专题22容斥原理（解析）

20222023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义专题22容斥原理知识精讲知识精讲专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A＋B－AB。在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。典例分析典例分析【典例分析01】五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？【思路引导】用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。【典例分析02】某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名教师？【思路引导】把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。【典例分析03】学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？【思路引导】两个小组都参加的有25人，因此，至少参加这两种小组的一个小组的人数是84＋86－25=144人，所以，这两个小组都不参加的人数是250－144=106人。【典例分析04】实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？【思路引导】由“16人不是四年级的”可知：16人是五年级和其他年级的；由“12人不是五年级的”可知：12人是四年级和其它年级的。用16＋12可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：（16＋12－20）÷2=4人，该校参加书法比赛获奖的总人数是4＋20=24人。【典例分析05】在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？【思路引导】显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此，75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了：75－20=55人。真题演练真题演练一．选择题（共7小题，满分14分，每小题2分）1．（2分）（2021春•灵台县期末）学校开设两个兴趣小组，三（3）班42人都报名参加了活动，其中27人参加书画小组，24人参加棋艺小组，两个小组都参加的有（）A．7人 B．8人 C．9人 D．10人【思路引导】用27+24求出至少参加一个兴趣小组的同学的总人数，再减去报名参加的总人数就是两个小组都参加的人数．【规范解答】解：27+24﹣42，＝51﹣42，＝9（人）；答：两个小组都参加的有9人，故选：C．【考点评析】解答此题的关键是根据容斥原理，找出对应量，列式解决问题．2．（2分）（2022秋•徽县期末）三年级同学参加跳绳比赛（如图），参加这两个项目的一共有多少人？下面解答正确的是（）A．25+42 B．25+42+6 C．25+42﹣6【思路引导】参加并脚跳的人数+参加双人跳的人数﹣两项都参加的人数＝总人数。【规范解答】解：25+42﹣6＝67﹣6＝61（人）答：参加这两个项目的一共有61人。故选：C。【考点评析】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。3．（2分）（2022秋•吉首市期末）同学们去动物园参观，每人至少参观了大象馆和猴子馆中的一个馆，参观大象馆的有10人，参观猴子馆的有15人，两个馆都参观的有6人。一共有（）人去动物园参观。A．25 B．19 C．31【思路引导】参观大象馆的人数+参观猴子馆的人数﹣两个馆都参观的人数＝去动物园参观的总人数。【规范解答】解：10+15﹣6＝25﹣6＝19（人）答：一共19人去动物园参观。故选：B。【考点评析】此题主要考查了容斥原理的应用，A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。4．（2分）（2022春•裕华区期末）五（1）班有18名学生喜欢踢足球，22名学生喜欢乒乓球，其中有5人既喜欢踢足球又喜欢打乒乓球，有6人既不喜欢踢足球又不喜欢打乒乓球，五（1）班一共有（）名学生。A．41 B．40 C．45【思路引导】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B+既不是A又不是B解答即可。【规范解答】解：18+22﹣5+6＝40﹣5+6＝41（名）答：五（1）班一共有41名学生。故选：A。【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。