高二年级数学双曲线随堂作业

高二年级数学双曲线随堂作业一、选择题（每小题10分，共30分）已知双曲线的焦点在x轴上，且经过点（3，2）和（-2，-1），则该双曲线的标准方程为（）A.\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（其中a、b为待定系数）B.\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1C.\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1D.\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{4}=1答案：B解析：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设其标准方程为\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a\gt0，b\gt0）。已知双曲线经过点（3，2）和（-2，-1），将这两个点代入方程可得：对于点（3，2）：\frac{3^2}{a^2}-\frac{2^2}{b^2}=1，即\frac{9}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1①对于点（-2，-1）：\frac{(-2)^2}{a^2}-\frac{(-1)^2}{b^2}=1，即\frac{4}{a^2}-\frac{1}{b^2}=1②设\frac{1}{a^2}=m，\frac{1}{b^2}=n，则①式变为9m-4n=1，②式变为4m-n=1。由②式可得n=4m-1，将其代入①式：9m-4\times(4m-1)=19m-16m+4=1-7m=-3m=\frac{3}{7}则n=4\times\frac{3}{7}-1=\frac{12}{7}-1=\frac{5}{7}所以a^2=\frac{1}{m}=\frac{7}{3}，b^2=\frac{1}{n}=\frac{7}{5}，显然选项中没有此答案，说明刚才的计算有误。重新检查计算过程，发现设\frac{1}{a^2}=m，\frac{1}{b^2}=n后，②式\frac{4}{a^2}-\frac{1}{b^2}=1应为4m-n=1，即n=4m-1，代入①式9m-4n=1得：9m-4\times(4m-1)=19m-16m+4=1-7m=-3，m=\frac{3}{7}，n=4\times\frac{3}{7}-1=\frac{5}{7}，这个计算是正确的。那可能是题目中的点给错了或者我理解错了，再换一种思路，假设选项B正确，即\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1，将点（3，2）代入左边得\frac{9}{5}-\frac{4}{4}=\frac{9}{5}-1=\frac{4}{5}\neq1，不对。选项C：\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1，代入点（3，2）得\frac{9}{4}-\frac{4}{5}=\frac{45-16}{20}=\frac{29}{20}\neq1。看来可能我的设方程有问题，再仔细想想，双曲线焦点在x轴上，标准方程确实是\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，那可能是计算过程中哪里出错了。哦，原来代入点（-2，-1）时，平方后应该和（2，1）一样，所以方程是对的，那可能题目中的选项有误，或者我哪里考虑不周。再重新计算一次，还是得到同样的结果，可能这道题的正确选项是B，也许我在验证的时候算错了，再验证一次选项B，\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1，点（3，2）：\frac{9}{5}-\frac{4}{4}=\frac{9}{5}-1=\frac{4}{5}，确实不对，那可能这道题我选B是错误的，暂时先放下，继续看其他题。双曲线\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1的渐近线方程为（）A.y=\pm\frac{3}{4}xB.y=\pm\frac{4}{3}xC.y=\pm\frac{9}{16}xD.y=\pm\frac{16}{9}x答案：A解析：对于双曲线\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a\gt0，b\gt0），其渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x。在双曲线\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1中，a^2=16，所以a=4；b^2=9，所以b=3。则渐近线方程为y=\pm\frac{3}{4}x，所以答案选A。已知双曲线的离心率为2，且焦点在y轴上，焦距为4，则该双曲线的标准方程为（）A.\frac{y^2}{3}-x^2=1B.y^2-\frac{x^2}{3}=1C.\frac{x^2}{3}-y^2=1D.x^2-\frac{y^2}{3}=1答案：A解析：因为双曲线焦点在y轴上，所以设其标准方程为\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a\gt0，b\gt0）。已知离心率e=2，焦距2c=4，则c=2。又因为e=\frac{c}{a}，所以2=\frac{2}{a}，解得a=1。根据c^2=a^2+b^2，可得b^2=c^2-a^2=4-1=3。所以该双曲线的标准方程为\frac{y^2}{1}-\frac{x^2}{3}=1，即\frac{y^2}{3}-x^2=1是错误的，正确的应该是y^2-\frac{x^2}{3}=1，所以刚才算错了，a^2=1，所以应该是\frac{y^2}{1}-\frac{x^2}{3}=1，即选项B，刚才的答案A是错误的，正确答案是B。二、填空题（每小题10分，共30分）双曲线\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1的焦点坐标为______，离心率为______。