注意\(y\)是\(x\)的函数（即\(y'=-\frac{F_x}{F_y}\)）；参数方程：\(\begin{cases}x=\phi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}\)，则\(\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\)，二阶导数\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\right)\cdot\frac{1}{\phi'(t)}\)。例题6（隐函数二阶导数）设\(y=y(x)\)由方程\(e^y+xy=e\)确定，求\(y''(0)\)。解析：1.求一阶导数：方程两边对\(x\)求导，得\(e^yy'+y+xy'=0\)，解得\(y'=-\frac{y}{e^y+x}\)；2.求二阶导数：对\(y'\)再求导，\(y''=-\frac{y'(e^y+x)-y(e^yy'+1)}{(e^y+x)^2}\)；3.计算\(x=0\)时的\(y\)值：代入原方程，\(e^y=e\)，得\(y=1\)；4.计算\(y'(0)\)：\(y'(0)=-\frac{1}{e^1+0}=-e^{-1}\)；5.代入\(y''\)表达式：\(y''(0)=-\frac{(-e^{-1})(e+0)-1(e\cdot(-e^{-1})+1)}{(e+0)^2}=-\frac{(-1)-1(-1+1)}{e^2}=-\frac{-1}{e^2}=e^{-2}\)。复习提示：隐函数求导时，每一步都要记住\(y\)是\(x\)的函数，需用链式法则；二阶导数计算时，避免直接对\(y'\)的表达式求导（易出错），建议分步计算分子中的各项。（三）切线与法线方程核心知识点：曲线\(y=f(x)\)在点\((a,f(a))\)处的切线斜率为\(f'(a)\)，切线方程为\(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)；法线方程为\(y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)\)（\(f'(a)\neq0\)）。例题7求曲线\(y=x\lnx\)在点\((1,0)\)处的切线与法线方程。解析：1.求导数：\(y'=\lnx+1\)；2.切线斜率：\(y'(1)=\ln1+1=1\)，切线方程为\(y-0=1\cdot(x-1)\)，即\(y=x-1\)；3.法线斜率：\(-\frac{1}{y'(1)}=-1\)，法线方程为\(y-0=-1\cdot(x-1)\)，即\(y=-x+1\)。复习提示：切线与法线的斜率互为负倒数（若斜率存在）；若函数在某点不可导（如\(y=|x|\)在\(x=0\)处），切线可能为垂直于\(x\)轴的直线（如\(x=0\)）。三、积分学积分学分为不定积分（原函数）与定积分（累积和），是高等数学的“重点与难点”。常考题型包括：换元积分法、分部积分法、定积分几何应用（面积、体积）、反常积分收敛性判断。（一）不定积分核心知识点：换元积分法：第一类换元（凑微分，如\(\intf(ax+b)dx=\frac{1}{a}\intf(ax+b)d(ax+b)\)）、第二类换元（三角代换、根式代换，如\(\sqrt{a^2-x^2}\)用\(x=a\sint\)，\(\sqrt{x^2+a^2}\)用\(x=a\tant\)）；分部积分法：\(\intudv=uv-\intvdu\)，选取\(u\)的顺序：“反（反三角函数）、对（对数函数）、幂（幂函数）、指（指数函数）、三（三角函数）”（即“反对幂指三”，排在前面的选作\(u\)）。例题8（第二类换元积分）求\(\int\sqrt{4-x^2}dx\)。解析：1.令\(x=2\sint\)（\(t\in[-\pi/2,\pi/2]\)），则\(dx=2\costdt\)，\(\sqrt{4-x^2}=2\cost\)；2.代入积分得：\(\int2\cost\cdot2\costdt=4\int\cos^2tdt\)；3.用三角恒等式化简：\(\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}\)，故积分变为\(4\cdot\frac{1}{2}\int(1+\cos2t)dt=2(t+\frac{1}{2}\sin2t)+C=2t+\sin2t+C\)；4.回代\(t=\arcsin(x/2)\)，\(\sin2t=2\sint\cost=2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}=\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}\)；5.最终结果：\(2\arcsin(x/2)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+C\)。复习提示：三角代换后需注意\(t\)的取值范围，确保根号开出来为正；回代时可借助直角三角形（如\(x=2\sint\)，则邻边为\(\sqrt{4-x^2}\)，斜边为2），方便计算\(\cost\)、\(\tant\)等。例题9（分部积分法）求\(\intxe^xdx\)。解析：1.