5.2.2 同角三角函数的基本关系（教学设计）高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

5.2.2同角三角函数的基本关系（教学设计）高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）主备人备课成员设计意图本节课旨在帮助学生掌握同角三角函数的基本关系，通过具体实例和推导过程，让学生理解并熟练运用正弦、余弦、正切函数之间的关系，为后续学习三角函数的图像和性质打下坚实基础。核心素养目标1.发展数学抽象思维，通过探究同角三角函数的基本关系，提升学生从具体情境中抽象出数学模型的能力。

2.培养逻辑推理能力，通过演绎和归纳，让学生学会运用数学逻辑进行推理。

3.强化数学建模意识，引导学生将三角函数关系应用于实际问题解决，提升数学应用能力。学习者分析1.学生已经掌握了相关知识：学生在进入本节课之前，已经学习了三角函数的基本概念和性质，包括正弦、余弦、正切函数的定义及其图像的基本特征。此外，学生对直角三角形和锐角三角形的性质也有所了解。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中一年级学生对数学学科普遍保持较高的兴趣，但个体差异较大。部分学生逻辑思维能力较强，善于抽象思维，能较快地理解和掌握抽象概念；而部分学生可能更偏向于形象思维，需要更多直观的例子来辅助理解。学生的学习风格也各有不同，有的学生喜欢独立思考，有的则更倾向于合作学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习同角三角函数的基本关系时，学生可能会遇到以下困难：一是理解函数关系的推导过程，二是将抽象的数学关系应用于具体的实际问题中。此外，学生可能对三角函数的周期性和对称性理解不够深入，影响了对函数图像的把握。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都拥有人教A版2019版高一数学必修第一册教材。

2.辅助材料：准备同角三角函数关系的示意图、函数图像变化过程的动画视频，以及相关问题的解题步骤图表。

3.实验器材：无需实验器材。

4.教室布置：设置小组讨论区，方便学生进行合作学习；在黑板上绘制函数图像，便于学生直观理解。教学流程1.导入新课

详细内容：利用多媒体展示不同角度的三角形，引导学生回顾三角函数的定义，并提出问题：“在同一个角度下，正弦、余弦、正切函数之间有什么关系？”以此激发学生的兴趣，引入新课。

2.新课讲授

（1）介绍同角三角函数的基本关系，包括正弦、余弦、正切函数的定义和关系式，通过举例说明如何在直角三角形中计算这些函数值。

用时：5分钟

（2）推导同角三角函数的基本关系，以正弦和余弦函数为例，引导学生观察它们的图像，并通过三角形的几何性质推导出正弦和余弦函数之间的关系。

用时：8分钟

（3）讲解正切函数与正弦、余弦函数的关系，通过几何变换和代数运算，使学生理解正切函数是如何由正弦和余弦函数得出的。

用时：6分钟

3.实践活动

（1）给出几个特定角度的正弦、余弦、正切函数值，让学生独立计算并验证它们之间的关系。

用时：10分钟

（2）设计几个应用题，让学生运用同角三角函数的基本关系解决实际问题，如计算建筑高度、测量距离等。

用时：8分钟

（3）让学生观察函数图像，分析不同角度下正弦、余弦、正切函数值的增减规律。

用时：7分钟

4.学生小组讨论

（1）举例回答：在直角三角形中，如果知道其中一个角的正弦值，如何求出其余角的余弦值？

（2）举例回答：在直角三角形中，如果知道其中一个角的正切值，如何求出其余角的余弦值？

（3）举例回答：如何根据已知的一个角的正弦、余弦、正切函数值，确定该角的象限？

用时：5分钟

5.总结回顾

内容：对本节课所学的同角三角函数的基本关系进行总结，强调其推导过程和应用价值。通过回顾本节课的重难点，如函数关系的推导、函数图像的分析等，帮助学生巩固所学知识。

用时：3分钟

总计用时：35分钟学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解与掌握同角三角函数的基本关系：通过本节课的学习，学生能够理解并掌握正弦、余弦、正切函数之间的关系，能够熟练地推导出这些函数的基本关系式，并能够在实际问题中运用这些关系式进行计算。

2.提升数学抽象思维能力：学生在学习同角三角函数的基本关系时，需要从具体的几何图形中抽象出数学关系，这一过程有助于提升学生的数学抽象思维能力。

3.增强逻辑推理能力：通过推导同角三角函数的基本关系，学生能够学会如何运用逻辑推理来证明数学命题，这对于培养他们的逻辑思维能力具有重要意义。

4.提高数学建模能力：学生在解决实际问题过程中，能够将同角三角函数的基本关系应用于实际问题，如计算建筑物的高度、测量角度等，这有助于提高他们的数学建模能力。

5.加强数学应用意识：通过本节课的学习，学生能够认识到三角函数在现实生活中的广泛应用，从而增强他们的数学应用意识。

6.改善学习策略：学生在学习同角三角函数的基本关系时，可能会遇到一些困难，如理解函数图像的变化规律等。通过克服这些困难，学生能够调整自己的学习策略，提高学习效率。

7.培养合作学习习惯：在小组讨论环节，学生需要与同伴合作解决问题，这有助于培养学生的合作学习习惯，提高他们的团队协作能力。

8.增强学习兴趣：通过本节课的学习，学生能够感受到数学的趣味性和实用性，从而增强他们的学习兴趣，激发进一步探索数学知识的动力。

9.提升问题解决能力：学生在学习同角三角函数的基本关系时，需要不断地提出问题、分析问题、解决问题，这一过程有助于提升他们的问题解决能力。

10.培养自主学习能力：通过本节课的学习，学生能够学会如何自主学习，如查阅资料、独立思考、总结归纳等，这对于他们今后的学习和生活具有长远的意义。板书设计①同角三角函数的基本关系