5．（2分）（2022春•栾城区期末）光明小学五年级一班有49名同学。学校组织同学报名参加活动，参加音乐活动的有36人，参加美术活动的有31人，两种活动都参加的有25人，也有同学两种活动都没有参加，都没有参加的同学有（）人。A．42 B．5 C．7【思路引导】根据容斥原理，总人数﹣参加音乐活动的人数+参加美术活动的人数﹣两种活动都参加的人数＝两种活动都没有参加的人数。【规范解答】解：49﹣（36+31﹣25）＝49﹣42＝7（人）答：都没有参加的同学有7人。故选：C。【考点评析】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。6．（2分）（2021春•大名县期末）五（一）班有40名学生，25名学生参加了音乐小组，23名学生参加了美术小组，两个小组都参加的学生有（）名。A．8 B．15 C．17 D．18【思路引导】因为两个小组都参加的学生是参加音乐小组和美术小组的学生的重叠部分，所以根据容斥原理列式为：25+23﹣40＝8（名）；据此解答。【规范解答】解：25+23﹣40＝48﹣40＝8（名）答：两个小组都参加的学生有8名。故选：A。【考点评析】本题考查了容斥原理，关键是理解40人包括三部分的人数，知识点是：总人数＝（A+B）﹣既A又B。7．（2分）（2022秋•汇川区期末）某次比赛中三（1）班获得“阅读之星”称号的有22人，获得“速算小能手”称号的有35人，两种称号都获得的有15人，全班每人至少获得了一种称号。三（1）班一共有（）人。A．57 B．62 C．42【思路引导】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。【规范解答】解：22+35﹣15＝57﹣15＝42（人）答：三（1）班一共有42人。故选：C。【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）8．（2分）（2022秋•勃利县期末）三年级同学参加跳绳和拍球比赛，参加跳绳比赛的有18人，参加拍球比赛的有12人，两项比赛都参加的有2人，参加跳绳和拍球比赛的一共有28人。【思路引导】参加跳绳比赛的人数+参加拍球比赛的人数﹣两项比赛都参加的人数＝参加跳绳和拍球比赛的总人数，依此列式并计算。【规范解答】解：18+12﹣2＝30﹣2＝28（人）答：参加跳绳和拍球比赛的一共有28人。故答案为：28。【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。9．（2分）（2022秋•曾都区期末）同学们去动物园游玩，参观大象馆的有38人，参观熊猫馆的有45人，两个馆都参观的有15人，参观大象馆和熊猫馆的一共有68人。【思路引导】根据题意可知，参观大象馆的人数+参观熊猫馆的人数﹣两个馆都参观的人数＝参观大象馆和熊猫馆的总人数，依此列式并计算即可。【规范解答】解：38+45﹣15＝83﹣15＝68（人）答：参观大象馆和熊猫馆的一共有68人。故答案为：68。【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。10．（2分）（2022秋•金乡县期末）三年级参加两个竞赛组的人数如图，参加绘画组有21人，两个组都参加的有6人。三年级一共有34人参加了这两个组的竞赛。【思路引导】图中的“13人”表示的是只参加书法组的人数，“15人”表示的是只参加绘画组的人数，“6人”表示的是两组都参加的人数。参加书法组的人数＝只参加书法组人数+两组都参加的人数；参加绘画组的人数＝只参加绘画组人数+两组都参加的人数；参加总人数＝只参加书法组人数+只参加绘画组人数+两组都参加的人数。据此解答。【规范解答】解：15+6＝21（人）13+6+15＝19+15＝34（人）答：三年级参加两个竞赛组的人数如图，参加绘画组有21人，两个组都参加的有6人。三年级一共有34人参加了这两个组的竞赛。故答案为：21，6，34。【考点评析】本题主要考查学生对集合问题的掌握。解决此题的关键是理解图中每部分间的关系。11．（2分）（2022春•迁安市期末）五（1）班订阅《少年文摘》的有19人，订阅《学与玩》的有24人，两种都订的有13人。问至少订阅一本杂志的有30人。【思路引导】根据容斥原理，订阅《少年文摘》的人数+订阅《学与玩》的人数﹣两种都订的人数＝至少订阅一本杂志的人数。【规范解答】解：19+24﹣13＝43﹣13＝30（人）答：至少订阅一本杂志的有30人。故答案为：30。【考点评析】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。12．（2分）（2022春•正定县期末）五一班同学都参加了周六或周日课外活动。周六有15人参加，周日有18人参加；两天都参加的有5人。五一班共有28人。【思路引导】先用15加上18求出周六和周日参加的人数和，再减去两天都参加的5人（即重复计算的人数），就是五一班的总人数。