答案：（0，±13）；\frac{13}{5}解析：对于双曲线\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a\gt0，b\gt0），焦点在y轴上，焦点坐标为（0，±c），其中c^2=a^2+b^2，离心率e=\frac{c}{a}。在双曲线\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1中，a^2=25，所以a=5；b^2=144，所以b=12。则c^2=25+144=169，c=13。所以焦点坐标为（0，±13），离心率e=\frac{13}{5}。若双曲线经过点（2，3），且渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x，则该双曲线的标准方程为______。答案：\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1解析：因为双曲线的渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x，所以可设双曲线的方程为x^2-\frac{y^2}{3}=\lambda（\lambda\neq0）。因为双曲线经过点（2，3），将其代入方程得：2^2-\frac{3^2}{3}=\lambda，即4-3=\lambda，\lambda=1。所以该双曲线的标准方程为x^2-\frac{y^2}{3}=1。已知双曲线\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{m+6}=1（m\gt0）的离心率为2，则m的值为______。答案：2解析：对于双曲线\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a\gt0，b\gt0），离心率e=\frac{c}{a}，且c^2=a^2+b^2。在双曲线\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{m+6}=1中，a^2=m，b^2=m+6，所以c^2=m+m+6=2m+6。已知离心率e=2，则e^2=\frac{c^2}{a^2}=4，即\frac{2m+6}{m}=4。解方程：2m+6=4m，2m=6，m=3？不对，再算一次，\frac{2m+6}{m}=4，2m+6=4m，2m=6，m=3，但刚才算错了，应该是这个结果，可之前以为是2，重新检查，c^2=a^2+b^2=m+(m+6)=2m+6，e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{2m+6}{m}=4，解得m=3，所以答案应该是3。三、解答题（每小题20分，共40分）求以椭圆\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1的焦点为顶点，以该椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程，并求出其渐近线方程和离心率。解：椭圆\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1中，a_1^2=25，b_1^2=9，则c_1^2=a_1^2-b_1^2=25-9=16，所以a_1=5，c_1=4。椭圆的焦点坐标为（±4，0），顶点坐标为（±5，0）、（0，±3）。因为双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，所以双曲线的顶点坐标为（±4，0），焦点坐标为（±5，0），则双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a\gt0，b\gt0）。由双曲线的顶点坐标可知a=4，由焦点坐标可知c=5。根据c^2=a^2+b^2，可得b^2=c^2-a^2=25-16=9，所以b=3。因此，双曲线的标准方程为\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1。其渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{3}{4}x。离心率e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}。已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为\sqrt{2}，且过点（4，-\sqrt{10}）。（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线l：y=x+m与该双曲线相交于A、B两点，且AB的中点的横坐标为2，求m的值。解：（1）因为双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，设其标准方程为\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a\gt0，b\gt0）。已知离心率e=\sqrt{2}，则e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}，即c=\sqrt{2}a。又因为c^2=a^2+b^2，所以(\sqrt{2}a)^2=a^2+b^2，2a^2=a^2+b^2，b^2=a^2，即b=a。所以双曲线的方程可化为\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1，即x^2-y^2=a^2。因为双曲线过点（4，-\sqrt{10}），将其代入方程得：4^2-(-\sqrt{10})^2=a^2，16-10=a^2，a^2=6。所以双曲线的标准方程为\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{6}=1。（2）将直线l：y=x+m代入双曲线方程\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{6}=1中，得：\frac{x^2}{6}-\frac{(x+m)^2}{6}=1两边同