中学数学期末试题详细解答

中学数学期末试题详细解答一、选择题（每题3分，共15分）题目1：计算\((-2)\times3+(-4)\div2\)的结果是（）A.-8B.-10C.-1D.1解答：按照有理数混合运算顺序（先乘除后加减）：1.计算乘法：\((-2)\times3=-6\)2.计算除法：\((-4)\div2=-2\)3.计算加减：\(-6+(-2)=-8\)答案：A考点分析：有理数的混合运算（核心考点：运算顺序、符号规则）。易错点提醒：容易忽略运算顺序（如先算加减再算乘除），或符号错误（如\((-4)\div2\)误算为2）。题目2：不等式\(2x-3\leq5\)的解集是（）A.\(x\leq4\)B.\(x\geq4\)C.\(x\leq1\)D.\(x\geq1\)解答：解不等式步骤：1.移项：\(2x\leq5+3\)（移项要变号）2.合并同类项：\(2x\leq8\)3.系数化为1：\(x\leq4\)（两边乘/除以正数，不等号方向不变）答案：A考点分析：一元一次不等式的解法（核心考点：移项规则、不等号方向）。易错点提醒：移项时忘记变号（如\(2x\leq5-3\)），或系数化为1时误变方向（如\(2x\leq8\)写成\(x\geq4\)）。题目3：一次函数\(y=-2x+3\)的图像不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解答：一次函数\(y=kx+b\)的图像性质：\(k=-2<0\)，图像从左到右下降（经过第二、四象限）；\(b=3>0\)，图像与y轴交于正半轴（经过第一象限）。综上，图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限。答案：C考点分析：一次函数的图像与系数的关系（核心考点：斜率\(k\)、截距\(b\)的几何意义）。易错点提醒：混淆\(k\)和\(b\)对图像的影响（如\(k<0\)时图像下降，\(b>0\)时交y轴正半轴）。题目4：如图，\(AB=CD\)，\(\angleABC=\angleDCB\)，则\(\triangleABC\cong\triangleDCB\)的依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS解答：在\(\triangleABC\)和\(\triangleDCB\)中：\(AB=CD\)（已知）\(\angleABC=\angleDCB\)（已知）\(BC=CB\)（公共边）根据“SAS”（两边及其夹角对应相等）判定定理，两三角形全等。答案：B考点分析：三角形全等的判定（核心考点：SAS定理的应用）。易错点提醒：容易混淆“SSA”（非夹角的两边）与“SAS”，或对应边识别错误（如误将\(AC=BD\)作为条件）。题目5：在同圆中，若弧\(AB\)等于弧\(CD\)，则下列结论正确的是（）A.\(AB=CD\)B.\(\angleAOB=\angleCOD\)C.以上都对D.以上都不对解答：同圆中，弧相等的性质：1.弧相等则对应的弦相等（\(AB=CD\)）；2.弧相等则对应的圆心角相等（\(\angleAOB=\angleCOD\)）。答案：C考点分析：圆的基本性质（核心考点：弧、弦、圆心角的关系）。易错点提醒：忽略“同圆或等圆”的前提条件（若两圆半径不同，弧相等无法推出弦或圆心角相等）。二、填空题（每题3分，共15分）题目6：因式分解\(x^2-4y^2\)的结果是________。解答：利用平方差公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)，其中\(a=x\)，\(b=2y\)，故：\(x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)\)考点分析：因式分解（核心考点：平方差公式）。易错点提醒：分解不彻底（如漏写括号内的系数，或误写成\((x-2y)^2\)）。题目7：一组数据：3，5，7，9，11的中位数是________。解答：中位数是将数据按从小到大顺序排列后，位于中间位置的数。该组数据已排序，中间数为7。答案：7考点分析：统计量（核心考点：中位数的计算）。易错点提醒：未排序直接取中间数（如数据无序时，需先排序再找中位数）。题目8：如图，\(\triangleABC\sim\triangleADE\)，若\(AB=2\)，\(AD=3\)，\(BC=4\)，则\(DE=\________\)。解答：相似三角形的对应边成比例，即\(\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}\)。代入数值：\(\frac{2}{3}=\frac{4}{DE}\)，解得\(DE=6\)。答案：6考点分析：相似三角形（核心考点：相似三角形的性质）。易错点提醒：对应边比例错误（如误将\(AB/DE=BC/AD\)）。题目9：二次函数\(y=x^2-2x+3\)的顶点坐标是________。解答：二次函数顶点坐标公式为\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)，其中\(a=1\)，\(b=-2\)，\(c=3\)：1.横坐标：\(-\frac{-2}{2\times1}=1\)2.纵坐标：\(\frac{4\times1\times3-(-2)^2}{4\times1}=\frac{12-4}{4}=2\)答案：(1,2)考点分析：二次函数（核心考点：顶点坐标公式）。易错点提醒：公式记忆错误（如横坐标符号错误，或纵坐标计算错误）。题目10：如图，\(PA\)是\(\odotO\)的切线，切点为\(A\)，若\(OA=2\)，\(OP=4\)，则\(\angleAPO=\________\)度。解答：切线的性质：切线垂直于过切点的半径，故\(OA\perpPA\)，即\(\triangleOAP\)为直角三角形。