数学-湖南省长沙市一中2025届高三月考（五）

一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四1.已知在复平面内，向量AB对应的复数为一1+3A.1+2iB.-1-2iA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件3.在平面直角坐标系内，原点到直线l的距离为1,点A(5,0)到直线l的距离为2,则满足条件的直线l共有4.将函数f(x)=sinwx(其中w>0)的图象向右平移个单位长度，所得DD数学试题(一中版)第1页(共8页)夸克扫描王夸克扫描王极速扫描，就是高效7.已知集合U=(1,2,3,4},若集合A,B满足：A≤BSU,则集合对8.已知函数.若过点P(一1,m)存在3条直线与曲线y=二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项错或不选得0分)A.若,则B.若,则sinC.若,则数学试题(一中版)第2页(共8页)夸克扫描王极速扫描，就是高效B.△F₁PF₂的面积为2夸克扫描王极速扫描，就是高效记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=数学试题(一中版)第4页(共8页)夸克扫描王极速扫描，就是高效16.(本小题满分15分)能从A室出发经B室到达C室.粒子在A室不旋转，在B室、C室都从A室经过1号门进入B室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从B室经过2号门进入C室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为p(0<p<1).现有两个粒子从A室出发，先后经过1号门、2号门进入CABC1号门2号门(2)设,若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率.数学试题(一中版)第5页(共8页)夸克扫描王极速扫描，就是高效17.(本小题满分15分)(2)若AD⊥DC,BA=BC=√2,且二面角A-CP-B的余弦值为,求AP.18.(本小题满分17分)于点H.记线段AB与CD的中点分别为M,N.yD4 0CBC(1)求抛物线T的焦点坐标；(3)若2|HM|=|HN|=2,求四边形ABCD的面积.数学试题(一中版)第7页(共8页)夸克扫描王极速扫描，就是高效19.(本小题满分17分)(1)若,恒有f(x)>0,求实数a的取值范围；设第n个零点为rn.数学试题(一中版)第8页(共8页)夸克扫描王极速扫描，就是高效长沙市一中2025届高三月考试卷(五)数学参考答案一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号12345678DCDBBBDC2.C【解析】因为log-x²>log-x等价于0<x²<x即x(x-1)<0,解得0<x<1,3.D【解析】与原点距离为1的点的集合是以原点为圆心，r₁=1为半径的圆O,即圆O:x²+y²=1;与点A(5,0)距离为2的点的集合是以A(5,0)为圆心，r₂=2为半径的圆A,即圆A:(x-5)²+y²=4.因为圆心距|OA|=5>r₁+r₂,所以圆O与圆A外离，这两圆共有4条公切线，所以满足条件的直线l共有4条.5.B【解析】由球O的表面积为4π,得S=4πR²=4π,球O的半径R=1,以正四面体的棱为正方体的面对角线，将该正四面体放到正方体中，则正方体的内切球与正四面体的六条棱均相切，又正方体的棱长为2,所以此四面体的体积为当且仅当,x=3(√2-1)时等号成立，所以的最小值为2√2+1.当集合B中有一个元素时，又ACB,这样的集合对有C×2¹=8个；当集合B中有两个元素时，又ACB,这样的集合对有C²×2²=24个；当集合B中有三个元素时，又ACB,这样的集合对有C³×2³=32个；当集合B中有四个元素时，又ACB,这样的集合对有C×2⁴=16个.所以集合对(A,B)共有16+32+24+8+1=81个.8.C【解析】设切点坐标为由题意得,所以函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为,所以切线方程为因为切线过点P(-1,m),所以,则,由题意可知，这个方程有三个不等实根.设,则所以函数g(x)在区间(一∞,—1)和(1,+∞)上单调递减，在区间(一1,1)上单调递增，又当x趋近于正无穷时，g(x)趋近于0;当x趋近于负无穷，g(x)趋近于正无穷，且g所以g(x)的大致图象如图，所以要使直线y=m与函数g(x)的图象有三个交点，则夸克扫描王极速扫描，就是高效yyx二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.)9对于C,由D选项可,而,所以,故C正确。