第6章一次方程（组）和一次不等式（压轴30题专练）-六年级数学下学期考试满分全（沪教版）

第6章一次方程（组）和一次不等式（压轴30题专练）一．选择题（共4小题）1．（2002•南京）某出租车收费标准是：起步价6元（即行驶距离不超过3千米需付6元车费），超过3千米后，每增加1千米加收1.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地支付车费17.2元，设此人从甲地到乙地经过的路程为x千米，则x的最大值是（）A．13 B．11 C．9 D．7【分析】已知从甲地到乙地共需支付车费17.2元，从甲地到乙地经过的路程为x千米，从而根据题意列出不等式，从而得出答案．【解答】解：因支付车费为17.2元，所以x肯定大于3km，故有1.4（x﹣3）+6≤17.2，解得：x≤11．可求出x的最大值为11千米．答：此人从甲地到乙地经过的路程为11千米．故选：B．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解，2．（2007•绍兴）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（）A．20mL以上，30mL以下 B．30mL以上，40mL以下 C．40mL以上，50mL以下 D．50mL以上，60mL以下【分析】先假设5个球放下去刚好满了的情况，得出初步判断，然后假设四个满的情况．【解答】解：500﹣300＝200，200÷4＝50，200÷5＝40，所以介于40到50之间．故选：C．【点评】此题要从水是否溢出入手．3．（2012•恩施州）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%【分析】缺少质量和进价，应设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ay元，但在售出时，只剩下（1﹣10%）a千克，售货款为（1﹣10%）a×（1+x）y元，根据公式×100%＝利润率可列出不等式，解不等式即可．【解答】解：设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，由题意得：×100%≥20%，解得：x≥≈33.4%，经检验，x≥是原不等式的解．∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%．故选：B．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，设出必要的未知数，表示出售价，售货款，进货款，利润．注意在解出结果后，要考虑实际问题，利用收尾法，不能用四舍五入．4．（2004•十堰）不等式组的解集为x＜6m+3，则m的取值范围是（）A．m≤0 B．m＝0 C．m＞0 D．m＜0【分析】先把m当做已知表示出x的解集，再与已知解集相比较即可求出m的取值范围．【解答】解：原不等式组可化为，由①得，x＜6m+3，由②得，x＜，∵不等式组的解集为x＜6m+3，根据“同小取较小”的原则可知，≥6m+3，即11m≤0，∴m≤0．故选：A．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是先用含m的式子表示出x的解集，再与已知解集相比较可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．二．填空题（共4小题）5．（2010•静安区模拟）已知某种商品的售价每件为150元，即使促销降价20%后，扣除成本仍有20%的利润，那么该商品每件的成本价是100元．【分析】本题可设该商品的进价为x元，因为售价每件为150元，即使促销降价20%后，扣除成本仍有20%的利润，所以有售价×80%＝（1+20%）x，解之即可求出答案．【解答】解：设该商品的进价为x元，根据题意得：150×80%＝（1+20%）x，解之得x＝100，即该商品的进价为100元．【点评】此题只需分析题意，找出合适的等量关系，即可利用方程解决问题．6．（2021春•闵行区期末）方程2x+y＝5的正整数解为x＝2，y＝1或x＝1，y＝3．【分析】由题意求方程的解且要使x，y都是正整数，将方程移项，再把x和y互相表示出来，在由题意要求x＞0，y＞0，根据以上两个条件可夹出合适的x值从而代入方程得到相应的y值．【解答】解：由已知方程2x+y＝5，移项得y＝5﹣2x，∵x，y都是正整数，则有y＝5﹣2x＞0，又∵x＞0，∴0＜x＜，又∵x为正整数，根据以上条件可知，合适的x值只能是x＝1、2，代入方程得相应y＝3、1，∴方程2x+y＝5的正整数解为x＝1，y＝3；x＝2，y＝1．【点评】本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．