连云港2024数学试卷

连云港2024数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3},B={x|x>2},则A∩B等于

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|x>3}

D.{x|1<x<3}

2.函数f(x)=log₃(x-1)的定义域是

A.(-∞,1)

B.(1,∞)

C.[1,∞)

D.(-∞,1]∪[1,∞)

3.已知向量a=(3,4),b=(1,2),则向量a·b等于

A.7

B.8

C.9

D.10

4.不等式|2x-1|<3的解集是

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,4)

D.(-2,4)

5.抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率是

A.1/4

B.1/2

C.1/3

D.3/4

6.圆x²+y²-4x+6y+9=0的圆心坐标是

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

7.函数f(x)=sin(x+π/4)的最小正周期是

A.2π

B.π

C.π/2

D.4π

8.已知等差数列{aₙ}中，a₁=2,d=3,则a₅等于

A.11

B.12

C.13

D.14

9.若复数z=3+4i的模长是

A.5

B.7

C.9

D.25

10.已知三角形ABC中，∠A=60°,∠B=45°,则∠C等于

A.75°

B.105°

C.120°

D.135°

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的有

A.y=x²

B.y=3x+2

C.y=1/x

D.y=√x

2.若A={x|x²-3x+2>0},B={x|x-1<0},则A∪B等于

A.(-∞,1)

B.(1,2)

C.(2,∞)

D.(-∞,1)∪(2,∞)

3.已知向量u=(1,0),v=(0,1),则下列向量中与u垂直的有

A.(0,0)

B.(-1,0)

C.(0,1)

D.(1,1)

4.下列命题中，真命题有

A.若x²=1,则x=1

B.若x²+x+1=0有实数根，则△=0

C.若a>b,则a²>b²

D.若sinα=1/2,则α=π/6

5.已知某校高一年级有1000名学生，其中男生600名，女生400名，现随机抽取50名学生参加活动，则抽到30名男生，20名女生的概率大约是

A.C(600,30)×C(400,20)/C(1000,50)

B.P(600,30)×P(400,20)/P(1000,50)

C.600/1000×400/1000

D.C(50,30)×C(50,20)/C(1000,50)

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若f(x)=2x-1,g(x)=x²+1,则f(g(2))等于

2.不等式组{x|1≤x≤4}∩{x|x<-1或x>2}的解集是

3.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4,则圆C的半径是

4.函数f(x)=tan(2x-π/4)的图像关于哪个点对称

5.已知等比数列{bₙ}中，b₁=1,q=2,则b₄等于

四、计算题（每题10分，共50分）

1.解不等式组：{x|2x-1>3}∩{x|x²-4≤0}

2.计算极限：lim(x→2)(x³-8)/(x²-4)

3.已知向量a=(3,-1),b=(1,2),计算向量a+b的模长以及a·b

4.求函数f(x)=x³-3x+2的导数，并判断其在x=1处的单调性

5.计算不定积分：∫(x²+2x+3)/(x+1)dx

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.B

解析：A∩B={x|x∈A且x∈B}={x|1<x<3且x>2}={x|2<x<3}

2.B

解析：函数f(x)=log₃(x-1)有意义需满足x-1>0,即x>1

3.A

解析：向量a·b=3×1+4×2=3+8=11

4.D

解析：|2x-1|<3等价于-3<2x-1<3,解得-2<x<4

5.B

解析：抛掷一枚均匀的硬币，出现正面或反面的概率都是1/2

6.C

解析：圆x²+y²-4x+6y+9=0可化为(x-2)²+(y+3)²=4,圆心为(2,-3)

7.A

解析：函数f(x)=sin(x+π/4)的周期T=2π/|ω|=2π

8.C

解析：a₅=a₁+(5-1)d=2+4×3=14

9.A

解析：|z|=√(3²+4²)=√25=5

10.B

解析：∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°

二、多项选择题答案及解析

1.BD

解析：y=3x+2是斜率为3的直线,单调递增;y=√x在[0,∞)上单调递增.y=x²在(-∞,0)单调递减,在(0,∞)单调递增;y=1/x在(-∞,0)单调递增,在(0,∞)单调递减

2.AD

解析：A={x|x<1或x>2},B={x|x<1},A∪B=(-∞,1)∪(2,∞)

3.BC

解析：向量u=(1,0)与向量(-1,0)垂直,与向量(0,1)垂直

4.D

解析：D中sinα=1/2时,α=π/6+2kπ或α=5π/6+2kπ,但只有π/6在[0,2π)范围内

5.A

解析：超几何分布概率计算公式为C(M,n)×C(N-m,K)/C(N,k)

三、填空题答案及解析

1.7

解析：f(g(2))=f(2²+1)=f(5)=2×5-1=9

2.{x|2<x≤4}

解析：{x|1≤x≤4}∩{x|x<-1或x>2}={x|2<x≤4}

3.2

解析：圆C的半径r=√(4)=2

4.(π/8,0)

解析：tan(2x-π/4)的图像中心在2x-π/4=π/2+kπ,即x=3π/8+kπ/2,当k=0时,中心为(3π/8,0)≈(π/8,0)