【规范解答】解：15+18﹣5＝33﹣5＝28（人）答：五一班共有28人。故答案为：28。【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。13．（2分）（2022春•高邑县期末）三（2）班参加唱歌兴趣小组的有20人，参加舞蹈兴趣小组的有15人，两个小组都参加的有13人，只参加一个兴趣小组的有9人。【思路引导】用20减去13求出只参加唱歌兴趣小组的人数；用15减去13求出只参加舞蹈兴趣的人数，然后把这两部的人数相加即可。【规范解答】解：（20﹣13）+（15﹣13）＝7+2＝9（人）答：只参加一个兴趣小组的有9人。故答案为：9。【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。14．（2分）（2021春•武侯区期末）一个学校，去年会游泳的学生比不会游泳学生的2倍多60人，今年又有160人学会了游泳，这时会游泳的学生正好是不会游泳学生的5倍。这个学校有学生1080人。【思路引导】设去年不会游泳的有x人，则去年会游泳的有（2x+60）人，然后今年会游泳的有（2x+60+160）人，不会游泳的有（x﹣160）人，再根据这时会游泳的学生正好是不会游泳学生的5倍，列方程解的即可。【规范解答】解：设去年不会游泳的有x人，则去年会游泳的有（2x+60）人，（2x+60+160）＝5（x﹣160）2x+220＝5x﹣8003x＝1020x＝340340×2+60＝740（人）340+740＝1080（人）答：这个学校有学生1080人。故答案为：1080。【考点评析】解答本题关键是弄清数量关系，设出未知数列方程解答。15．（2分）（2022秋•丰南区期末）三年级同学参加兴趣活动小组。参加合唱组的有18人，参加舞蹈组的有21人，这两个小组都参加的有5人，参加合唱组和舞蹈组的一共有34人。【思路引导】由题意，用18加21就是只参加合唱小组、只参加舞蹈小组以及两个小组都参加的人数和，再减去重复计算的两个小组都参加的人数，即得参加合唱组和舞蹈组总人数。【规范解答】解：18+21﹣5＝39﹣5＝34（人）答：参加合唱组和舞蹈组的一共有34人。故答案为：34。【考点评析】解答此题注意18加21把两个小组都参加的人数多算了一次，所以要减去。16．（2分）（2021秋•贵州期末）三（2）班参加跳绳的有12人，参加踢毽子的有25人，两项都参加的有8人。三（2）班参加体育活动的有29人。【思路引导】根据容斥问题公式：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数，求三（2）班参加体育活动的人数即可。【规范解答】解：12+25﹣8＝37﹣8＝29（人）答：三（2）班参加体育活动的有29人。故答案为：29。【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。17．（2分）（2020春•定州市期末）五（1）班有42名学生，其中28人订阅了《快乐作文》，20人订阅了《少年素质报》，两种刊物都订阅的有8人，两种刊物都没有订阅的有2人．【思路引导】因为有8人两种刊物都订阅了是重叠部分的人数，所以根据容斥原理求至少参加订阅一种的人数是：28+20﹣8＝40（人），然后用42减去40就是两种刊物都没有订阅的总人数；据此解。【规范解答】解：42﹣（28+20﹣8）＝42﹣40＝2（人）答：两种刊物都没有订阅的有2人。故答案为：2人。【考点评析】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。三．应用题（共11小题，满分66分，每小题6分）18．（6分）（2022秋•历城区期末）某小学共有学生540人，在一次自愿参加的线上心理辅导讲座活动中，共有50人向辅导老师进行了提问。提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问，那么，既用文字又用语音提问的有多少人？【思路引导】根据“提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问”，可得两者的总人数：36+25＝61（人），再减去总人数50就是重复计算的人数，也就是既用文字又用语音提问的人数。【规范解答】解：36+25﹣50＝61﹣50＝11（人）答：既用文字又用语音提问的有11人。【考点评析】本题是典型的容斥原理问题，关键是熟练掌握容斥原理的解题规律：既A又B＝（A+B）﹣总人数。19．（6分）（2022春•涿州市期末）五年级课后兴趣班有36人，其中喜欢踢足球的有19人，喜欢打篮球的有21人，既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的有4人，那么既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有几人？