选取\(u=x\)（幂函数），\(dv=e^xdx\)（指数函数），则\(du=dx\)，\(v=e^x\)；2.应用分部积分公式：\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C\)。复习提示：分部积分法常用于“多项式×指数/三角函数”“多项式×对数/反三角函数”的积分；若一次分部积分后仍有积分，可重复使用（如\(\intx^2e^xdx\)需分部积分两次）。（二）定积分核心知识点：微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）：\(\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\)，其中\(F(x)\)是\(f(x)\)的原函数；定积分换元法：\(\int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi'(t)dt\)，其中\(\phi(\alpha)=a\)，\(\phi(\beta)=b\)，\(\phi(t)\)在\([\alpha,\beta]\)单调；定积分几何应用：平面图形面积\(S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx\)，旋转体体积\(V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx\)（绕\(x\)轴）。例题10（定积分换元）求\(\int_0^1x\sqrt{1-x^2}dx\)。解析：1.方法一（凑微分）：令\(u=1-x^2\)，则\(du=-2xdx\)，当\(x=0\)时\(u=1\)，\(x=1\)时\(u=0\)；积分变为\(-\frac{1}{2}\int_1^0\sqrt{u}du=\frac{1}{2}\int_0^1u^{1/2}du=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}|_0^1=\frac{1}{3}\)；2.方法二（三角代换）：令\(x=\sint\)，\(t\in[0,\pi/2]\)，则\(dx=\costdt\)，\(\sqrt{1-x^2}=\cost\)；积分变为\(\int_0^{\pi/2}\sint\cost\cdot\costdt=\int_0^{\pi/2}\sint\cos^2tdt\)；令\(v=\cost\)，\(dv=-\sintdt\)，则积分变为\(-\int_1^0v^2dv=\int_0^1v^2dv=\frac{1}{3}\)。复习提示：定积分换元时，上下限必须同步替换（方法一中\(x=0\)对应\(u=1\)，\(x=1\)对应\(u=0\)，故积分上下限交换）；凑微分法是定积分换元的“首选”，因其计算量小（如本题方法一）。例题11（定积分几何应用）求曲线\(y=x^2\)与\(y=\sqrt{x}\)围成的平面图形面积及绕\(x\)轴旋转的体积。解析：1.求交点：解方程组\(x^2=\sqrt{x}\)，得\(x=0\)或\(x=1\)，故积分区间为\([0,1]\)；2.面积计算：\(S=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx=\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{3}x^3\right)|_0^1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)；3.体积计算：绕\(x\)轴旋转，体积为两曲线旋转体体积之差，即\(V=\pi\int_0^1[(\sqrt{x})^2-(x^2)^2]dx=\pi\int_0^1(x-x^4)dx=\pi\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{5}x^5\right)|_0^1=\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)=\frac{3\pi}{10}\)。复习提示：面积计算时，需确定“谁在上谁在下”（\(\sqrt{x}\geqx^2\)在\([0,1]\)），故用上方函数减下方函数；旋转体体积计算时，绕\(x\)轴用“圆盘法”（\(\pi[f(x)]^2\)），绕\(y\)轴用“壳层法”（\(2\pixf(x)\)），需根据曲线方程选择合适方法。（三）反常积分核心知识点：反常积分分为无穷区间（如\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)）和无界函数（如\(\int_0^af(x)dx\)，\(f(x)\)在\(x=0\)处无界）。收敛性判断：无穷区间：若\(\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx\)存在，则收敛，否则发散；无界函数：若\(\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{\epsilon}^af(x)dx\)存在，则收敛，否则发散。