-正弦函数：sin(θ)=对边/斜边

-余弦函数：cos(θ)=邻边/斜边

-正切函数：tan(θ)=对边/邻边

②三角函数关系式

-sin²θ+cos²θ=1

-tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)

③特殊角的三角函数值

-0°：sin(0°)=0,cos(0°)=1,tan(0°)=0

-30°：sin(30°)=1/2,cos(30°)=√3/2,tan(30°)=1/√3

-45°：sin(45°)=cos(45°)=1/√2,tan(45°)=1

-60°：sin(60°)=√3/2,cos(60°)=1/2,tan(60°)=√3

④三角函数图像特征

-正弦函数：周期性，对称性，从0到π/2单调递增

-余弦函数：周期性，对称性，从0到π单调递减

-正切函数：周期性，无界，从0到π/2单调递增

⑤应用实例

-计算直角三角形边长

-解决实际问题，如建筑高度、测量距离等教学评价1.课堂评价

（1）提问：在课堂教学中，通过提问的方式检验学生对同角三角函数基本关系的理解和掌握程度。问题可以包括基础知识的提问、应用问题的解决等，以了解学生对知识的掌握情况。

（2）观察：教师应关注学生的参与度、表达能力和思维过程。通过观察学生的互动、提问和回答，评估他们的学习效果。

（3）测试：设计简短的随堂测试题，如选择题、填空题等，以评估学生对同角三角函数基本关系的记忆和应用能力。

2.作业评价

（1）批改：对学生的作业进行仔细批改，检查他们在解决问题时的准确性和逻辑性。

（2）点评：在作业批改后，给出具体的评价和建议，指出学生在解题过程中的优点和需要改进的地方。

（3）反馈：及时将批改结果反馈给学生，鼓励他们针对作业中的问题进行复习和巩固。

3.成绩评定

（1）形成性评价：根据学生的课堂表现、提问回答、小测验成绩以及作业完成情况，综合评定学生的形成性学习成果。

（2）总结性评价：在课程结束后，通过期末考试或综合评价来评定学生的总结性学习成果。

4.教学反思

（1）教师应定期进行教学反思，分析学生在学习同角三角函数基本关系时所遇到的困难和问题。

（2）根据学生的反馈和自己的教学观察，调整教学策略和方法，以提高教学效果。

5.学生活动参与

（1）鼓励学生积极参与课堂讨论，提出自己的见解和疑问。

（2）通过小组合作活动，促进学生的交流与合作，提升他们的团队协作能力。

6.教学资源利用

（1）评估学生在使用多媒体教学资源时的效果，如视频、图像、图表等。

（2）引导学生如何有效地利用这些资源来辅助学习和理解抽象概念。课后作业1.题型：直角三角形中的三角函数值计算

题目：在直角三角形ABC中，∠C是直角，AB=10cm，BC=8cm，求∠A的正弦值、余弦值和正切值。

答案：sin(A)=BC/AB=8/10=0.8

cos(A)=AC/AB=√(AB²-BC²)/AB=√(10²-8²)/10=√(100-64)/10=√36/10=3/5=0.6

tan(A)=BC/AC=8/√(AB²-BC²)=8/√(100-64)=8/√36=8/6=4/3

2.题型：三角函数值的比较

题目：比较sin(60°)和sin(45°)的大小。

答案：sin(60°)=√3/2≈0.866

sin(45°)=1/√2≈0.707

因为√3>1，所以sin(60°)>sin(45°)。

3.题型：三角函数值的计算

题目：在直角三角形ABC中，∠A是锐角，AB=15cm，AC=20cm，求∠A的正切值。

答案：tan(A)=BC/AC=√(AC²-AB²)/AB=√(20²-15²)/15=√(400-225)/15=√175/15≈1.531

4.题型：三角函数在几何中的应用

题目：在等腰直角三角形中，如果腰长为a，求斜边上的高。

答案：设等腰直角三角形为ABC，其中∠A=∠B=45°，∠C=90°，腰长为a。

斜边BC=a√2

高AD=(BC*AC)/2=(a√2*a)/2=a²/√2=a√2/2

5.题型：三角函数在物理中的应用

题目：一个物体在水平面上以恒定速度v移动，经过时间t后，求物体移动的距离。

答案：设物体移动的距离为s，速度为v，时间为t。

根据速度的定义，s=v*t

因为速度是恒定的，所以物体移动的距离与时间成正比。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.结合实际案例：在教学过程中，我尝试将同角三角函数的基本关系与实际生活中的案例相结合，如建筑设计、物理学中的运动问题等，让学生在解决问题的过程中理解和应用这些数学知识。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体资源，如动画、图像等，直观展示三角函数的图像变化，帮助学生更好地理解函数的性质和关系。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生理解难度：部分学生对同角三角函数的基本关系理解不够深入，尤其是在推导过程中，容易出现概念混淆。

2.实践活动不足：课堂上的实践活动相对较少，学生缺乏实际操作和动手能力锻炼的机会。

3.评价方式单一：目前主要依靠作业和测试来评价学生的学习效果，缺乏多元化的评价方式，无法全面了解学生的学习状况。

反思改进措施（三）

1.深化概念教学：针对学生对概念理解不深的问题，我将通过组织学生进行小组讨论、角色扮演等方式，让学生在互动中加深