5.16

解析：b₄=b₁q³=1×2³=8

四、计算题答案及解析

1.解不等式组：

解：{x|2x-1>3}即x>2

{x|x²-4≤0}即-2≤x≤2

两不等式解集交集为(2,2]即{2}

2.计算极限：

lim(x→2)(x³-8)/(x²-4)=lim(x→2)[(x-2)(x²+2x+4)/(x-2)(x+2)]

=lim(x→2)(x²+2x+4)/(x+2)=12/4=3

3.已知向量a=(3,-1),b=(1,2),计算向量a+b的模长以及a·b

a+b=(3+1,-1+2)=(4,1),|a+b|=√(4²+1²)=√17

a·b=3×1+(-1)×2=1

4.求函数f(x)=x³-3x+2的导数，并判断其在x=1处的单调性

f'(x)=3x²-3

f'(1)=3×1²-3=0

f''(x)=6x,f''(1)=6>0,故x=1处f(x)取得极小值

在x=1附近,当x<1时f'(x)<0,当x>1时f'(x)>0,故x=1处为极小值点

5.计算不定积分：

∫(x²+2x+3)/(x+1)dx=∫(x²+2x+1+2)/(x+1)dx

=∫[(x+1)²+2/(x+1)]dx=(1/3)(x+1)³+2ln|x+1|+C

知识点总结与题型解析

一、选择题考察知识点及示例

1.集合运算：A∩B,A∪B,补集等

示例：{x|x²-1>0}∩{x|x<3}={x|x>1且x<3}={x|1<x<3}

2.函数定义域：分母不为0,对数真数大于0,根号下非负

示例：f(x)=1/(x²-4)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,2)∪(2,∞)

3.向量运算：向量加减,数乘,点积

示例：若a=(1,2),b=(3,4),则a+b=(4,6),a·b=1×3+2×4=11

4.不等式解法：绝对值不等式,一元二次不等式

示例：|3x-2|<5等价于-5<3x-2<5,解得-1<x<3

5.概率计算：古典概型,几何概型

示例：从5男4女中选3人,恰有2男1女的概率为C(5,2)×C(4,1)/C(9,3)=10/84=5/42

二、多项选择题考察知识点及示例

1.函数单调性：一次函数,二次函数,指数函数

示例：y=-x²+4在(-∞,0]单调递增,在[0,∞)单调递减

2.集合关系：交集,并集,补集运算

示例：若A={x|x<0},B={x|x>1},则A∪B=(-∞,0)∪(1,∞)

3.向量垂直条件：a·b=0

示例：向量(1,2)与(-2,1)垂直,因为1×(-2)+2×1=0

4.命题真值判断：充分必要条件,特殊值验证

示例：sin²α+cos²α=1对所有实数α都成立

5.概率计算：超几何分布,组合计数

示例：10件产品中有3件次品,随机抽3件,恰好1件次品的概率

=C(3,1)×C(7,2)/C(10,3)=63/120=21/40

三、填空题考察知识点及示例

1.函数复合：f(g(x))

示例：若f(x)=2x+1,g(x)=x²,则f(g(2))=f(4)=2×4+1=9

2.集合运算：交集,并集

示例：{x|x²-1≥0}∩{x|x<5}={x|x≤-1或x≥1且x<5}={x|x≤-1或1≤x<5}

3.圆的标准方程：圆心,半径

示例：圆(x+3)²+(y-2)²=16的圆心为(-3,2),半径r=4

4.函数对称性：周期函数,图像对称中心

示例：f(x)=sin(x+π/4)的图像中心在(π/4+kπ/2,0)

5.等比数列：通项公式aₙ=a₁qⁿ⁻¹

示例：等比数列{bₙ}中b₁=2,q=3,则b₅=b₁q⁴=2×81=162

四、计算题考察知识点及示例

1.不等式组解法：联立不等式,求交集

示例：解不等式组{x|x²+x-6>0}∩{x|x-2≤0}

解：x²+x-6=(x-2)(x+3)>0,得x<-3或x>2

与x-2≤0即x≤2联立,得解集为(-∞,-3)∪(2,2]即(-∞,-3)∪{2}

2.极限计算：因式分解,洛必达法则

示例：lim(x→1)(x³-1)/(x²+x-2)

=lim(x→1)[(x-1)(x²+x+1)/(x-1)(x+2)]

=lim(x→1)(x²+x+1)/(x+2)=3/3=1

3.向量运算：向量加减,点积

示例：若a=(3,4),b=(1,2),则a+b=(4,6),a·b=3×1+4×2=11

向量a+b的模长|a+b|=√(4²+6²)=√52=2√13

4.导数应用：求导数,判断单调性,极值

示例：f(x)=x³-3x+2,f'(x)=3x²-3

令f'(x)=0得x=±1

f''(x)=6x,f''(-1)=-6<0,f''(1)=6>0

故x=-1处f(x)取得极大值,x=1处取得极小值

5.积分计算：多项式除法,分部积分

示例：∫(x²+2x+3)/(x+1)dx

=∫[(x²+2x+1+2)/(