综合解析北师大版9年级数学上册期末试题及参考答案详解（综合卷）

北师大版9年级数学上册期末试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题24分）一、单选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2、如图，直线与双曲线交于两点，则当线段的长度取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．3、下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（

）A． B．x2+2x+4=0 C．x2-x+2=0 D．x2-2x=04、已知反比例函数的图象如图所示，将该曲线绕点O顺时针旋转得到曲线，点N是曲线上一点，点M在直线上，连接、，若，的面积为，则k的值为（

）A． B． C． D．5、如下图所示的几何体从上面看到的图形()A． B． C． D．6、如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把矩形沿EF折叠后，使点D恰好落

在BC边上的G点处，若矩形面积为且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B． C．2 D．二、多选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、关于x的一元二次方程(k－1)x2+4x+k－1=0有两个相等的实数根，则k的值为（

）A．1 B．0 C．3 D．－32、已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（

）．A．5+2B．15C．10+D．15+33、手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画．下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形．等边三角形．正方形和矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形相似的是（

）A． B．C． D．4、下列各组图形中相似的是（

）A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形5、下列命题正确的是（

）A．菱形既是中心对称图形又是轴对称图形B．的算术平方根是5C．如果一个多边形的各个内角都等于108°，则这个多边形是正五边形D．如果方程有实数根，则实数6、下列方程中，有实数根的方程是（）A．(x﹣1)2＝2 B．(x+1)(2x﹣3)＝0C．3x2﹣2x﹣1＝0 D．x2+2x+4＝0第Ⅱ卷（非选择题76分）三、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是___．2、如图，在一块长为22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路的宽为________m．3、你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是_____．（只填序号）4、一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，则其斜边的长是___．5、一菱形的对角线长分别为24cm和10cm，则此菱形的周长为________，面积为________．6、已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝________．7、如图，边长为4的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和是________．8、若函数是反比例函数，那么k的值是_____．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．(1)求证：△ABN≌△MAD；(2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．2、如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．3、在矩形中，于点，点是边上一点．（1）若平分，交于点，PF⊥BD，如图（1），证明四边形是菱形；（2）若，如图（2），求证：．4、如图，BF平行于正方形ADCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF.5、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝DE＝AB，连接DE．将△ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为θ．（1）[问题发现]①当θ＝0°时，＝；②当θ＝180°时，＝；（2）[拓展研究]试判断：当0°≤θ＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）[问题解决]在旋转过程中，BE的最大值为．6、已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：四边形是平行四边形，A、当时，它是菱形，选项不符合题意，B、当时，它是菱形，选项不符合题意，C、当时，它是矩形，选项不符合题意，D、当时，它是矩形，不一定是正方形，选项符合题意，故选：．【考点】本题考查正方形、菱形、矩形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．2、C【解析】【分析】当直线经过原点时，线段AB的长度取最小值，依此可得关于的方程，解方程即可求得的值．【详解】∵根据反比例函数的对称性可知，要使线段AB的长度取最小值，则直线经过原点，∴，解得：．故选：C．【考点】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题的关键是理解当直线经过原点时，线段AB的长度取最小值．3、D【解析】【分析】逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论．【详解】A.此方程判别式，方程有两个相等的实数根，不符合题意;B.此方程判别式方程没有实数根，不符合题意;C.此方程判别式，方程没有实数根，不符合题意;D.此方程判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意;故答案为：D.【考点】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．4、B【解析】【分析】将直线y=-x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°，则直线y=-x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，即可求解．【详解】解：∵将直线y=-x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°，则直线y=-x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，∴旋转后点N落在曲线C1上，点M落在x轴上，如图所示，设点M，N的对应点分别是M'，N'，过点N'作N'P⊥x轴于点P，连接ON'，M'N'．∵MN=ON，∴M'N'=ON'，M'P=PO，∴S△MON=S△M′ON′=2S△ON′P=2×=，∴（舍）或，故选B．【考点】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，旋转的性质，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养．5、D【解析】【分析】该几何体是下面一个长方体，上面是一个小的长方体，因此从上面看到的图形是两个长方形叠在一起．