在\(Rt\triangleOAP\)中，\(\sin\angleAPO=\frac{OA}{OP}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)，故\(\angleAPO=30^\circ\)。答案：30考点分析：圆的切线性质（核心考点：切线与半径的垂直关系）。易错点提醒：忘记切线垂直于半径的性质（如无法构造直角三角形求解）。三、解答题（共70分）（一）基础解答题（每题8分，共32分）题目11：解一元二次方程\(x^2-3x+2=0\)。解答：方法一：因式分解法将方程左边分解为\((x-1)(x-2)=0\)，故：\(x-1=0\)或\(x-2=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=2\)。方法二：求根公式法\(a=1\)，\(b=-3\)，\(c=2\)，判别式\(\Delta=b^2-4ac=9-8=1\)，故：\(x=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{3\pm1}{2}\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=2\)。考点分析：一元二次方程的解法（核心考点：因式分解法、求根公式法）。易错点提醒：因式分解错误（如误写成\((x+1)(x+2)=0\)），或求根公式中符号错误（如\(-b\)误写成\(b\)）。题目12：如图，已知\(AB=CD\)，\(\angleA=\angleD\)，\(AC=BD\)，求证：\(\triangleABC\cong\triangleDCB\)。证明：在\(\triangleABC\)和\(\triangleDCB\)中：1.\(AB=CD\)（已知）2.\(\angleA=\angleD\)（已知）3.\(AC=BD\)（已知）根据“SSS”（三边对应相等）或“SAS”（两边及其夹角对应相等）？不，此处\(\angleA\)和\(\angleD\)是两边的夹角吗？修正：\(AC=BD\)，\(AB=CD\)，\(BC=CB\)（公共边），故用“SSS”判定：\(\triangleABC\cong\triangleDCB\)（SSS）。考点分析：三角形全等的证明（核心考点：SSS/SAS定理的应用）。易错点提醒：对应角识别错误（如误将\(\angleA\)和\(\angleD\)当作非夹角，导致定理应用错误）。（二）应用解答题（每题10分，共20分）题目13：某商店销售某种商品，每件成本价为50元，售价为\(x\)元，销售量为\(y\)件，已知\(y\)与\(x\)之间的函数关系为\(y=-10x+1000\)（\(x\geq50\)）。（1）求利润\(w\)与\(x\)之间的函数关系式；（2）当售价为多少时，利润最大？最大利润是多少？解答：（1）利润\(w=(\text{售价}-\text{成本价})\times\text{销售量}\)，即：\(w=(x-50)y=(x-50)(-10x+1000)\)展开得：\(w=-10x^2+1500x-____\)（2）二次函数\(w=-10x^2+1500x-____\)的开口向下（\(a=-10<0\)），顶点处利润最大。顶点横坐标：\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1500}{2\times(-10)}=75\)代入\(x=75\)，得最大利润：\(w=-10\times75^2+1500\times75-____=____\)（元）答案：（1）\(w=-10x^2+1500x-____\)；（2）售价75元时，最大利润____元。考点分析：二次函数的应用（核心考点：利润模型、二次函数的最值）。易错点提醒：利润公式错误（如误写成\(w=x\cdoty-50\)，遗漏“每件成本”乘“销售量”）。题目14：如图，条形统计图显示了某班学生的身高分布情况（单位：cm），请回答下列问题：（1）该班共有多少名学生？（2）身高在____cm之间的学生占比是多少？（3）若随机抽取一名学生，其身高在____cm之间的概率是多少？解答：（1）总人数=155以下人数+____人数+____人数+165以上人数=5+15+10+5=35（名）。（2）____cm人数为10，占比=10/35≈28.57%。（3）____cm人数为15，概率=15/35=3/7≈42.86%。考点分析：统计与概率（核心考点：条形统计图的解读、频率与概率的计算）。易错点提醒：计算占比时未除以总人数（如直接写10作为占比），或概率化简错误（如15/35未约分为3/7）。（三）综合解答题（共18分）题目15：已知二次函数\(y=x^2+bx+c\)的图像经过点\((1,0)\)和\((0,3)\)。（1）求该二次函数的解析式；（2）求该函数图像与x轴的另一个交点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小？解答：（1）将点\((1,0)\)和\((0,3)\)代入解析式：当\(x=0\)时，\(y=c=3\)，故\(c=3\)；当\(x=1\)时，\(1+b+3=0\)，解得\(b=-4\)。因此，二次函数解析式为\(y=x^2-4x+3\)。（2）令\(y=0\)，解方程\(x^2-4x+3=0\)，因式分解得\((x-1)(x-3)=0\)，故另一个交点为\((3,0)\)。（3）二次函数的对称轴为\(x=-\frac{b}{2a}=2\)，开口向上（\(a=1>0\)），因此当\(x<2\)时，y随x的增大而减小。答案：（1）\(y=x^2-4x+3\)；（2）\((3,0)\)；（3）\(x<2\)。考点分析：二次函数的综合应用（核心考点：解析式求解、交点坐标、增减性）。易错点提醒：对称轴计算错误（如\(x=\frac{b}{2a}\)），或增减性判断错误（开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小）。四、总结与建议本次期末试题覆盖了中学数学的核心知识点：有理数运算、不等式解法、函数（一次/二次）、三角形全等/相似、圆的性质、统计概率等。从解答