初三数学几何专项训练题库全集

初三数学几何专项训练题库全集——核心知识点+经典例题+分层训练+解题攻略引言几何是初三数学的核心板块，占中考数学分值的30%-40%（不同地区略有差异）。其考查重点包括逻辑推理能力、空间想象能力和几何模型应用能力，是区分学生数学水平的关键题型。本题库以“知识点-例题-训练-技巧”为逻辑主线，覆盖初三几何所有核心内容（三角形、四边形、圆、相似、综合题），旨在帮助学生系统梳理考点、掌握解题方法、提升应试能力。一、三角形专项训练三角形是几何的基础，也是中考的“必考点”，重点考查全等、等腰、直角三角形的性质与判定。（一）全等三角形1.核心考点定义：能够完全重合的两个三角形；判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等）、HL（直角三角形斜边+直角边对应相等）；性质：对应边相等、对应角相等、对应中线/高线/角平分线相等、面积相等。2.经典例题例1（基础型）：如图，已知$AB=CD$，$AD=BC$，求证：$\angleA=\angleC$。解题思路：连接公共边$BD$，通过SSS判定$\triangleABD\cong\triangleCDB$，从而得到对应角相等。证明：连接$BD$，在$\triangleABD$和$\triangleCDB$中，$\begin{cases}AB=CD（已知）\\AD=BC（已知）\\BD=DB（公共边）\end{cases}$，$\therefore\triangleABD\cong\triangleCDB$（SSS），$\therefore\angleA=\angleC$（全等三角形对应角相等）。例2（提升型）：如图，在$\triangleABC$中，$\angleACB=90^\circ$，$AC=BC$，点$D$在$AB$上，$AE\perpCD$于$E$，$BF\perpCD$交$CD$延长线于$F$，求证：$AE=BF+EF$。解题思路：证明$\triangleACE\cong\triangleCBF$（AAS），得到$AE=CF$、$CE=BF$，通过等量代换得$AE=BF+EF$。3.分层训练基础题：（1）如图，$AB=DE$，$BC=EF$，$AC=DF$，求证：$\triangleABC\cong\triangleDEF$。（答案：SSS）（2）如图，$\angle1=\angle2$，$AB=AD$，$AC=AE$，求证：$BC=DE$。（答案：SAS）提升题：（3）如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$中点，$E$、$F$分别在$AB$、$AC$上，且$BE=CF$，求证：$DE=DF$。（提示：连接$AD$，利用等腰三角形三线合一和SAS判定$\triangleBDE\cong\triangleCDF$）拓展题：（4）如图，在平面直角坐标系中，点$A(0,3)$，$B(4,0)$，$C(4,3)$，点$D$在$x$轴上，且$\triangleABD\cong\triangleACD$，求点$D$的坐标。（答案：$D(2,0)$或$D(-2,0)$）（二）等腰三角形与等边三角形1.核心考点等腰三角形：两边相等→等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）；等边三角形：三边相等→三角均为$60^\circ$；判定（有一个角是$60^\circ$的等腰三角形）。2.经典例题例1（基础型）：等腰三角形顶角为$80^\circ$，求底角。（答案：$50^\circ$）例2（提升型）：如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，点$D$在$AC$上，且$BD=BC=AD$，求$\angleA$的度数。（答案：$36^\circ$，提示：设$\angleA=x$，利用外角性质列方程）3.分层训练基础题：（1）等腰三角形底角为$50^\circ$，求顶角。（答案：$80^\circ$）（2）等边三角形边长为$2$，求高。（答案：$\sqrt{3}$）提升题：（3）如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，点$E$在$AB$上，点$F$在$AC$延长线上，且$BE=CF$，$EF$交$BC$于$D$，求证：$DE=DF$。（提示：作$EG\parallelAC$交$BC$于$G$，证明$\triangleEGD\cong\triangleFCD$）拓展题：（4）如图，等腰$\triangleABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，点$P$在$BC$上运动（不与$B$、$C$重合），过$P$作$PD\perpAB$于$D$，$PE\perpAC$于$E$，求$PD+PE$的长度。（答案：$24/5$，提示：面积法）（三）直角三角形与三角函数1.核心考点直角三角形性质：两锐角互余；勾股定理（$a^2+b^2=c^2$）；斜边上的中线等于斜边的一半；$30^\circ$角所对直角边等于斜边的一半；锐角三角函数：$\sinA=$对边/斜边，$\cosA=$邻边/斜边，$\tanA=$对边/邻边；解直角三角形：已知两边或一边一角，求其他边和角。2.经典例题例1（基础型）：在$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=3$，$BC=4$，求$AB$和$\sinA$。（答案：$AB=5$，$\sinA=4/5$）例2（应用型）：如图，建筑物高$AB=20$米，从地面$C$点看顶部$A$的仰角为$30^\circ$，求$C$到$B$的距离。（答案：$20\sqrt{3}$米，提示：$\tan30^\circ=AB/BC$）3.分层训练基础题：（1）在$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AB=10$，$AC=6$，求$BC$和$\cosB$。