辽宁省大连市高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数单调性（2）说课稿 新人教B版选修2-2

辽宁省大连市高中数学第一章导数及其应用1.3导数单调性（2）说课稿新人教B版选修2-2一、课程基本信息

1.课程名称：辽宁省大连市高中数学第一章导数及其应用1.3导数单调性（2）

2.教学年级和班级：高一年级

3.授课时间：2023年X月X日第X节

4.教学时数：1课时二、核心素养目标分析三、学习者分析

1.学生已经掌握的相关知识：学生在进入本节课之前，已经学习了函数、极限和导数的基本概念，具备了一定的数学思维能力。他们对函数的单调性、连续性等概念有一定的了解，但可能对导数如何体现函数的单调性理解不够深入。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中一年级学生对数学学习通常充满好奇心，对探索数学问题有较高的兴趣。他们的数学能力正在逐步提升，但个体差异较大。部分学生逻辑思维能力强，善于分析问题，而另一些学生可能在抽象思维能力上有所欠缺。学习风格上，有的学生偏好直观学习，有的则更倾向于逻辑推理。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在理解导数与函数单调性之间的关系时可能会遇到困难，因为他们需要将抽象的数学概念与具体的函数图像相结合。此外，对于如何运用导数判断函数的单调区间，学生可能难以把握判断的技巧和策略。这些困难可能会影响学生对导数单调性的深入理解和应用。四、教学方法与手段

教学方法：

1.讲授法：通过清晰的讲解，帮助学生理解导数的概念和单调性的判断方法。

2.讨论法：组织学生就具体函数实例进行讨论，激发学生思考，培养他们的分析能力和合作精神。

3.案例分析法：通过分析实际案例，让学生在实践中理解导数在判断函数单调性中的应用。

教学手段：

1.多媒体辅助教学：利用PPT展示函数图像和导数变化，直观展示单调性变化。

2.实例演示：通过动画或视频演示导数如何从几何角度反映函数的单调性。

3.在线教学资源：利用网络资源提供额外的学习材料，如视频教程和在线练习，以巩固学生知识。五、教学过程

1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：通过提问“如何判断一个函数在其定义域内的增减性？”来引起学生的兴趣，引导学生思考导数在判断函数单调性中的作用。

-回顾旧知：简要回顾函数的单调性概念，以及如何通过函数图像来直观判断函数的增减。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：详细讲解导数的定义和计算方法，以及如何利用导数判断函数的单调性。

-举例说明：通过几个简单的函数例子，展示如何计算导数并判断其正负，从而判断函数的单调区间。

-互动探究：组织学生分组讨论，让他们尝试计算给定函数的导数，并判断其单调性，然后每组派代表分享讨论结果。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：提供一系列不同难度的练习题，让学生独立完成，以加深对导数单调性判断方法的理解。

-教师指导：在学生练习过程中，教师巡视课堂，针对学生的困难提供个别指导，确保每个学生都能跟上教学进度。

4.课堂总结（约10分钟）

-总结本节课的主要知识点，强调导数在判断函数单调性中的关键作用。

-提出一些思考题，引导学生思考如何将导数的概念应用到更复杂的问题中。

5.作业布置（约5分钟）

-布置一些课后练习题，要求学生独立完成，并鼓励他们在课后进行小组讨论，以加深对知识的理解。

-安排下一节课的预习内容，让学生提前了解即将学习的新概念。

1.导入

-提问：“同学们，我们之前学习了函数的单调性，那么如何更准确地判断一个函数的单调性呢？”

-回顾：“回顾一下，我们之前是如何通过函数图像来判断函数的单调性的？”

2.新课呈现

-讲解：“今天我们要学习的是导数及其应用，特别是导数在判断函数单调性方面的应用。”

-举例说明：“比如，对于函数f(x)=x^2，我们如何利用导数来判断它在定义域内的单调性？”

-互动探究：“请大家分组讨论，尝试计算f(x)=x^2的导数，并判断其在定义域内的单调性。”

3.巩固练习

-学生活动：“请完成以下练习题，并尝试自己判断函数的单调性。”

-教师指导：“在练习过程中，如果遇到困难，请举手，我会及时帮助你们。”

4.课堂总结

-总结：“今天我们学习了导数在判断函数单调性方面的应用，希望大家能够掌握这个方法。”

-提出思考题：“如果有一个函数在某个区间内导数为0，那么这个函数在这个区间内一定是单调的吗？为什么？”

5.作业布置

-布置作业：“请大家完成以下课后练习题，并准备好下一节课的内容。”

-预习内容：“下一节课我们将学习导数的应用，特别是如何利用导数解决实际问题。”六、知识点梳理

1.导数的概念

-导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，是函数在某一点附近增量与自变量增量之比的极限。

-导数的几何意义：导数表示曲线在某一点处的切线斜率。

2.导数的计算方法

-导数的定义法：利用导数的定义计算导数。

-导数的四则运算法则：导数的加法、减法、乘法、除法法则。

-常见函数的导数公式：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

3.导数的应用

-函数的单调性：通过导数的正负判断函数在某个区间内的单调性。

-函数的极值：利用导数判断函数的极大值和极小值。

-函数的凹凸性：通过导数的二阶导数判断函数的凹凸性。

4.高阶导数

-高阶导数的概念：函数的二阶导数、三阶导数等。

-高阶导数的计算方法：利用导数的运算法则和公式计算高阶导数。

5.微分中值定理

-罗尔定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且两端点的函数值相等，则至少存在一点，使得该点的导数为0。

-拉格朗日中值定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点，使得该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。

-柯西中值定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且存在非零常数，使得函数及其导数在该区间上成比例，则至少存在一点，使得该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。

6.泰勒公式

-泰勒公式：若函数在某点附近可导，则函数在该点附近的任意点都可以用其在该点的值及各阶导数的线性组合来近似表示。

7.导数的应用举例

-利用导数解决实际问题：如物理中的速度、加速度问题，经济学中的边际效应问题等。

8.导数的性质

-导数的连续性：若函数在某点可导，则该点处函数的导数连续。

-导数的可导性：若函数在某点连续，则该点处函数可导。

-导数的单调性：若函数在某区间内可导，且导数恒大于0（或恒小于0），则函数在该区间内单调递增（或单调递减）。七、板书设计

①导数概念

-导数的定义：Δy/Δx→0，f'(x)=lim(Δy/Δx)

-几何意义：曲线在某点切线斜率

-符号表示：f'(x)

②导数计算方法

-定义法：直接应用导数定义计算

-四则运算法则：f'(x±g(x))=f'(x)±g'(x)，f'(xg(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，f'(1/x)=-1/(x^2)f'(x)

-常见函数导数公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等

③导数应用

-单调性：f'(x)>0（x∈I）→f(x)在I上单调递增，f'(x)<0（x∈I）→f(x)在I上单调递减

-极值：f'(x)=0的点可能是极值点，需进一步判断

-凹凸性：f''(x)>0（x∈I）→f(x)在I上凹，f''(x)<0（x∈I）→f(x)在I上凸

④高阶导数

-二阶导数：f''(x)

-三阶导数：f'''(x)

-高阶导数计算：利用运算法则和公式

⑤微分中值定理

-罗尔定理：f(a)=f(b)，f'(x)=0在(a,b)内至少有一点

-拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)/b-a=f'(ξ)在(a,b)内至少有一点

-柯西中值定理：存在ξ∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]/(g(b)-g(a))=f'(ξ)/g'(ξ)

⑥泰勒公式

-泰勒公式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+.