故选ACD.10.ABD【解析】由题意得a=2√2,|F₁F₂|=2c=2√8-4=4,由对称性可设P(xo,yo)(x₀>0,y₀>0),|PF₁|=m,|PF₂|=n,∠F₁PF₂=θ,解得又F₁(一2,0),F₂(2,0),由椭圆的定义得m+n=2a=4√2,对于A,在△F₁PF₂中，由余弦定理，得|F₁F₂I²=m²+n²—2mncosθ,即4²=(m+n)²—2mn-2mncosθ=(4√2)²-2×5-2×5cosθ,解得,故A正确；对于B,△F₁PF₂的面积为,故B正确；,故C错误；对于D,设△F₁PF₂的内切圆半径为r,由△F₁PF₂的面积公式，得解得r=√2-1,故D正确。故选ABD.,故A正确；对于B,若un=1(n∈N"),显然数列{un所以数列{S}不是B一数列，故B错误；对于C,因为数列{Sn}是B一数列，所以存在正数M,对于任意的n∈N,数学参考答案(一中版)-2夸克扫描王极速扫描，就是高效所以|un+1-un|+|un—un-11+…+|u₂-u₁l≤|un+11+2|un|+…+2|u₂l+≤2|un+1|+2|un|+…+2|u₂|+|u₁|=2M+|u₁l,所以数列{un}是B一数列，故C正确；对于D,若数列{an},{bn}是B一数列，则存在正数M,M2,对任意的n∈N',同理可得|b|≤M₂+|b₁|,记K₁=M₁+|a₁|,K₂=M₂+|b₁|,则有|an+1bn+1-abn|=lan+1b+≤|K₂Ilan+1-an|+|K₁Ilb+1-bn|≤K₂M₁+K₁M₂,所以数列{an·bn}也是三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)因为函数y=log₂x与y=-2x所以x>0时，函数y=f(x)只有1个零点又由函数有4个零点，所以x∈[一π,0]时，函数有3个零点，即正数w的取值范围为假设存在以点(2a,a)为中点的弦，设弦与夸克扫描王极速扫描，就是高效四、解答题(本大题共5个小题，共77分)可因为B∈(0,π),则sinB>0,则√3sinA-cosA=1,,结合A∈(0,π)……5分则b+c²+2bc=(b+c)=100,得b+c=10……………………12分则三角形周长为a+b+c=8+10=18……………13分X=2时分3类情形，①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态；②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态；③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态，所以所求的分布列为5分X012P所求数学期望…………8分(2)设事件A,=“两个粒子通过1号门后处于上旋状态的粒子个数为i个”,i=0,1,2,事件B=“两个粒子通过2号门后处于上旋状态的粒子个数为2个”…………9分则49………………11分4由(1)得…………………13分………………15分因为E,M分别为PC,PB的中点，所以EM//BC,所以四边形ADEM为平行四边形，所以ED//MA.夸克扫描王极速扫描，就是高效因为EDC平面ABP,MAC平面ABP,所以ED//平面ABP6分(2)因为AD⊥DC,所以AC为底面圆的直径，所以AB⊥BC.因为BA=BC=√2,所以AC=2.由圆柱的特征可知PA⊥平面ABCD,则PA⊥AC,7分故以A为坐标原点，分别以AC,AP所在直线为y轴，z轴，垂直于AC,AP的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设AP=t,则B(1,1,0),P(0,0,t),C(0,2,0),O₂(0,1,0),所以BC=(一1,1,0),BP=(一1,—1,t).连接O₂B,则O₂B⊥AC,易知APLO₂B,又AP∩AC=A,AP,ACC平面ACP,所以O₂B⊥平面ACP,故平面ACP的一个法向量为O₂B=(1,0,0).分设平面BCP的法向量为n=(x,y,z),取x=1,则y=1,,即…………………12分…………13分解得t=√2(负值舍去),故AP=√215分18.【解析】(1)因为抛物线方程为y²=x,则焦点坐标为………………2分若x₁=x₂,x₃=x4,则直线AB,CD斜率不存在，由对称性，可知M,N,H均在x轴上，则M,H,N三点共线；………………3分若x₁≠x₂,x₃≠x₄,则直线斜率存在，设直线AB的方程为,结合y²=x₁,y²=x₂,直线BD的方程为(y₂+y₄)y-y₂y₄=x5分设M(xM,ym),N(xN,yn),因为AB//CD,则y+y₂=y₃+y4,,得ym=yn.…………6分则直线MN与x轴平行，设直线MN与线段AC,BD的交点分别为P(xp,yp),Q(xQ,yQ).将代入直线AC的方程，则又yp=yQ=ym=yn,则P,Q两点重合，即P,Q为线段AC与BD的交点H,且点M,H,N三点共线.…………………9分(3)由(2),直线MN与x轴平行，则2HM|=|HN|=2,即2(xH一xM)=xn一xH=2.夸克扫描王极速扫描，就是高效