莆田学院离散数学试卷

莆田学院离散数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.在集合论中，集合A={1,2,3}与集合B={3,4,5}的并集是？

A.{1,2,3,4}

B.{1,2,3,5}

C.{1,2,4,5}

D.{3,4,5}

2.下列哪个不是命题？

A.今天天气很好。

B.2+3=5。

C.请开门。

D.苹果是红色的。

3.在命题逻辑中，命题p和命题q的合取（AND）表示为？

A.p∨q

B.p→q

C.p∧q

D.p↔q

4.命题公式(p↔q)→p的正确逻辑值是？

A.假

B.真

C.无法确定

D.取决于p和q的值

5.在谓词逻辑中，∀x(P(x))表示？

A.对于所有的x，P(x)为真。

B.存在一个x，使得P(x)为真。

C.对于所有的x，P(x)为假。

D.存在一个x，使得P(x)为假。

6.集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}的笛卡尔积是？

A.{(1,3),(2,4),(3,5)}

B.{(3,1),(4,2),(5,3)}

C.{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5)}

D.{(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)}

7.在图论中，一个图G=(V,E)中，V表示？

A.边的集合

B.顶点的集合

C.权重的集合

D.邻接矩阵的集合

8.一个无向图G是连通的，如果？

A.G中存在一条边连接所有顶点。

B.G中任意两个顶点之间都存在路径。

C.G中所有顶点的度数都相同。

D.G中不存在环。

9.在树形结构中，一个树的度是指？

A.树中边的数量。

B.树中顶点的数量。

C.树中最大分支的顶点数。

D.树中根的子树数量。

10.在组合数学中，从n个不同元素中取出k个元素的组合数表示为？

A.P(n,k)

B.C(n,k)

C.n!

D.k!

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列哪些是命题逻辑的联结词？

A.合取（AND）

B.析取（OR）

C.非（NOT）

D.蕴含（IF...THEN）

E.等价（IFANDONLYIF）

2.在集合论中，集合A和集合B的差集A-B是指？

A.属于A但不属于B的元素集合。

B.属于B但不属于A的元素集合。

C.同时属于A和B的元素集合。

D.A和B的并集。

E.A和B的交集。

3.在图论中，下列哪些是图的性质？

A.图是无向的。

B.图是有向的。

C.图中不存在重复边。

D.图中不存在重复顶点。

E.图中边可以有方向。

4.在树形结构中，下列哪些是树的性质？

A.树是连通的。

B.树中没有环。

C.树中至少有一个根节点。

D.树中每个节点都有相同的度数。

E.树可以有不同的子树。

5.在组合数学中，下列哪些是组合数的应用？

A.计算排列数。

B.计算组合数。

C.计算二项式系数。

D.计算概率。

E.计算树的边数。

三、填空题（每题4分，共20分）

1.在命题逻辑中，命题p为真，命题q为假，则命题p∧q的真值为______。

2.在集合论中，集合A={1,2,3}与集合B={3,4,5}的交集为______。

3.在图论中，一个具有n个顶点的树有______条边。

4.在组合数学中，从n个不同元素中取出k个元素的排列数记为______。

5.在谓词逻辑中，符号∃表示______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知集合A={x|x是小于10的正偶数}，集合B={x|x是小于10的正奇数}。求集合A∪B和A∩B。

2.写出命题公式(p∧q)→¬r的成真赋值。

3.设集合A={1,2,3}，集合B={a,b}。求A×B的笛卡尔积。

4.画出以下命题逻辑式的真值表：(p∨q)↔(¬p∧¬q)。

5.计算从5个不同的元素中取出3个元素的组合数C(5,3)，并写出计算过程。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案

1.C

2.C

3.C

4.B

5.A

6.C

7.B

8.B

9.D

10.B

二、多项选择题答案

1.A,B,C,D,E

2.A

3.A,B,C,D,E

4.A,B,C,E

5.B,C,D,E

三、填空题答案

1.假

2.{3}

3.n-1

4.P(n,k)=n!/(n-k)!

