2025年高中数学竞赛预选赛试题及答案详解

2025年高中数学竞赛预选赛试题及答案详解一、选择题（每题5分，共10题）1.若复数\(z\)满足\(|z-1|=|z+1|\)，则\(z\)在复平面上对应的图形是A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线2.函数\(f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}\)的值域是A.\((-1,1)\)B.\([-1,1]\)C.\((-1,1]\)D.\([-1,1)\)二、填空题（每题6分，共5题）3.已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，则\(\sin2\alpha\)的值是________。4.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“点数为偶数”的概率是________。5.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，则\(a_5\)的值是________。6.设\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，则\(f(x)\)在区间\([-1,3]\)上的最大值是________。7.在等差数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_3=5\)，\(a_7=9\)，则\(a_{10}\)的值是________。三、解答题（每题10分，共5题）8.解方程\(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=3\)。9.已知函数\(f(x)=x^2-2ax+1\)，若\(f(x)\)在区间\([1,3]\)上单调递增，求\(a\)的取值范围。10.在直角三角形\(ABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，求\(\sinA\)的值。11.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}\)，求\(\lim_{n\to\infty}a_n\)。12.设\(P(x)=x^3-ax^2+bx-c\)，若\(P(1)=0\)，\(P(2)=0\)，且\(P(x)\)在\(x=1\)处取得极值，求\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。答案详解一、选择题答案1.D解析：复数\(z\)满足\(|z-1|=|z+1|\)，表示\(z\)到点\((1,0)\)和\((-1,0)\)的距离相等，即\(z\)在\(x\)轴上，且不等于\(\pm1\)。因此是双曲线。2.B解析：设\(y=\frac{x^2-1}{x^2+1}\)，则\(y(x^2+1)=x^2-1\)，整理得\((y-1)x^2=y+1\)。若\(y=1\)，则\(x=0\)；若\(y\neq1\)，则\(x^2=\frac{y+1}{y-1}\)，需\(\frac{y+1}{y-1}\geq0\)，解得\(y\in(-1,1]\)。二、填空题答案3.-\(\frac{3}{4}\)解析：平方两边得\(1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}\)，即\(2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{3}{4}\)，故\(\sin2\alpha=-\frac{3}{4}\)。4.\(\frac{1}{2}\)解析：骰子点数为偶数的概率为\(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)。5.33解析：递推得\(a_2=3\)，\(a_3=7\)，\(a_4=15\)，\(a_5=31\)。6.3解析：求导\(f'(x)=3x^2-6x\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。计算\(f(-1)=-3\)，\(f(0)=2\)，\(f(2)=0\)，\(f(3)=2\)，最大值为2。7.11解析：公差\(d=2\)，\(a_{10}=a_3+7d=5+14=19\)。三、解答题答案8.解方程\(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=3\)解：移项得\(\sqrt{2x+3}=3-\sqrt{x+1}\)，平方两边得\(2x+3=9-6\sqrt{x+1}+x+1\)，整理得\(x-5=-6\sqrt{x+1}\)，平方两边得\(x^2-10x+25=36(x+1)\)，解得\(x=1\)。检验\(x=1\)满足原方程。9.已知函数\(f(x)=x^2-2ax+1\)，若\(f(x)\)在区间\([1,3]\)上单调递增，求\(a\)的取值范围解：求导\(f'(x)=2x-2a\)，需\(f'(x)\geq0\)在\([1,3]\)恒成立，即\(2x-2a\geq0\)，解得\(a\leq1\)。10.在直角三角形\(ABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，求\(\sinA\)的值解：由勾股定理得\(AB=5\)，\(\sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}\)。11.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}\)，求\(\lim_{n\to\infty}a_n\)解：设\(\lim_{n\to\infty}a_n=L\)，则\(L=\frac{L}{1+L}\)，解得\(L=0\)。12.设\(P(x)=x^3-ax^2+bx-c\)，若\(P(1)=0\)，\(P(2)=0\)，且\(P(x)\)在\(x=1\)处取得极值，求\(a\)、\(b\)、\(c\)的值解：由\(P(1)=0\)，\(P(2)=0\)，得\(1-a+b-c=0\)，\(8-4a+2b-c=0\)，又\(P'(x)=3x^2-2ax+b\)，\(P'(1)=0\)，即\(3-2a+b=0\)。解得\(a=3\)，\(b=-3\)，\(c=-5\)。#2025年高中数学竞赛预选赛注意事项考试心态保持冷静，沉着应对。预选赛重在选拔，题目设计有一定难度，但不必过分紧张。遇到难题先跳过，确保基础题不失分。知识储备重点复习高中数学核心知识点：函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等。特别关注竞赛常见题型，如不等式证明、组合计数等。时间分配总时长通常为120分钟，建议前80分钟快速完成基础题，剩余时间攻克难题。每道题至少留出3分钟思考，避免在单一题目上耗