（答案：$BC=8$，$\cosB=4/5$）（2）计算：$\sin60^\circ+\cos30^\circ-\tan45^\circ$。（答案：$\sqrt{3}-1$）提升题：（3）如图，在$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AD$平分$\angleBAC$，交$BC$于$D$，若$CD=3$，$BD=5$，求$AC$的长度。（答案：$6$，提示：作$DE\perpAB$于$E$，利用角平分线性质和勾股定理）拓展题：（4）如图，轮船从$A$港正北航行（速度$20$海里/小时），快艇从$B$港正东航行（速度$30$海里/小时），$A$港在$B$港南偏东$60^\circ$方向，距离$100$海里，求出发后$2$小时两船之间的距离。（提示：建立坐标系，用距离公式计算）二、四边形专项训练四边形是几何的“综合载体”，重点考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定。（一）平行四边形1.核心考点定义：两组对边分别平行的四边形；性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；判定：两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分。2.经典例题例1（基础型）：在$\squareABCD$中，$AB=5$，$BC=3$，求周长。（答案：$16$）例2（提升型）：如图，在$\squareABCD$中，$E$、$F$分别是$AB$、$CD$的中点，求证：四边形$AECF$是平行四边形。（提示：证明$AE=CF$且$AE\parallelCF$）3.分层训练基础题：（1）在$\squareABCD$中，$\angleA=120^\circ$，求$\angleB$的度数。（答案：$60^\circ$）（2）在$\squareABCD$中，对角线$AC=8$，$BD=10$，求$OA$和$OB$的长度。（答案：$OA=4$，$OB=5$）提升题：（3）如图，在$\squareABCD$中，点$E$在$AD$上，且$AE=2ED$，连接$BE$交$AC$于$F$，若$AC=12$，求$AF$的长度。（答案：$4.8$，提示：相似三角形$\triangleAEF\sim\triangleCBF$）（二）矩形、菱形、正方形1.核心考点矩形：有一个角是直角的平行四边形→对角线相等、四个角都是直角；菱形：有一组邻边相等的平行四边形→对角线互相垂直平分、四边相等；正方形：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形→兼具矩形和菱形的所有性质。2.经典例题例1（基础型）：矩形$ABCD$中，$AC=10$，$AB=6$，求$BC$的长度。（答案：$8$）例2（提升型）：菱形$ABCD$的对角线$AC=6$，$BD=8$，求边长和面积。（答案：边长$5$，面积$24$）3.分层训练基础题：（1）矩形$ABCD$中，$\angleAOB=60^\circ$，$AB=2$，求$AC$的长度。（答案：$4$）（2）菱形$ABCD$中，$\angleABC=60^\circ$，边长为$2$，求对角线$AC$的长度。（答案：$2$）提升题：（3）如图，在矩形$ABCD$中，对角线$AC$、$BD$交于点$O$，$AE\perpBD$于$E$，若$\angleBAE=30^\circ$，$BE=1$，求$AC$的长度。（答案：$4$，提示：$\angleABD=60^\circ$，$OB=OA=AB=2$）三、圆专项训练圆是几何的“难点所在”，重点考查圆的基本性质、切线、弧长与扇形面积。（一）圆的基本性质1.核心考点垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧；圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角。2.经典例题例1（基础型）：在$\odotO$中，弦$AB=8$，半径$OA=5$，求圆心$O$到弦$AB$的距离。（答案：$3$，提示：作弦心距$OC$，用勾股定理）例2（提升型）：如图，$\triangleABC$内接于$\odotO$，$AB=AC$，$\angleBAC=120^\circ$，$BC=6$，求$\odotO$的半径。（答案：$2\sqrt{3}$，提示：连接$OA$，利用等边三角形性质）3.分层训练基础题：（1）在$\odotO$中，半径为$5$，弦$AB=8$，求圆心到弦$AB$的距离。（答案：$3$）（2）在$\odotO$中，圆心角$\angleAOB=60^\circ$，半径$OA=4$，求弦$AB$的长度。（答案：$4$）提升题：（3）如图，在$\odotO$中，弦$AB=CD$，$AB\perpCD$于$E$，若$OE=3$，求$AB$的长度。（提示：作弦心距，用坐标法）（二）切线的性质与判定1.核心考点切线的性质：切线垂直于过切点的半径；切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2.经典例题例1（基础型）：如图，$PA$切$\odotO$于$A$，$OA=3$，$PA=4$，求$PO$的长度。（答案：$5$，提示：$OA\perpPA$，用勾股定理）例2（提升型）：如图，$AB$是$\odotO$的直径，点$P$在$AB$延长线上，$PC$切$\odotO$于$C$，若$\angleP=30^\circ$，$PC=2$，求$\odotO$的半径。（答案：$2\sqrt{3}/3$，提示：$OC\perpPC$，用三角函数）3.分层训练基础题：（1）如图，$BC$切$\odotO$于$B$，$OB=5$，$OC=13$，求$BC$的长度。