7．（2013•徐汇区校级自主招生）已知a＞0，且不等式1＜ax＜2恰有三个正整数解，则当不等式2＜ax＜3含有最多的整数解时，正数a的取值范围为≤a＜．【分析】不等式1＜ax＜2两边同时除以a得到a的范围，由a＜，知＞4，此时与间不超过四个整数，据此得≤4，再分①三个整数解为5、6、7；②三个整数解为4、5、6；③三整数解为3、4、5分别求解得出答案．【解答】解：不等式1＜ax＜2两边同时除以a得：＜x＜，若a＜，则＞4，此时与间不超过四个整数，∴a≥，则≤4，①若三个整数解为5、6、7，则＝4，此时＝8，＝12，得2＜ax＜3，解集为8＜x＜12，共有3个整数解；②若三个整数解为4、5、6，则，解得3＜≤，即≤a＜，此时9＜≤，∴10＜＜，此时≤a＜，由＜x＜知不等式的整数解为7、8、9、10，共有4个；③若三整数解为3、4、5，则，解得＜＜3，则＜＜9，当8＜＜9时，＜x＜的整数解最多，为6、7、8，共3个；综上，当且仅当≤a＜时，2＜ax＜3有四个整数解，最多．故答案为：≤a＜．【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，根据x的取值范围，得出x的整数解，然后代入方程即可解出a的值．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．8．工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．则该工艺品每件的进价是155元，标价是200元．【分析】本题是一道和商品的进价、标价和利润有关的实际问题，从题意中可得到相等关系有：每件商品的标价﹣每件商品的进价＝45元；8件工艺品的利润＝12件工艺品的利润．如果设进价为x元，则标价为（x+45）元，可列一元一次方程求解．【解答】解：设每件工艺品的进价为x元，标价为（x+45）元，根据题意，得：8×[85%•（x+45）﹣x]＝12×（45﹣35）解得x＝155，x+45＝200．所以该工艺品每件的进价为155元、标价为200元．【点评】本题考查一元一次方程的实际应用．难度中等．三．解答题（共22小题）9．（2021秋•黄石期末）某工厂甲乙两车间生产汽车零件，四月份甲乙两车间生产零件数之比是4：7，五月份甲车间提高生产效率，比四月份提高了25%，乙车间却比四月份少生产50个，这样五月份共生产1150个零件．求四月份甲乙两车间生产零件个数各多少个．【分析】设4月份甲乙两车间生产零件数分别为4x个、7x个，则可得出五月份甲车间生产零件4x（1+25%），乙车间生产零件（7x﹣50），根据五月份共生产1150个零件，可得出方程，解出即可．【解答】解：设4月份甲乙两车间生产零件数分别为4x个、7x个，由题意得，4x（1+25%）+7x﹣50＝1150，解得：x＝100，4x＝400，7x＝700．答：4月份甲乙两车间生产零件数400个，700个．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，关键是设出未知数，根据等量关系列出方程，难度一般．10．（2021春•闵行区期末）解方程组：．【分析】根据加减消元法先将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程即可求得方程的解．【解答】解：由①+②，得4x+5z＝13④由④﹣③，得6z＝6．解得，z＝1，把z＝1代入③，得x＝2，把x＝2，z＝1代入①，解得，y＝﹣3，故原方程组的解是．【点评】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是明确解三元一次方程组的方法．11．（2020秋•永嘉县校级期末）为弘扬中华优秀文化传统，某中学在2014年元旦前夕，由校团委组织全校学生开展一次书法比赛，为了表彰在书法比赛中优秀学生，计划购买钢笔30支，毛笔20支，共需1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元．（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？（2）①后来校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共60支（每种笔的单价不变）．张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领1322元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了．