勾股定理的应用课件+2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

1.3勾股定理的应用第一章勾股定理学习目标1.应用“勾股定理”解决实际问题。体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径”的问题。树立转化思想。2.会根据“勾股定理的逆定理”解决实际问题。3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB。(1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗?导入新课解:连接对角线BD，只要分别量出AD、AB、BD的长度即可.AD2+AB2=BD2△ABD为直角三角形(2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm。边AD垂直于边AB吗?解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，由勾股定理的逆定理，得∠DAB=90°所以AD边垂直于AB边.ABCDABCD（3）如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于AB边吗？解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN的长度是否是15，若是，则AD边垂直于AB边；若不是，则不垂直.MN尝试·思考如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落在点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F。你能求出DF的长吗？解：设DF的长为xcm.由折叠可知CF=EF∵CD=8cm∴CF=EF=（8-x）cm∵AD=8cm,点E为边AD的中点∴DE=4cm在直角三角形DEF中,由勾股定理得：DE2+DF2=EF2即

42+x2=（8-x）2解得：x=3∴DF的长为3cm。例：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何?(选自《九章算术》)题目大意:如图1-18，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?解：设水池的水深OA为x尺，则这根芦苇长OB=OC=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，AC=5尺由勾股定理得，AC2+OA2=OC2即52+x2=(x+1)2解得

x=12

12+1=13.答：水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.练习：在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？8米6米8米6米ACB解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得所以这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.【方法点拨】此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型(直角三角形)中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题．1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.10cmB当堂检测2.一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?2m1mABDC解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.

分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.ABDCO

解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，所以OB=1.在Rt△COD中，根据勾股定理得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.

3.如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?4.

如图，在一次夏令营中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.求A、C两点之间的距离．解：如图，过点B作BE∥AD.所以∠DAB＝∠ABE＝53°.因为37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，所以∠CBA＝90°，所以AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，所以AC＝500m，即A、C两点间的距离为500m.E