（答案：$12$）（2）如图，$AB$是$\odotO$的直径，$BC$切$\odotO$于$B$，$AC$交$\odotO$于$D$，若$\angleC=30^\circ$，$AB=2$，求$AC$的长度。（答案：$4$）（三）弧长与扇形面积1.核心考点弧长公式：$l=\frac{n\piR}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为半径）；扇形面积公式：$S=\frac{n\piR^2}{360}=\frac{1}{2}lR$；圆锥侧面积：$S=\pirl$（$r$为底面半径，$l$为母线长）。2.经典例题例1（基础型）：在$\odotO$中，半径为$6$，圆心角$\angleAOB=60^\circ$，求弧$AB$的长度和扇形$AOB$的面积。（答案：弧长$2\pi$，面积$6\pi$）例2（提升型）：圆锥的底面半径为$3$，母线长为$5$，求圆锥的侧面积和全面积。（答案：侧面积$15\pi$，全面积$24\pi$）3.分层训练基础题：（1）$\odotO$的半径为$4$，弧长为$2\pi$，求圆心角的度数。（答案：$90^\circ$）（2）扇形的圆心角为$120^\circ$，面积为$3\pi$，求半径。（答案：$3$）提升题：（3）如图，在$\odotO$中，弦$AB=6$，圆心角$\angleAOB=120^\circ$，求弧$AB$的长度。（答案：$\frac{4\sqrt{3}\pi}{3}$，提示：先求半径）四、相似三角形专项训练相似三角形是几何的“工具性知识”，重点考查相似的判定与性质。（一）相似的判定与性质1.核心考点判定定理：AA（两角对应相等）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边对应成比例）；性质：对应边成比例、对应角相等、面积比等于相似比的平方。2.经典例题例1（基础型）：如图，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AD=2$，$DB=3$，$DE=4$，求$BC$的长度。（答案：$10$，提示：$\triangleADE\sim\triangleABC$，相似比$2:5$）例2（提升型）：如图，在$\triangleABC$中，$\angleACB=90^\circ$，$CD\perpAB$于$D$，若$AC=6$，$BC=8$，求$CD$的长度。（答案：$24/5$，提示：$\triangleABC\sim\triangleACD$，或面积法）3.分层训练基础题：（1）$\triangleABC\sim\triangleDEF$，相似比为$2:3$，$\triangleABC$的面积为$8$，求$\triangleDEF$的面积。（答案：$18$）（2）在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AD=1$，$DB=2$，$DE=3$，求$BC$的长度。（答案：$9$）提升题：（3）如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC=10$，$BC=12$，点$D$在$AC$上，$BD=8$，求$AD$的长度。（答案：$6$，提示：作高$AE$，用勾股定理列方程）五、几何综合题专项训练几何综合题是中考的“压轴题”，重点考查动点、折叠、存在性问题的解决能力。（一）动点问题例1：如图，在$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=6$，$BC=8$，点$P$从$A$出发，以每秒$1$个单位的速度沿$AC$向$C$运动，点$Q$从$C$出发，以每秒$2$个单位的速度沿$CB$向$B$运动，两点同时出发，设运动时间为$t$秒（$0\leqt\leq4$），求：（1）当$t=2$时，$\triangleCPQ$的面积；（2）当$t$为何值时，$PQ\parallelAB$；（3）当$t$为何值时，$\triangleCPQ$的面积最大，最大值是多少？解题思路：（1）$t=2$时，$CP=6-2=4$，$CQ=2\times2=4$，面积$=4\times4/2=8$；（2）$PQ\parallelAB$→$\triangleCPQ\sim\triangleCAB$→$CP/CA=CQ/CB$→$(6-t)/6=2t/8$→$t=24/11$；（3）面积$S=(6-t)\times2t/2=-t^2+6t$→当$t=3$时，最大值为$9$。（二）折叠问题例2：如图，在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$BC=6$，点$E$在$BC$上，$BE=2$，将$\triangleABE$沿$AE$折叠，点$B$落在点$B'$处，求$B'$到$BC$的距离。解题思路：用坐标法，设$A(0,0)$，$B(4,0)$，$E(4,2)$，折叠后$B'(x,y)$，则$AB'=AB=4$、$B'E=BE=2$，列方程组：$\begin{cases}x^2+y^2=16\\(x-4)^2+(y-2)^2=4\end{cases}$，解得$x=16/5$，$y=12/5$，故$B'$到$BC$的距离为$12/5$。（三）存在性问题例3：如图，在平面直角坐标系中，点$A(0,3)$，$B(4,0)$，$C(4,3)$，点$D$在$x$轴上，是否存在点$D$，使得$\triangleABD$与$\triangleABC$相似？若存在，求点$D$的坐标；若不存在，请说明理由。解题思路：$\triangleABC$是直角三角形（直角在$C$点），$\triangleABD$的直角可能在$A$、$B$或$D$点，分情况讨论：直角在$A$点：$AD\perpAB$，$AD$斜率为$4/3$，方程$y=4/3x+3$，与$x$轴交于$D(-9/4,0)$，验证相似性（不成立）；直角在$B$点：$BD\perpAB$，$BD$斜