②张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为不大于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为2或8元．【分析】（1）设钢笔得单价为x元，则毛笔单价为（x+6）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）①设单价为19元得钢笔y支，则单价为25元的毛笔为（60﹣y）支，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；②设单价为19元的钢笔z支，签字笔的单价为a元，根据题意列出关系式，根据z，a为整数，确定出a与z的值，即可得到结果．【解答】解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+6）元，由题意得：30x+20（x+6）＝1070，解得：x＝19，则x+6＝25，答：钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元；（2）①设单价为19元的钢笔y支，则单价为25元的毛笔为（60﹣y）支，根据题意得：19y+25（60﹣y）＝1322，解得：y＝，不合题意，即张老师肯定搞错了；②设单价为19元的钢笔z支，签字笔的单价为a元，根据题意得：19z+25（60﹣z）＝1322﹣a，即6z＝178+a，由a，z都是整数，且178+a应被6整除，经验算当a＝2时，6z＝180，即z＝30，符合题意；当a＝8时，6z＝186，即z＝31，符合题意，则签字笔的单价为2元或8元．故答案为：2或8．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．12．（2020秋•西林县期末）实施天保工作，建设恩施秀美山川，退耕还林后，某农户在山上种了32棵苹果树，进入收获期的第一年，该农户先随意采摘了5棵树上的苹果，称得每棵树上的苹果的重量如下：（单位：kg）35.233.534.234.332.8（1）根据样本估计这年苹果的总产量是多少？（2）若这年苹果的售价为每kg3元，请估计该农户卖苹果的总收入为多少元？（3）假定在连续三年苹果的销售价格不变的情况下，该农户计划在第二年将苹果收入提高到4080元，并以这样的增长速度，预计到第三年时苹果的总收入是多少元？【分析】（1）根据题意，首先找出5棵树上苹果的平均重量，然后再乘以32可知大概的总重量．（2）计算出苹果的总重量，又已知售价为3元每千克，易求总收入．（3）设年增长率为x，则列出等式求出x．然后可求出第三年的总收入．【解答】解：（1）（35.2+33.5+34.2+34.3+32.8）×32＝1088kg；（2）3×1088＝3264（元）；（3）设年增长率为x，则3264（1+x）＝4080，解得：x＝25%，第三年总收入为：4080×（1+25%）＝5100（元）答：苹果总产量为1088kg；该农户卖苹果的总收入为3264元，第三年苹果的总收入是5100元．【点评】本题首先要明确苹果的平均重量为多少，然后求出总重量以及总收入，再设未知数年增长率为x从而可求出第三年的总收入．13．（2019春•崇明区期末）解方程组．【分析】②﹣③求出x﹣y＝1④，④+①能求出x，把x＝2代入①能求出y，把x＝2，y＝1代入②求出z即可．【解答】解：②﹣③得：4x﹣4y＝4，即x﹣y＝1④，④+①得：2x＝4，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，把x＝2，y＝1代入②得：2﹣3+z＝﹣2，解得：z＝﹣1，所以原方程组的解为．【点评】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．14．（2019春•嘉定区期末）解方程组：．【分析】由①+②和①+③可消去z，再组成二元一次方程，求解即可．【解答】解：在方程组中，①+②可得3x﹣y＝1④，①+③可得4x＝4，解得x＝1，把x＝1代入④可得y＝2，把x＝1、y＝2代入①可得z＝3，∴原方程组的解为．【点评】本题主要考查三元一次方程组的解法，解方程组即“转化”，化高次为低次，注意消元的方法．15．（2019秋•邗江区校级月考）已知方程（3m﹣4）x2﹣（5﹣3m）x﹣4m＝﹣2m是关于x的一元一次方程，（1）求m和x的值．（2）若n满足关系式|2n+m|＝1，求n的值．【分析】（1）由一元一次方程的定义可知3m﹣4＝0，从而可求得m的值，将m的值代入得到关于x的方程，从而可求得x的值；（2）将m的值代入，然后依据绝对值的性质得到关于n的一元一次方程，从而可求得n的值．【解答】解：（1）∵方程（3m﹣4）x2﹣（5﹣3m）x﹣4m＝﹣2m是关于x的一元一次方程，∴3m﹣4＝0．解得：m＝．将m＝代入得：﹣x﹣＝﹣．解得x＝﹣．