【详解】解：从上面看到的图形：故答案为：D．【考点】此题考查了从不同方向观察物体和几何体，考查学生的空间想象能力和抽象思维能力．6、A【解析】【分析】由折叠的性质得，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°可得∠GFE=60°，即△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，解直角三角形得到GE=2EC，DC=EC，再由GE=2BG，结合矩形面积为，求出EC，最后根据EF=GE=2EC即可解答．【详解】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE,∵∠AFG=60°∴∠GFE+∠DFE=180°-∠AFG=120°∴∠GFE=60°∵AF∥GE,∠AFG=60°∴∠FGE=∠AFG=60°∴△GEF为等边三角形∴EF=GE.∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°∴∠HGE=30°在Rt△GHE中，∠HGE=30°∴GE=2HE=2CE.∴GH==HE=CE∴GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC∵矩形ABCD的面积为4.∴4EC·EC=.∴EC=，∵GE=2HE=2CE.∴EF=GE=1故答案为A．【考点】本题考查了矩形的翻折变换、等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，根据边角关系和解直角三角形找出确定BC=4EC，DC=EC是解答本题的关键．二、多选题1、C【解析】【分析】由方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于k的方程，则可求得k的值．【详解】解：∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即42﹣4(k﹣1)2＝0，且k﹣1≠0，解得k＝3或k＝-1．故选C．【考点】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．2、AC【解析】【分析】根据相似三角形的性质、分情况计算即可．【详解】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似；当三边分别为3，4，，和6，8，2，此时两三角形相似；当3，4为直角边时，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：n＝＝2，故m+n＝5+2；当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：m＝＝，故m+n＝10+；综上所述：m+n的值为5+2或10+，故选：A、C．【考点】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．3、ABC【解析】【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．【详解】解：A、形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故该选项符合题意；B、形状相同，符合相似形的定义，故该选项符合题意；C、形状相同，符合相似形的定义，故该选项符合题意；D、两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故该选项不符合题意；故选：ABC．【考点】本题考查的是相似形的概念，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形．全等形是相似形的一个特例．4、BCD【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法和等腰三角形的性质进行解答即可得．【详解】解：A、没有指明这个的角是顶角还是底角，则无法判定其相似，选项说法错误，不符合题意；B、有一个角为的等腰三角形是等边三角形，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似，选项说法正确，符合题意；C、已知一个角为的等腰三角形，我们可以判定其为顶角，顶角相等且两条腰对应成比例则这两个三角形相似，选项说法正确，符合题意；D、两个等腰直角三角形，可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似，选项说法正确，符合题意；故选BCD．【考点】本题考查了相似三角形，解题的根据是掌握相似三角形的判定和等腰三角形的性质．5、AD【解析】【分析】利用菱形的对称性、算术平方根的定义、多边形的内角和、一元二次方程根的判别式等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，故命题正确，符合题意；B、的算术平方根是，故命题错误，不符合题意；C、若一个多边形的各内角都等于108°，各边也相等，则它是正五边形，故命题错误，不符合题意；D、对于方程，当a＝0时，方程，变为2x＋1＝0，有实数根，当a≠0时，时，即，方程有实数根，综上所述，方程有实数根，则实数，故命题正确，符合题意．故选：AD．【考点】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解算术平方根的定义、菱形的对称性、多边形的内角和、一元二次方程根的判别式等知识，难度不大．6、ABC【解析】【分析】根据直接开方法可确定A选项正确；根据因式分解法可确定B选项正确；根据方程的判别式，当时，方程有两个不等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根，可判断C选项正确，D选项错误．【详解】A.，解得：，，方程有实数根，A选项正确；B.，解得：，，方程有实数根，B选项正确；C.，，，，方程有实数根，C选项正确；D.，，，，方程无实数根，D选项错误．故选：ABC．【考点】本题考查了一元二次方程根的判断，熟练掌握根的判别式是解题的关键．三、填空题1、【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关键可得：从而列不等式可得答案．【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，故答案为：【考点】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．2、2【解析】【分析】设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，依题意得：（22-x）（14-x）=240，整理得：x2-36x+68=0，解得：x1=2，x2=34（不合题意，舍去）．故答案为：2．【考点】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3、②【解析】【分析】仿造案例，构造面积是的大正方形，由它的面积为，可求出，此题得解．【详解】解：即，构造如图②中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．故答案为②．【考点】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．4、cm【解析】【分析】设较短的直角边长是xcm，较长的就是（x+5）cm，根据面积是7cm，求出直角边长，根据勾股定理求出斜边长．【详解】解：设这个直角三角形的较短直角边长为xcm，则较长直角边长为（x＋5）cm，根据题意，得，所以，解得，，因为直角三角形的边长为正数，所以不符合题意，舍去，所以x＝2，当x＝2时，x＋5＝7，由勾股定理，得直角三角形的斜边长为＝＝cm．故答案为：cm．【考点】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，关键是知道三角形面积公式以及直角三角形中勾股定理的应用．5、