5.存在

四、计算题答案及解题过程

1.解：

集合A={x|x是小于10的正偶数}={2,4,6,8}，

集合B={x|x是小于10的正奇数}={1,3,5,7,9}。

集合A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，

集合A∩B={}（空集）。

2.解：

命题公式(p∧q)→¬r的真值表如下：

pqrp∧q¬r(p∧q)→¬r

───┼───┼───┼───────┼─────┼────────

TTTTFF

TTFTTT

TFTFFT

TFFFTT

FTTFFT

FTFFTT

FFTFFT

FFFFTT

3.解：

集合A={1,2,3}，集合B={a,b}。

A×B的笛卡尔积为：

A×B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

4.解：

命题逻辑式(p∨q)↔(¬p∧¬q)的真值表如下：

pq¬p¬qp∨q¬p∧¬q(p∨q)↔(¬p∧¬q)

───┼───┼────┼────┼───────┼───────────┼──────────────

TTFFTFF

TFFTTFF

FTTFTFF

FFTTFTT

5.解：

从5个不同的元素中取出3个元素的组合数C(5,3)为：

C(5,3)=5!/(3!*(5-3)!)

=5!/(3!*2!)

=(5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1))

=10

计算过程如上。

知识点总结

离散数学是计算机科学和数学的一个重要分支，它研究的是不连续的数学结构。离散数学的理论基础部分主要包括集合论、命题逻辑、谓词逻辑、图论和组合数学等内容。

一、集合论

集合论是离散数学的基础，主要研究集合的性质、运算和关系。集合论中的基本概念包括元素、集合、子集、并集、交集、差集和笛卡尔积等。集合论在计算机科学中有着广泛的应用，例如数据结构、算法设计和数据库理论等。

二、命题逻辑

命题逻辑是研究命题及其联结词的推理规则。命题逻辑中的基本概念包括命题、联结词、真值表和推理规则等。命题逻辑在计算机科学中有着重要的应用，例如程序设计语言、逻辑电路和人工智能等。

三、谓词逻辑

谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它引入了量词和谓词的概念，可以更精确地描述数学和计算机科学中的问题。谓词逻辑中的基本概念包括谓词、量词、个体和谓词公式等。谓词逻辑在计算机科学中有着广泛的应用，例如数据库理论、形式化方法和逻辑编程等。

四、图论

图论是研究图的结构和性质的数学分支。图论中的基本概念包括图、顶点、边、路径、环和连通性等。图论在计算机科学中有着重要的应用，例如网络设计、算法设计和计算机图形学等。

五、组合数学

组合数学是研究离散结构的计数和排列的数学分支。组合数学中的基本概念包括排列、组合、二项式系数和组合恒等式等。组合数学在计算机科学中有着广泛的应用，例如算法分析、概率论和密码学等。

各题型所考察学生的知识点详解及示例

一、选择题

选择题主要考察学生对离散数学基本概念和定理的掌握程度。例如，集合论中的并集、交集和差集，命题逻辑中的联结词和真值表，图论中的连通性和环，以及组合数学中的排列和组合等。

示例：

1.集合A={1,2,3}与集合B={3,4,5}的并集是？

答案：{1,2,3,4,5}

2.命题公式(p∧q)→¬r的正确逻辑值是？

答案：B.真

二、多项选择题

多项选择题主要考察学生对离散数学概念的全面理解和应用能力。例如，集合论中的各种运算，命题逻辑中的联结词和推理规则，图论中的性质和定理，以及组合数学中的计数方法等。

示例：

1.在命题逻辑中，下列哪些是联结词？

答案：A.合取（AND），B.析取（OR），C.非（NOT），D.蕴含（IF...THEN），E.等价（IFANDONLYIF）

三、填空题

填空题主要考察学生对离散数学基本概念和定理的记忆和应用能力。例如，集合论中的交集和差集，命题逻辑中的真值和联结词，图论中的连通性和环，以及组合数学中的组合数和排列数等。

示例：

1.在命题逻辑中，命题p为真，命题q为假，则命题p∧q的真值为______。

答案：假

2.在组合数学中，从n个不同元素中取出k个元素的排列数记