（2）∵将m＝代入得：|2n+|＝1．∴2n+＝1或2n+＝﹣1．∴n＝﹣或n＝﹣．【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义和解法，依据一元一次方程的定义求得m的值是解题的关键．16．（2018春•黄浦区期末）一元一次方程都可以变形为形如ax＝b（a，b为常数）的方程，称为一元一次方程的最简形式．关于x的方程ax＝b（a，b为常数，且a≠0）解的讨论：当a≠0时，是一元一次方程，有唯一解x＝；当a＝0，且b＝0时，它有无数多个解，任意数都是它的解；当a＝0，且b≠0时，它无解，因为任何数都不可能使等式成立．讨论关于当x的方程（a﹣4）x＝2的解．【分析】分a＝4和a≠4两种情况分别求解可得．【解答】解：当a≠4时，有唯一解x＝，当a＝4时，无解．【点评】本题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．17．（2018春•黄浦区期末）列式计算：求使的值不小于的值的非负整数x．【分析】根据题意列出不等式后，依据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求得其解集，继而可得答案．【解答】解：≥，3（x+1）+4≥2（3x﹣1），3x+3+4≥6x﹣2，3x﹣6x≥﹣2﹣3﹣4，﹣3x≥﹣9，x≤3，则符合条件的非负整数有0、1、2、3．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变18．（2018春•黄浦区期末）某公路收费站的收费标准是大客车20元，大货车10元，轿车5元，某天通过收费站的这三种车辆的数量之比是5：7：6，共收费4.8万元，问这天通过收费站的大货车是多少辆？【分析】设这天通过收费站的大客车5x辆，大货车7x辆，轿车6x辆，根据“大客车20元，大货车10元，轿车5元，共收费4800元”列出方程并解答．【解答】解：设这天通过收费站的大客车5x辆，大货车7x辆，轿车6x辆，依题意得：20×5x+10×7x+5×6x＝48000，解得x＝240，则7x＝1680（辆），答：这天通过收费站的大货车1680辆．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是找到题中的等量关系列出方程．19．（2018春•宝山区期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，求a的取值范围．【分析】把a看做已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出a的范围即可．【解答】解：方程组，解得：，∴x+y＝1+a，∵x+y＜2，∴1+a＜2，解得：a＜4．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．20．（2017春•浦东新区期末）已知：六年级（2）班男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，求这个班级的学生人数．【分析】设六年级（2）班有男生x人，女生y人，则利用男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，得出方程组求出即可；【解答】解：设六年级（2）班有男生x人，女生y人，根据题意可得：，解得：，答：这个班级的学生人数为39人．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出等式方程组进而求出是解题关键．21．（2017•浦东新区校级自主招生）解关于x的方程|x﹣2|﹣3＝a．【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案．【解答】解：∵|x﹣2|﹣3＝a，∴|x﹣2|＝3+a，当a≥﹣3时，则x﹣2＝3+a或x﹣2＝﹣3﹣a，解得：x＝10+2a或x＝﹣2﹣2a．当a＜﹣3时，此方程无解．【点评】此题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程，正确分类讨论是解题关键．22．（2017春•浦东新区校级月考）从甲地到乙地，先下山然后走平路，某人骑自行车从甲地以每小时12千米的速度下山，再以每小时9千米的速度通过平地，到乙地用了1小时；他回来以每小时8千米的速度上山，回到甲地用了1小时15分，求甲、乙两地间山路、平路各多少千米？【分析】设甲、乙两地间山路长为x千米，平路长为y千米，根据先下山后走平路，到乙地用了1小时，回来甲地用了1小时15分，列方程组求解．【解答】解：设甲、乙两地间山路长为x千米，平路长为y千米，由题意得，，解得：．