重难点解析北师大版9年级数学上册期中试题及参考答案详解（突破训练）

北师大版9年级数学上册期中试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，E，F是正方形ABCD的边BC上两个动点，BE＝CF．连接AE，BD交于点G，连接CG，DF交于点M．若正方形的边长为1，则线段BM的最小值是（

）A． B． C． D．2、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C的对应点C'恰好落在AE上，则CE的长是（）A． B．1 C．2 D．3、图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，O为AE，DF的交点，S△ABC＝8，则S菱形ADEF＝（）A．4 B．4 C．4 D．44、妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是（

）A． B． C． D．5、下列选项中，矩形具有的性质是()A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角6、我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（

）A． B． C． D．7、已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（）A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16二、多选题（3小题，每小题2分，共计6分）1、下列说法正确的是(

)．A．对角线相等的菱形是正方形B．顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是菱形C．成轴对称的两个图形全等D．有三个角相等的四边形是矩形2、如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB的中点，连接AE，DF交于点N，将△ABE沿AE翻折，得到△AGE，AG交DF于点M，延长EG交AD的延长线于点H，连接CG，ME，取ME的中点为点O，连接NO，GO．则以下结论正确的有（

）A． B．C．△GEC为等边三角形 D．3、如图，分别以点A、B为圆心，同样长度为半径作圆弧，两弧相交于点C、D．连结AC、BC、AD、BD，则四边形ADBC一定是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形第Ⅱ卷（非选择题80分）三、填空题（10小题，每小题2分，共计20分）1、一菱形的对角线长分别为24cm和10cm，则此菱形的周长为________，面积为________．2、若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为_________．3、写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根______．4、《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少?如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程___________．5、对任意实数a，b，定义一种运算：，若，则x的值为_________．6、从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下：那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是__________．7、如图，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙重叠的四边形，若，，则边的长是____．8、如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．9、已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．10、已知菱形的边长为，两条对角线的长度的比为3：4，则两条对角线的长度分别是_____________．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、解方程：（1）x（x－3）－5（3－x）＝0（2）2、已知关于的一元二次方程有实数根.（1）求的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值.3、已知关于的方程有实根．（1）求的取值范围；（2）设方程的两个根分别是，，且，试求的值．4、如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC延长线上，DF⊥AE于点F，点G在AE上，且∠ABG＝∠E．求证：AG＝DF．5、如图，四边形ABCD是菱形，边长为10cm，对角线AC，BD交于点O，∠BAD＝60°．(1)求对角线AC，BD的长；(2)求菱形的面积．6、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】先证明△ABE≌△DCF（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAE＝∠CDF，证明△ABG≌△CBG（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAG＝∠BCG，取CD的中点O，连接OB、OF，则OF＝CO＝CD＝，由勾股定理求出OB的长，当O、M、B三点共线时，BM的长度最小，则可求出答案．