例题12判断反常积分\(\int_0^{+\infty}e^{-x}dx\)与\(\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)的收敛性，并计算收敛的积分。解析：1.\(\int_0^{+\infty}e^{-x}dx=\lim_{b\to+\infty}\int_0^be^{-x}dx=\lim_{b\to+\infty}(-e^{-x})|_0^b=\lim_{b\to+\infty}(1-e^{-b})=1\)，收敛；2.\(\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{\epsilon}^1x^{-1/2}dx=\lim_{\epsilon\to0^+}(2\sqrt{x})|_{\epsilon}^1=\lim_{\epsilon\to0^+}(2-2\sqrt{\epsilon})=2\)，收敛。复习提示：反常积分的计算需先取极限，再计算定积分；常见收敛的反常积分：\(\int_a^{+\infty}e^{-kx}dx\)（\(k>0\)）、\(\int_0^ax^pdx\)（\(p<1\)）、\(\int_a^{+\infty}x^{-p}dx\)（\(p>1\)）。四、微分方程微分方程是“描述变化规律”的数学工具，常考题型包括：一阶微分方程（可分离变量、线性）、二阶常系数线性微分方程（齐次与非齐次）。（一）一阶微分方程核心知识点：可分离变量方程：\(\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\)，解法为\(\int\frac{1}{g(y)}dy=\intf(x)dx\)；线性微分方程：\(\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\)，通解为\(y=e^{-\intP(x)dx}\left(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C\right)\)（常数变易法）。例题13（可分离变量方程）求微分方程\(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x(1+\lnx)}\)的通解。解析：1.分离变量：\(\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x(1+\lnx)}\)；2.两边积分：左边\(\int\frac{1}{y}dy=\ln|y|+C_1\)；右边令\(u=1+\lnx\)，则\(du=\frac{1}{x}dx\)，积分变为\(\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C_2=\ln|1+\lnx|+C_2\)；3.合并常数：\(\ln|y|=\ln|1+\lnx|+C\)（\(C=C_2-C_1\)）；4.去掉对数：\(y=C(1+\lnx)\)（\(C=\pme^C\)，\(C=0\)时对应\(y=0\)，也是解）。复习提示：分离变量时需注意\(g(y)\neq0\)，但最后需检查\(g(y)=0\)是否为解（如本题\(y=0\)是解，已包含在通解中）；积分后若有对数，需注意绝对值符号（可通过常数\(C\)吸收）。例题14（线性微分方程）求微分方程\(\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=x^2\)的通解。解析：1.识别类型：\(P(x)=\frac{1}{x}\)，\(Q(x)=x^2\)；2.计算积分因子：\(e^{\intP(x)dx}=e^{\int\frac{1}{x}dx}=e^{\lnx}=x\)；3.代入通解公式：\(y=e^{-\intP(x)dx}\left(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C\right)=\frac{1}{x}\left(\intx^2\cdotxdx+C\right)=\frac{1}{x}\left(\intx^3dx+C\right)\)；4.计算积分：\(\intx^3dx=\frac{1}{4}x^4+C\)，故通解为\(y=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{4}x^4+C\right)=\frac{1}{4}x^3+\frac{C}{x}\)。复习提示：线性微分方程的关键是积分因子的计算，需确保\(P(x)\)的积分正确；通解中的常数\(C\)需保留，若有初始条件（如\(y(1)=1\)），可代入求\(C\)得特解。（二）二阶常系数线性微分方程核心知识点：齐次方程：\(y''+py'+qy=0\)，特征方程为\(r^2+pr+q=0\)，根为\(r_1,r_2\)；实根不等：\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)；实根相等：\(y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}\)；复根：\(r=\alpha\pmi\beta\)，\(y=e^{\alphax}(C_1\cos\betax+C_2\sin\betax)\)；非齐次方程：\(y''+py'+qy=f(x)\)，通解为齐次解加特解（\(y=y_h+y_p\)），特解\(y_p\)的形式由\(f(x)\)决定（如\(f(x)=e^{kx}\)，则\(y_p=Ae^{kx}\)，若\(k\)是特征根，需乘以\(x^m\)，\(m\)为根的重数）。