广西壮族自治区崇左、贺州、贵港市2024-2025学年高二下学期期末考试 数学含解析

2025年春季学期高二期末教学质量监测数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占30%，选择性必修第一、二、三册占70%．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数的模为，则实数的值为（）A.3 B. C. D.【答案】D详解】由题意得，解得.故选：D.2.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【详解】由题设，椭圆参数，则离心率.故选：C3.用1，2，3，5，6可以组成个无重复数字的五位偶数，则（）A.24 B.48 C.60 D.72【答案】B【详解】因为无重复数字的五位偶数，所以各位可选2,6，其他全排，则.故选：B.4.已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【详解】，，又，有公共点，所以，，三点共线，所以充分性成立；若，，三点共线，则存实数使得，即，当时明显不满足，所以必要性不成立.即“（）”是“，，三点共线”的充分不必要条件.故选：A.5.已知半径为的球的表面积为，当时，的瞬时变化率为（）A. B. C. D.【答案】D【详解】由题设，则，故当时，的瞬时变化率为.故选：D6.展开式中的系数是（）A.15 B. C.30 D.【答案】A【详解】对于，展开式通项为，，当，即时，，当，即时，，所以展开式中的系数是.故选：A7.若（，），则的最小值为（）A.6 B.7 C.12 D.49【答案】B【详解】由题设且，所以，当且仅当，即，时取等号.故选：B8.若数列满足，，的前项和为，则的整数部分为（）A. B. C. D.【答案】A【详解】，，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，设数列的前项和为，则，，两式相减得：，解得，所以，所以，故的整数部分为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若随机变量，，则（）A. B.C. D.【答案】AC【详解】由，则，，由，则，，A：由，即，对；由，即，B错，C对；D：由，即，错.故选：AC10.已知函数若（），则（）A. B.的值可能为25C. D.的值可能为32【答案】ABD【详解】由解析式，在，上单调递减，在，上单调递增，，，可得函数大致图象如下，由，且，则，所以，易知，且，所以，，综上，.故选：ABD11.在棱长为2的正方体中，动点在底面内（含边界），且点到点的距离等于点到平面的距离，点的轨迹记为曲线，直线与曲线交于点，则（）A.曲线为抛物线的一部分B.C.与底面所成角的正切值为D.异面直线与所成角的余弦值的平方为【答案】ABD【详解】由题设，在平面内，以为轴，中点为原点，如下图示，轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线部分，其中，则直线，联立得，所以，则，故，A、B对；所以与底面所成角的正切值为，C错；将延长到，且，连接，易得，所以异面直线与所成角，即为或其补角，结合上述坐标系知，则，且，，所以，故，D对.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若集合的子集的个数为2，则的取值集合为______．【答案】【详解】由题设，集合有且仅有1个元素，所以，可得或1，故的取值集合为.故答案为：13.圆与圆的位置关系是______．【答案】相交【详解】由题设，且对应半径为，且对应半径为，所以，故，即两圆相交.故答案为：相交14.如图，这是一板胶囊，若从这板胶囊中随机选取3粒胶囊，则这3粒胶囊中有1粒与另外2粒都相邻（左右相邻或上下相邻）的概率为______．【答案】【详解】当3粒在同一行，每行有4种取法，结合对称性有8种，当2粒在同一行，每行有5种取法，再从另一行取另1粒，有种取法，结合对称性有种，综上，共有28种取法，而12粒任取3粒，共有种，故所求概率为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角，，的对边分别为，，，且，．（1）求；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【小问1详解】由，且，，则，所以，则，由，可得；【小问2详解】由，则，故，所以，则，，又，所以的面积.16.篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，是奥运会核心比赛项目．某高校为了了解大学生对篮球运动的喜好是否与性别有关联，随机在该校调查了100名大学生，得到的数据如表所示：单位：人性别篮球运动合计喜欢不喜欢男402060女152540合计5545100（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联？（2）从表中喜欢篮球运动55人中，按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取11人，再从这11人中选取3人进行采访，设被采访的3人中女生的人数为，求的分布列及数学期望．附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）能（2）分布列见详解；【小问1详解】由题可知，所以能认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联.【小问2详解】根据题意可知抽取得男大学生有人，女大学生3人，则再从这11人中选取3人中，女生人数可取0,1,2,3，，，所以的分布列为：0123期望.17.如图，在四棱锥中，为正三角形，，，，，．（1）证明：底面．（2）过点作平面的垂线，指出垂足的位置，并求四面体的体积．（3）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）点在中点，理由见详解；（3）【小问1详解】证明：，，，即，又，，为正三角形，所以，，即，又平面，所以底面【小问2详解】点在中点，理由如下，底面，底面，，又，平面，所以平面，又平面，所以，又为中点，，所以，又平面，所以平面，故点中点，，，，底面，，所以四面体的体积为.【小问3详解】设中点为，连接，，，即，，底面，所以以为原点建立空间直接坐标系，，设平面的一个法向量，则，不妨取，则，设平面的一个法向量，则，不妨取，则，，，所以二面角的正弦值为.18.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求正数的取值范围；（3）设，比较与2的大小．【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）.【小问1详解】由题设，且，当时，，则在上单调递减，当时，有，有，所以上单调递减，在上单调递增.综上，时在上单调递减，时在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】由，则，又，所以，即，令，则，故在上单调递增，又，要使，只需.【小问3详解】由，且，令，结合（1）知在上单调递减，所以，故，则，所以.19.已知双曲线：（，）的焦距为，，且点在上．（1）求的方程；（2）若直线：与的右支交于点（），求的取值范围；（3）若，是上不同的两点（异于点），的平分线垂直于（为坐标原点），证明：直线的倾斜角为定值