【详解】解：如图，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CB，∠EBA＝∠FCD，∠ABG＝∠CBG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠BAE＝∠CDF，在△ABG和△CBG中，，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴∠BAG＝∠BCG，∴∠CDF＝∠BCG，∵∠DCM+∠BCG＝∠FCD＝90°，∴∠CDF+∠DCM＝90°，∴∠DMC＝180°﹣90°＝90°，取CD的中点O，连接OB、OF，则OF＝CO＝CD＝，在Rt△BOC中，OB＝＝＝，根据三角形的三边关系，OF+BM＞OB，∴当O、M、B三点共线时，BM的长度最小，∴BM的最小值＝OB﹣OF＝＝．故选：D．【考点】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2、B【解析】【分析】由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得C'D=CD=3，C'E=CE，由勾股定理得出AC'，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得：C'D=CD=3，C'E=CE，∠DC'E=∠C=90°，∴∠AC'D=90°，∴AC'==4，设CE=C'E=x，在Rt△ABE中，BE=5-x，AE=x+4，由勾股定理得：（5-x）2+32=（x+4）2，解得：x=1，故选：B．【考点】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3、C【解析】【分析】根据菱形的性质，结合AB=AC，得出DF为△ABC的中位线，DF∥BC，，从而得出AE为△ABC的高，得出，再根据菱形的面积公式，即可得出菱形的面积．【详解】解：∵四边形ADEF为菱形，∴EF∥AB，DE∥AC，AF=EF=DE=AD，AE⊥DF，∴，，，，，∴CF=EF，DE=DB，，，∴DF∥BC，，，，，，，即，，故C正确．故选：C．【考点】本题主要考查了菱形的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，菱形的面积，三角形面积的计算，根据菱形的性质和等腰三角形的性质得出DF为△ABC的中位线，是解题的关键．4、A【解析】【分析】根据题意画出树形图，求出在这两个路口都直接通过的概率为即可求解．【详解】解：由题意画树形图得，由树形图得共有4种等可能性，其中在这两个路口都直接通过的概率是P=．故选：A【考点】本题考查了列表或画树形图求概率，理解题意，正确列表或画树形图得到所有等可能的结果是解题关键．5、C【解析】【分析】根据矩形的性质逐项分析即可.【详解】A.四边相等是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意；B.对角线互相垂直是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意；C.对角线相等是是矩形的性质，故符合题意；D.每条对角线平分一组对角是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意；故选C.【考点】本题考查了矩形的性质：①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分；6、D【解析】【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论．【详解】解：，，，，，，故选：D．【考点】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．7、D【解析】【分析】由△ABC为等腰三角形，BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，可得两种情况：①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0②AB＝AC，此时方程的判别式为0，分别求解即可．【详解】解：∵△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0，∴m＝12；②AB＝AC，此时方程的判别式为0，∴Δ＝64﹣4m＝0，∴m＝16．故m的值等于12或16．故选：D．【考点】本题考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．二、多选题1、AC【解析】【分析】根据正方形，矩形的判定，成轴对称图形的关系，对各选项进行判断即可；【详解】解：对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意；B顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；C成轴对称的两个图形全等，正确，符合题意；D有四个角相等的四边形是矩形，错误，不符合题意．故答案为：A、C．【考点】本题考查了正方形，矩形的判定，成轴对称图形的关系．解题的关键在于对知识的灵活运用．2、ABD【解析】【分析】由正方形的性质可得，则易证，然后可判定A选项，由折叠的性质及平行线的性质可得B选项，由题意易得，进而根据三角形中线及等积法可判定D选项．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴，AD∥BC，∴，∵点E，F分别是边BC，AB的中点，∴，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，由折叠性质可得，∴，∴，假设△GEC为等边三角形成立，则有，∴，∴，∴，∴与AB=2BE相矛盾，故假设不成立；由折叠的性质可知，∴，∴，∵ME的中点为点O，∴，∴；综上所述：正确的有ABD；故选ABD．【考点】本题主要考查全等三角形的性质与判定、正方形的性质、折叠性质及等积法，熟练掌握全等三角形的性质与判定、正方形的性质、折叠性质及等积法是解题的关键．3、BD【解析】【分析】根据四边相等的四边形是菱形即可判断．【详解】解：由作图可知：AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC是菱形且为平行四边形，故选：BD．【考点】本题考查基本作图，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．三、填空题1、

