2025年上海市四校自主招生考试数学试题（学生版+解析版）

2025年上海市四校自主招生考试数学试题一、填空题(1-4题每题6分，5-8题每题7分)1.已知正数a,b,c,d满足 2.关于x的方程√x²+ax+1=x有实数根，那么a的取值范围是3.实数a和b满足,则a+b=4.一组数据1,2,n,4,n,6,7,其中有两组数据被涂黑，平均值为4,那么这组数据方差最小值为5.如图，正方形ABCD边长为3,其内部有一个等腰直角三角形EFG,其中∠G=90°,斜边长为√2,△EFG可以在正方形中任意滑动，始终保持EF垂直于AD,那么这个三角形的重心能扫到的面积为6.如图，平面直角坐标系xOy中有一菱形OABC,满足∠AOC=60°.一反比例函数经过点C且交线段AB于点P,那么7.如图，平行四边形ABCD的面积为是平行四边形的两条高.点P,Q,J的位置如图所三角形数.已知三个正整数a,b,c(a<b<c)满足a+b,a+c,b+C是三个连续的三角形数，那么二、解答题(9-10题每题15分，11题18分)9.如图.四边形ABCD内接于圆0,AB为圆0的直径，CD与BA的延长线交于点P.已知(1)求证：AD=CD;(2)若PA=AO=2,求四边形ABCD的面积.(2)若a=3,b=2k+5,c=3k+2,G₁与G₂存在两个交点，且这两个x₂,问：代数的值是否和实数k有关?说明理由.两个新的直角三角形，其边长分别为a,c,√a²+c²与b,c,√b²+c².现在，对于边长为3,4,5的直角三角形反复进行上述的变换.(1)第二次变换后，能够获得4个不同直角三角形.问：这4个直角三角形中有几个直角三角形最小角(2)第七次变换后，能够获得254个不同的直角三角形(含之前所有的三角形),已知这254个直角三角形没有一个与初始三角形相似，那么这些三角形中是否有相似的三角形?说明理由.2025年上海市四校自主招生考试数学试题(时间：60分钟满分：100分)一、填空题(1-4题每题6分，5-8题每题7分)【答案】2025【解析】根据题意可得再利用比例的性质求解即可.【详解】解：故答案为：2025.【答案】a<0【解析】【分析】此题考查了解无理方程.根据二次根式的意义得到x≥0,ax=-1,分两种情况进行解答即可.当a≠0时，综上：a<0故答案为：a<03.实数a和b满足,则a+b=【答案】【解析】【分析】此题考查了解二元一次方程组.根据2a-b的取值范围分两种情况进行解答即可.故答案为：4.一组数据1,2,n,4,n,6,7,其中有两组数据被涂黑，平均值为4,那么这组数据方差的最小值为_【答案】【解析】【分析】本题考查了方差的定义，平均数的计算确定被涂黑的两个数据应为4,4,再根据方差的计算公式，直接计算可得.1,2,n,4,n,6,7,平均值为4,要使这组数据方差的值最小；则被涂黑的两个数据应为4,4此时最小值5.如图，正方形ABCD边长为3,其内部有一个等腰直角三角形EFG,其中∠G=90°,斜边长为√2,【答案】【解析】【分析】本题主要考查对正方形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，等知识点的根据重心的定义，可知IJ=CD-EM-FM=3-√2.BBC【解析】过C作CH⊥OA,设OH=a,则CH=√3a,可得点C的坐标，进而求出反比例函数解析式，设,根据∠PAQ的正切列方程求出m值即可解题.∴反比例函数解析式设7.如图，平行四边形ABCD的面积为1,CD=1.AF,CE是平行四边形的两条高.点P,Q,J的位置如图所【解析】【分析】由全等三角形得到∠PJQ=∠CEB=90°,PJ=CE,QJ=EB,证明VJPA∽VQJE得到 EQ=PF=1-√1-m²,求出,则由勾股定理求出 EB=2-√3,由勾股定理即可求出答案.因为平行四边形ABCD的面积为1,CD=1,AF,CE是平行四边形的两条高，∵BE²=JQ²=QE²+JE²,式的运算等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键.三角形数.已知三个正整数a,b,c(a<b<c)满足a+b,a+c,b+c是三个连续的三角形数，那么【答案】237【解析】数值尝试解答即可；方法二设若若若若由于正整数a,b,c>0知n≥3,n=3时，不是整数.故答案为：237.二、解答题(9-10题每题15分，11题18分)9.如图.四边形ABCD内接于圆0(1)求证：AD=CD;(2)若PA=AO=2,求四边形ABCD的面积.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】(1)连接CO,根据平行线的性质得∠AOD=∠ABC,∠DOC=∠OCB,根据等边对等角得(1)根据圆内接四边形的性质得∠PDA=∠ABC,证明△PDA∽△POD得,求出,求出计算即可.【小问1详解】证明：连接CO,∵OD//BC,【小问2详解】即即四边形ABCD的面积为.【点睛】本题考查垂径定理，圆内接四边形的性质，弧、弦、圆心角的关系，锐角三角函数的定义，勾股定理，等边对等角，平行线的性质，三角形的面积等知识点.通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键.10.已知函数G₁:y=ax²+bx+c,G₂:y=x+2.(1)若a=1,G₁和G₂的图像恰有一个交点，求C关于b的函数解析式：(2)若a=3,b=2k+5,c=3k+2,G₁与G₂存在两个交点，且这两个交点的横坐标分别为x₁,x₂,问：代数式的值是否和实数k有关?说明理由.【答案】(1)(2)该值与k无关，理由见解析【解析】(1)利用G₁和G₂的图像恰有一个交点，即G₁:y=ax²+bx+c与G₂:y=x+2只有一个交点，可得(2)利用二次函数与一次函数交点可得,即3x²+2(k+2)x+3k=0,由k>4,对于3x²+2(k+2)x+3k=0,可知xX₂=k,【小问1详解】【小问2详解】对于函数w=4(k+2)²-36k=4k²-20k+16,可得w=4(k+2)²-36k=4k²-20k+16>0得k<1或k>4,对于3x²+2(k+2)x+3k=0,可知xx₂=k,所以该值与k无关.11.一直角三角形的边长为a,b,c.其中c为斜边，我们把它叫作初始三角形.现在进行如下的变换：构造两个新的直角三角形，其边长分别为a,c,√a²+c²与b,c,√b²+c².现在，对于边长为3,4,5的直角三角形反复进行上述的变换.(1)第二次变换后，能够获得4个不同的直角三角形.问：这4个直角三角形中有几个直角三角形最小角(2)第七次变换后，能够获得254个不同的直角三角形(含之前所有的三角形),已知这254个直角三角形没有一个与初始三角形相似，那么这些