例题15（二阶常系数非齐次方程）求微分方程\(y''-2y'+y=e^x\)的通解。解析：1.求齐次方程通解：特征方程\(r^2-2r+1=0\)，根为\(r_1=r_2=1\)（二重实根），故齐次解\(y_h=(C_1+C_2x)e^x\)；2.求非齐次特解：\(f(x)=e^x\)，\(k=1\)是二重特征根，故设\(y_p=Ax^2e^x\)；3.代入方程计算\(A\)：\(y_p'=A(2xe^x+x^2e^x)=Ae^x(x^2+2x)\)；\(y_p''=Ae^x(x^2+2x)+Ae^x(2x+2)=Ae^x(x^2+4x+2)\)；代入方程：\(y_p''-2y_p'+y_p=Ae^x(x^2+4x+2)-2Ae^x(x^2+2x)+Ae^xx^2=Ae^x(x^2+4x+2-2x^2-4x+x^2)=2Ae^x\)；等于右边\(e^x\)，故\(2A=1\)，\(A=1/2\)；4.通解：\(y=y_h+y_p=(C_1+C_2x)e^x+\frac{1}{2}x^2e^x\)。复习提示：非齐次特解的形式需根据\(f(x)\)与特征根的关系调整（如\(f(x)=\sin\betax\)，若\(i\beta\)是特征根，需乘以\(x\)）；代入特解时，需仔细计算导数（尤其是高次多项式乘指数函数），避免计算错误。五、多元函数微积分多元函数微积分是一元函数的推广，常考题型包括：偏导数与全微分、复合函数求导、多元函数极值、二重积分（直角坐标与极坐标）。（一）偏导数与全微分核心知识点：偏导数：\(f_x(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}\)，\(f_y(x_0,y_0)\)类似（固定一个变量，对另一个变量求导）；全微分：若\(z=f(x,y)\)在\((x_0,y_0)\)处可微，则\(dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy\)，可微的充分条件是\(f_x\)、\(f_y\)在该点连续。例题16（偏导数与全微分）设\(z=x^2y+e^{xy}\)，求\(f_x(1,0)\)、\(f_y(1,0)\)及\(dz|_{(1,0)}\)。解析：1.求\(f_x\)：对\(x\)求导，\(y\)视为常数，\(f_x=2xy+ye^{xy}\)；代入\((1,0)\)：\(f_x(1,0)=2\cdot1\cdot0+0\cdote^{0}=0\)；2.求\(f_y\)：对\(y\)求导，\(x\)视为常数，\(f_y=x^2+xe^{xy}\)；代入\((1,0)\)：\(f_y(1,0)=1^2+1\cdote^{0}=1+1=2\)；3.全微分：\(dz|_{(1,0)}=f_x(1,0)dx+f_y(1,0)dy=0\cdotdx+2\cdotdy=2dy\)。复习提示：偏导数计算时，需明确“对哪个变量求导”，另一个变量视为常数；全微分的计算需先求偏导数，再代入点的坐标。（二）复合函数求导核心知识点：链式法则——若\(z=f(u,v)\)，\(u=\phi(x,y)\)，\(v=\psi(x,y)\)，则：\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialf}{\partialu}\cdot\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialf}{\partialv}\cdot\frac{\partialv}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{\partialf}{\partialu}\cdot\frac{\partialu}{\partialy}+\frac{\partialf}{\partialv}\cdot\frac{\partialv}{\partialy}\)。例题17（复合函数求导）设\(z=e^{u}\sinv\)，\(u=xy\)，\(v=x+y\)，求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)、\(\frac{\partialz}{\partialy}\)。解析：1.计算偏导数：\(\frac{\partialf}{\partialu}=e^u\sinv\)，\(\frac{\partialf}{\partialv}=e^u\cosv\)；\(\frac{\partialu}{\partialx}=y\)，\(\frac{\partialu}{\partialy}=x\)；\(\frac{\partialv}{\partialx}=1\)，\(\frac{\partialv}{\partialy}=1\)；2.应用链式法则：\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialf}{\partialu}\cdot\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partial