52cm

120cm2【解析】【分析】根据菱形对角线互相平分且垂直得到边长，从而计算出周长，再根据面积公式计算出面积．【详解】解：∵菱形的对角线长分别为24cm和10cm，∴对角线的一半长分别为12cm和5cm，∴菱形的边长为：=13cm，∴菱形的周长为：13×4=52cm，面积为：×10×24=120cm2．故答案为：52cm，120cm2．【考点】此题主要考查学生对菱形的性质的理解及运用，属于基础题，关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半．2、8【解析】【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】解：∵正方形的一条对角线的长为4，∴这个正方形的面积=×4²=8．故答案为：8．【考点】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键．3、x2+x﹣1＝0（答案不唯一）【解析】【分析】这是一道开放自主题，只要写出的方程的Δ＞0就可以了．【详解】解：比如a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴方程为x2+x﹣1＝0．故答案为：x2+x﹣1＝0（答案不唯一）【考点】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握“根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．4、或【解析】【分析】设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，依题意得：即或．故答案为：或．【考点】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5、2或-3##-3或2【解析】【分析】根据题意得到关于x的一元二次方程，解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，解得或，故答案为：2或-3．【考点】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．6、【解析】【分析】依据树状图分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【详解】解：由树状图得：两次抽签的所有可能结果一共有9种情况，一根标有，一根标有的有，与，两种情况，一根标有，一根标有的概率是．故答案为：．【考点】本题考查的是用画树状图法求概率．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．7、【解析】【分析】由折叠的性质和矩形的性质可得∠HEF=90°，EA=EB=3，证明△HNG≌△FME，求出HF，设AH=x，在△AEH，△BEF和△EFH中，利用勾股定理列出方程，求出x，即可得到EH．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，由折叠可知：△EAH≌△EMH，△HNG≌△HDG，△FBE≌△FME，∴EA=EM，AH=MH，HD=HN，EB=EM，FB=FM，∠AEH=∠MEH，∠BEF=∠MEF，∠BME=∠B=90°，∠HNG=∠D=90°，∴EA=EB=AB=3，∵∠AEH+∠MEH+∠BEF+∠MEF=180°，∴2∠MEH+2∠MEF=180°，∴∠HEF=90°，同理可知：∠EHG=∠EFG=∠HGF=90°，∴四边形EHGF是矩形，∴HG∥FE，HG=FE，∴∠GHN=∠EFM，在△HNG和△FME中，，∴△HNG≌△FME（AAS），∴HN=FM，∴HD=FM，∴HF=HM+FM=AH+HD=AD=10，设AH=x，则HD=FM=FB=10-x，∵，，，∴，即，解得：x=1或x=9（舍），∴AH=1，∴，故答案为：．【考点】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．8、20【解析】【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n=，列一元二次方程求解可得．【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……∴第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n=，当共有210个小球时，，解得：或(不合题意，舍去)，∴第个图形共有210个小球．故答案为：．【考点】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n．9、2【解析】【详解】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．【详解】∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，∴m2﹣2m=0且m≠0，解得，m=2，故答案是：2．【考点】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．10、，【解析】【分析】如图BD：AC=3：4，AB=10cm，设BD=3x，则AC=4x，根据菱形的性质，DO=BO=，AO=CO=2x，在RtΔAOD中，AD2+DO2+AO2，，求出x，BD=3x，AC=4x即可．【详解】如图BD：AC=3：4，AB=10cm，设BD=3x，则AC=4x，根据菱形的性质，DO=BO=，AO=CO=2x，AC垂直BD在RtΔAOD中，AD2+DO2+AO2，，x=4，AC=4×4=16，BD=3×4=12，则两条对角线的长度分别是12cm,16cm．故答案为：12cm,16cm．【考点】本题考查菱形的对角线问题，掌握菱形的性质，利用对角线之间的关系，和勾股定理构造方程是解题关键．四、解答题1、（1）；（2）．【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程的方法求解即可．【详解】解：（1）x（x－3）－5（3－x）＝0解得：．（2）解得：．【考点】此题考查了因式分解法解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法．2、（1）.（2）.【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，结合|x1-x2|=4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2；（2）∵方程x2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【考点】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1-x2|=4，找出关于m的一元一次方程．3、（1）；（2）不存在【解析】【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：（1）∵，，，∴，∴；（2）由题意可知：x1+x2=2，x1x2=，∵，∴，∴k=，∵，∴k=不符合题意，舍去，∴k的值不存在．【考点】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