答：甲、乙两地间山路长为6千米，平路长为4.5千米．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．23．（2017春•浦东新区期末）已知不等式5（x﹣2）﹣9＞7（x﹣11）+36，它的最大整数解恰好是方程x﹣ax＝20的解，求a的值．【分析】此题可先将不等式化简求出x的取值，然后取x的最大整数解代入方程x﹣ax＝20，化为关于a的一元一次方程，解方程即可得出a的值．【解答】解：由5（x﹣2）﹣9＞7（x﹣11）+36得x＜11，所以最大整数解为x＝10，将x＝10代入x﹣ax＝20中，解得a＝﹣1．【点评】此题考查的是一元一次不等式的解，将x的值解出再代入方程即可得出a的值．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．24．（2017春•闵行区校级期中）小强骑自行车从甲地到乙地，去时以每小时15千米的速度前进，回时以每小时30千米的速度返回．小强往返过程中的平均速度是每小时多少千米？【分析】设从甲地到乙地的距离为s，则小强从甲地到乙地所用的时间为，返回时从乙地到甲地所用的时间为，那么小强往返两次共用时间为．【解答】解：设从甲地到乙地的距离为s，则小红从甲地到乙地所用的时间为，返回时从乙地到甲地所用的时间为，故速度为＝＝20，答：小强往返过程中的平均速度是每小时20千米．【点评】本题考查行程问题中平均速度的求法，当一些必须的量没有时，可设其为未知数，在计算过程中消去即可，难度一般．25．（2020春•陇西县期末）已知关于x、y的方程组．（1）求这个方程组的解；（2）当m取何值时，这个方程组的解中，x大于1，y不小于﹣1．【分析】（1）两式相加进行消元即可．（2）把解得的x、y的值按要求列成不等式，解不等式即可．【解答】解：（1），①+②得2x＝1+m，解得x＝，把x的值代入①得：y＝，所以方程组的解是．（2）由题意可得不等式组解得1＜m≤5．【点评】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式的能力．26．（2017春•闵行区校级期中）丢番图是古希腊杰出的数学家，在他的墓碑上刻着一首谜语式的短诗，内容是一道有趣的数学问题，内容如下：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”问：大数学家丢番图活了多少岁？用白话翻译过来就是说：丢番图的一生，幼年占了，青少年占了，又过了才结婚，5年之后生子，子先其父4年而死，寿命是他父亲的一半．丢番图活了多少岁？【分析】设丢番图活了x岁，根据各时间段的总和等于丢番图的岁数得到x+x+x+5+x+4＝x，然后解方程即可．【解答】解：设丢番图活了x岁，根据题意得x+x+x+5+x+4＝x，解得x＝84．答：丢番图活了84岁．【点评】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．27．（2017春•浦东新区校级月考）预备（1）班、（2）班各有42人，两个班都有一些同学选修戏剧课，（1）班选修戏剧课的人数恰好是（2）班没有选修戏剧课的人数的，（2）班选修戏剧课的人数恰好是（1）班没有选修戏剧课的人数的，问六年级（1）班、（2）班选修戏剧课的各有多少人？【分析】设（1）班选修戏剧课的人数是x人，（2）班选修戏剧课的人数y，根据“（1）班选修戏剧课的人数恰好是（2）班没有选修戏剧课的人数的，（2）班选修戏剧课的人数恰好是（1）班没有选修戏剧课的人数的”列方程组求解可得．【解答】解：设（1）班选修戏剧课的有x人，（2）班选修戏剧课的有y人，根据题意，得：，整理，得：，解得：，答：（1）班选修戏剧课的有14人，（2）班选修戏剧课的有7人．【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意准确抓住相等关系并据此列出方程组是解题的关键．28．（2017春•黄浦区校级期中）为了保护环境，池州海螺集团决定购买10台污水处理设备，现有H和G两种型号设备，其中每台价格及月处理污水量如下表：HG价格（万元/台）1512处理污水量（吨/月）250220经预算，海螺集团准备购买设备的资金不高于130万元．（1）请你设计该企业有几种购买方案？（2）哪种方案处理污水多？【分析】（1）根据总费用不高于130万元列出关系式求得正整数解即可；（2）得到处理污水的吨数的函数关系式，比较即可．【解答】解：（1）设买了H型号设备x台，G型号设备（10﹣x）台．15x+12（10﹣x）≤130，解得x≤3，∴可买H型号的0台，G型号的10台；H型号的1台，G型号的9台；H型号的2台，G型号的8台；H型号的3台，G型号的7台；共4种方案．（2）处理吨数W＝250x+220（10﹣x）＝30x+2200，∴x＝