【思路引导】既喜欢踢足球又喜欢打篮球的人数＝喜欢踢足球的人数+喜欢打篮球的人数﹣总人数+既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的人数。据此计算即可。【规范解答】解：19+21﹣36+4＝40﹣36+4＝8（人）答：既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有8人。【考点评析】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。20．（6分）（2021春•鹿城区校级期中）一次数学测验只有两道题，结果全班有12人全做对，其中第一道题有24人做对，第二道题有20人做错。两道题都做错的有多少人？【思路引导】第一道题有24人做对，包括只做对一道和两道都做对的，因此只做对第一道题的有（24﹣12）人；已知第二道题有20人做错，也包括只做错一道和两道都做错的，则两道都做错的有[20﹣（24﹣12）]人。【规范解答】解：20﹣（24﹣12）＝20﹣12＝8（人）答：两道题都做错的有8人。【考点评析】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。21．（6分）（2022•双峰县）一次竞赛，其中五年级和六年级共20人获奖，在获奖者中有16人不是五年级的，有12人不是六年级的，该校有多少人获奖？【思路引导】由题意可知：将三个数据相加，则每个年级的获奖人数都被加了两次，用这个和除以2，即为获奖总人数。【规范解答】解：（20+16+12）÷2＝48÷2＝24（人）答：该校有24人获奖。【考点评析】此题关键是弄明白三个数据中所包含的年级，相加后每个年级都被加了两次。22．（6分）（2020秋•虎林市期末）五年级一班有40人，他们都参加了英语课外兴趣小组或信息技术课小组，已知参加了英语课外小组的有32位同学，参加了信息技术课外小组的有20位同学，那么，两个小组都参加的同学有多少位？【思路引导】由容斥原理可知：参加了英语课外小组的有32位同学加上参加了信息技术课外小组的有20位同学，再减去40人就是两个小组都参加的同学．【规范解答】解：32+20﹣40＝52﹣40＝12（位）答：两个小组都参加的同学12位．【考点评析】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．23．（6分）（2021春•合山市期末）六一儿童节，学校举行游园活动，五（1）班有25人参加遮眼摸鼻活动，还有30人参加投圈活动，其中有15人是两项都参加。观察下图，完成填空。（1）图中字母C表示的是两项都参加的人数。（2）五（1）班参加两项活动共40人。【思路引导】（1）根据图示可得：图中字母C表示的是两项都参加的人数。（2）参加遮眼摸鼻活动的人数加参加投圈活动的人数，再减两项都参加的人数即可求解。【规范解答】解：（1）图中字母C表示的是两项都参加的人数。（2）25+30﹣15＝55﹣15＝40（人）答：五（1）班参加两项活动共40人。故答案为：两项都参加的人数；40。【考点评析】本题考查了容斥原理，关键是理解重叠部分是两项都参加的人数，知识点是：既A又B＝（A+B）﹣总人数。24．（6分）（2022秋•讷河市期末）一次数学测验．全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道题．问两道都做对的有几人？【思路引导】用做对第一道题的人数加上第二道题的人数，然后再减去全班的总人数就是两题都做对的人数．【规范解答】解：21+18﹣36，＝39﹣36，＝3（人）；答：两道都做对的有3人．【考点评析】本题属于简单的容斥原理问题，关键是明确两题都做对的人数重复数了两次，所以做对第一道题的人数加上做对第二道题的人数减去总人数就是两题都做对的人数．25．（6分）（2018•长沙）有77名同学参加数学竞赛，分两张考卷测试，答对A卷得60分，答对B卷得40分，已知考完后有50人答对A卷，60人答对B卷，只有2人A、B卷都答错了，这次考试得40分的有多少人？得60分的有多少人？得100分的有多少人？【思路引导】先计算出至少答对一张试卷的实际人数，即77﹣2＝75（人），再计算出至少答对一张试卷的人数之和即答对A卷或B卷的人数之和，即50+60＝110（人）；因为两卷都答对的人数在40分和60分的总人数中重复数了2遍，所以比实际答对一张试卷的人数多，所以：两卷都答对的人数即得100分的人数＝A卷或B卷答对的人数之和﹣至少答对一张试卷的实际人数；答对A卷的人数即得60分的人数＝A卷答对的人数﹣得100分的人数；答对B卷的人数即得40分的人数＝B卷答对的人数﹣得100分的人数．【规范解答】解：至少答对一张试卷的实际人数，即77﹣2＝75（人），答对A卷或B卷的人数之和为50+60＝110（人），得100分的人数：110﹣7