52cm

120cm2【解析】【分析】根据菱形对角线互相平分且垂直得到边长，从而计算出周长，再根据面积公式计算出面积．【详解】解：∵菱形的对角线长分别为24cm和10cm，∴对角线的一半长分别为12cm和5cm，∴菱形的边长为：=13cm，∴菱形的周长为：13×4=52cm，面积为：×10×24=120cm2．故答案为：52cm，120cm2．【考点】此题主要考查学生对菱形的性质的理解及运用，属于基础题，关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半．6、－1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义m-1≠0，且，解答即可．【详解】∵（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，∴m-1≠0，且，∴m-1≠0，且，∴，故答案为：-1．【考点】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．7、8【解析】【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，且AB∥x轴，BC∥y轴，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积．【详解】解：根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转90°，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合，所以阴影的面积是图中正方形面积的一半，且AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数与的图象均与正方形ABCD的边相交，而边长为4的正方形面积为16，所以图中的阴影部分的面积是8．故答案为：8．【考点】本题主要考查反比例函数图象和性质的应用，关键是要分析出其图象特点，再结合性质作答．8、0【解析】【分析】直接利用反比例函数的定义得出答案．【详解】∵函数是反比例函数，∴k2﹣3k﹣1＝﹣1且3﹣k≠0，解得：k1＝0，k2＝3，（不合题意舍去）∴k=0．故答案为：0．【考点】本题主要考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义，是解题的关键．四、解答题1、(1)见解析(2)S四边形BCMN＝4－8【解析】【分析】（1）利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两对相等的角，利用AAS证得两三角形全等即可；（2）利用全等三角形的性质求得AD=BN=2，AN=4，从而利用勾股定理求得AB的长，利用S四边形BCMN=S矩形ABCD-S△ABN-S△MAD求得答案即可．(1)证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD.∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，在△ABN与△MAD中，，∴△ABN≌△MAD(AAS)．(2)解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD.∵AD＝2，∴BN＝2.又∵AN＝4，∴在Rt△ABN中，由勾股定理，得AB＝2.∴S矩形ABCD＝2×2＝4.又∵S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4.∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD－S△ABN－S△MAD＝4－8.【考点】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定，了解矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分是解答本题的关键，难度不大．2、(1)见解析(2)120【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，利用全等三角形的判定和性质得出，，依据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形的菱形）即可证明；（2）连接AC，交BD于点H，利用菱形的性质及勾股定理可得，再根据菱形的面积公式求解即可得．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)解：如图所示：连接AC，交BD于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴，∵，，∴，在中，，∴，∴平行四边形ABCD的面积为：．【考点】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质及其面积公式，勾股定理等，理解题意，熟练掌握各个性质定理是解题关键．3、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）想办法证明AG=PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PA=PF即可解决问题．（2）证明△AEP∽△DEC，可得，由此即可解决问题．【详解】解：（1）∵平分，，，∴，，又∵在中，，在中，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，，∴AG∥PF，∴四边形是平行四边形，∴四边形AGFP是菱形；（2）∵，，∴，，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴．【考点】本题主要考查了角平分线的性质，菱形的判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4、105°【解析】【分析】首先过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q，易得四边形AOBQ是正方形，四边形ACFE是菱形，Rt△AOE中，AE＝2AO，即可求得∠AEO＝30°，继而求得答案．【详解】作AO⊥FB的延长线,BQ⊥AC∵BF∥AC,∴AO∥BQ且∠QAB＝∠QBA＝45°∴AO＝BQ＝AQ＝AC∵AE＝AC

∴AO＝AE∴∠AEO＝30°∵BF∥AC

∴∠CAE∠AEO＝30°∵BF∥AC,CF∥AE

∴∠CFE∠CAE＝30°∵BF∥AC

∴∠CBF∠BCA＝45°∠BCF＝180°－∠CBF－∠CFE＝180°－45°－30°＝105°【考点】本题考了正方形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°的直角三角形的性质，解题关键是注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．5、（1）